Хорда которая стягивает дугу окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Хорда которая стягивает дугу окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Хорда которая стягивает дугу окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Хорда которая стягивает дугу окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Хорда которая стягивает дугу окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Хорда которая стягивает дугу окружностиТеорема о бабочке

Хорда которая стягивает дугу окружности

Видео:Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьХорда которая стягивает дугу окружности
КругХорда которая стягивает дугу окружности
РадиусХорда которая стягивает дугу окружности
ХордаХорда которая стягивает дугу окружности
ДиаметрХорда которая стягивает дугу окружности
КасательнаяХорда которая стягивает дугу окружности
СекущаяХорда которая стягивает дугу окружности
Окружность
Хорда которая стягивает дугу окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругХорда которая стягивает дугу окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусХорда которая стягивает дугу окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаХорда которая стягивает дугу окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрХорда которая стягивает дугу окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяХорда которая стягивает дугу окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяХорда которая стягивает дугу окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:№656. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС.Скачать

№656. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеХорда которая стягивает дугу окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыХорда которая стягивает дугу окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныХорда которая стягивает дугу окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиХорда которая стягивает дугу окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыХорда которая стягивает дугу окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Хорда которая стягивает дугу окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыХорда которая стягивает дугу окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыХорда которая стягивает дугу окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиХорда которая стягивает дугу окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныХорда которая стягивает дугу окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиХорда которая стягивает дугу окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыХорда которая стягивает дугу окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:2178 хорда AB стягивает дугу окружности в 6 градусов Найдите острый угол ABCСкачать

2178 хорда AB стягивает дугу окружности в 6 градусов Найдите острый угол ABC

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорда которая стягивает дугу окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыХорда которая стягивает дугу окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиХорда которая стягивает дугу окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиХорда которая стягивает дугу окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаХорда которая стягивает дугу окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорда которая стягивает дугу окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Пересекающиеся хорды
Хорда которая стягивает дугу окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Хорда которая стягивает дугу окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Хорда которая стягивает дугу окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Хорда которая стягивает дугу окружности
Пересекающиеся хорды
Хорда которая стягивает дугу окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорда которая стягивает дугу окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Тогда справедливо равенство

Хорда которая стягивает дугу окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Хорда которая стягивает дугу окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорда которая стягивает дугу окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Хорда которая стягивает дугу окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорда которая стягивает дугу окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Хорда которая стягивает дугу окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Хорда которая стягивает дугу окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. . Найти площадь треугольника АВС.Скачать

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. . Найти площадь треугольника АВС.

Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства

Хорда которая стягивает дугу окружностиХорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Видео:Вариант 23, № 7. Нахождение длины хорды, стягивающей дугу, содержащую 90° (центральный угол)Скачать

Вариант 23, № 7. Нахождение длины хорды, стягивающей дугу, содержащую 90° (центральный угол)

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Видео:Задача 6 №27877 ЕГЭ по математике. Урок 118Скачать

Задача 6 №27877 ЕГЭ по математике. Урок 118

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. Хорда которая стягивает дугу окружностиЕсли расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. Хорда которая стягивает дугу окружностиЕсли описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. Хорда которая стягивает дугу окружностиЕсли стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. Хорда которая стягивает дугу окружностиЕсли углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. Хорда которая стягивает дугу окружностиДве равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Хорда которая стягивает дугу окружности

Хорда которая стягивает дугу окружности

Учебный курсРешаем задачи по геометрии

Видео:№652. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что ∪AC=37°, ∪BD=23°. Найдите хорду CD,Скачать

№652. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что ∪AC=37°, ∪BD=23°. Найдите хорду CD,

Определение хорды

Хорда которая стягивает дугу окружности
Хорда — это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Свойства хорды к окружности

  • Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное — если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
  • Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
  • Наибольшая возможная хорда является диаметром
  • Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное — если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Хорда которая стягивает дугу окружности

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Свойства хорды и вписанного угла

Видео:8 класс. Хорды в окружности (теория)Скачать

8 класс. Хорды в окружности (теория)

Свойства хорды и центрального угла

Видео:ДугаСкачать

Дуга

Формулы нахождения хорды

Хорда которая стягивает дугу окружности
Обозначения в формулах:
l — длина хорды
α — величина центрального угла
R — радиус окружности
d — длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде
Хорда которая стягивает дугу окружности

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Видео:Задача 6 №27867 ЕГЭ по математике. Урок 108Скачать

Задача 6 №27867 ЕГЭ по математике. Урок 108

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.
Хорда которая стягивает дугу окружности
Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Хорда которая стягивает дугу окружности
Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

🔥 Видео

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам
Поделиться или сохранить к себе: