Разделы: Математика
Изучая пространственные фигуры, полезно сравнивать их с более плоскими фигурами. Прямая и плоскость, параллелограмм и параллелепипед, окружность и сфера обладают сходными свойствами.
Тетраэдр (или треугольная пирамида) имеет сходство с треугольником.
Треугольник есть многоугольник с наименьшим числом сторон, тетраэдр – многогранник с наименьшим числом граней.
Тетраэдр – более сложная фигура, чем треугольник, и не удивительно, что его свойства более многообразны.
Рассмотрим один специальный вид тетраэдра – прямоугольный тетраэдр. Пусть дан прямоугольный параллелепипед (чертеж 1)
Через концы трех его ребер, выходящих из одной вершины, проведем плоскость. Эта плоскость отсекает от прямоугольного параллелепипеда тетраэдр ДАВС, у которого все плоские углы при вершине Д прямые (трехгранный угол при вершине Д прямой). Такой тетраэдр называется прямоугольным. Грань АВС будем называть основанием, а ребра АД, ВД, СД – боковыми ребрами тетраэдра.
Подобно тому, как прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника, проведя через вершины острых углов прямые, параллельные катетам, всякий прямоугольный тетраэдр можно дополнить до прямоугольного параллелепипеда, если через его вершины А, В, С провести плоскости, параллельные противоположным граням тетраэдра.
Такое вспомогательное построение выгодно применять при решении некоторых задач.
Прямоугольный тетраэдр аналогичен прямоугольному треугольнику.
Элементы прямоугольного треугольника можно вычислять, если даны его катеты. Прямоугольный тетраэдр однозначно определяется заданием трех его взаимно перпендикулярных ребер.
Получим аналог теоремы Пифагора, к которому приводит следующая задача.
1. Найти площадь основания прямоугольного тетраэдра ДАВС, если ДА=а, ДВ=в, ДС=с (чертеж 2).
Решение.
Проводим высоту СЕ ∆ АВС. Т.к. ребро СД (АВД), то ДЕ – высота ∆ АВД (на основании теоремы о трех перпендикулярах).²
Обозначим: S (ABC) = S. AB = m
из ∆ АВД находим:
ДЕ = 
из ∆ СЕД находим:
СЕ = 
S=∙½AB∙CE=½m
=∙½
m²=a²+b², то S=∙½
Полученную формулу можно преобразовать так, чтобы было видно сходство с теоремой Пифагора. Обозначим: S (ВСД) = S1, S (САД) = S2, S(АВД) = S3.
Поскольку S1= ½вc, S2= ½ac, S3= ½aв, то формула принимает вид
2. Доказать что площадь боковой грани прямоугольного тетраэдра есть средне пропорциональное между площадью основания и площадью проекции этой грани на плоскость основания.
¼ВС 2 ∙ДК 2 = ¼ВС 2 ∙АК ∙ НК.
Это равенство выполняется в прямоугольном треугольнике АДК, ДК – катет, НК – его проекция на гипотенузу АК.
Сложив эти равенства, получим:
Решение задачи, относящейся к прямоугольному тетраэдру, облегчается, если предварительно рассмотреть сходную задачу для прямоугольного треугольника. При этом иногда удается отыскать такой способ решения более простой планиметрической задачи, который можно приспособить и для решения соответствующей стереометрической задачи. Покажем это на следующих примерах.
а) катеты прямоугольного треугольника равны a и в. Найти высоту треугольника, проведенную из вершины прямого угла.
б) боковые ребра прямоугольного тетраэдра равны а, в, с. Найти высоту тетраэдра.
Выразив площадь треугольника двумя способами, получим
Откуда h = 
; h = 
; или 
= 
+ 
.
б) Решение. Будем рассуждать аналогично.
Пусть h – высота тетраэдра ДАВС, проведенная к основанию АВС, S – площадь основания, S3 – площадь грани АВД.
Объем V тетраэдра можно выразить двумя способами.
V = 
S∙ h, V = 
S3∙c = 
авс
Sh = 
авс;
h = 
;
= 
+ 
.
а) Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, еслие его катеты а и в.
б) найти радиус сферы, описанной около прямоугольного тетраэдра, если его боковые ребра равны а, б, с.
а) Решение. Дополним прямоугольный ∆ АВС до прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения О делятся пополам, то ОА=ОВ=ОС=ОД, т.е. точка О – центр описанной около ∆АВС окружности и АВ – ее диаметр. R найдем по теореме Пифагора:
R = ½
.
б) Решение. Проведем аналогичные рассуждения.
Дополним прямоугольный тетраэдр ДАВС до прямоугольного параллелепипеда. Так диагонали его равны и в точке пересечения О делятся пополам, то ОА = ОВ = ОС = ОД, т.е. точка О центр описанной около тетраэдра ДАВС сферы, а диагональ ДЕ – диаметр этой сферы, но ДЕ = 
, следовательно R = ½
.
а) Найти радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если его катеты а и в.
б) Найти радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, если его боковые ребра равны а, в, с.
а) Решение. Из центра О проведем радиусы к сторонам треугольника и центр О соединим с вершинами прямоугольного треугольника АВС. Наш прямоугольный треугольник разбился на три треугольника. Будем использовать метод сравнения площадей.
r = 
;
с = 
б) Решение. Проведем аналогичные рассуждения. Центр вписанной сферы соединим с вершинами прямоугольного тетраэдра А, В, С, Д.
Наш тетраэдр разобьется на четыре тетраэдра, высотами которых является радиус сферы r. Сравним объемы.
авс = 
всr + 
асr + 
авr + 
r
;
авс = r (ав +вс+ас+ 
);
r = 
;
r =
.
а) Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла равна радиусу описанной окружности.
б) Доказать, что медиана прямоугольного тетраэдра, проведенная из вершины прямого трехгранного угла, равна 
радиуса описанной сферы.
а) Решение. Т.к. АО=ОВ=СО, то СО – медиана.
m = R; m = ½
.
б) Решение. Выполним то же вспомогательное построение, что и при нахождении радиуса описанной сферы. Покажем, что отрезок ДМ, диагонали ДЕ параллелепипеда, где М – точка пересечения диагонали с гранью АВС, является медианой ДАВС. Диагональное сечение АДGE параллелепипеда имеет с гранью АВС общие точки A, F, (F – середина BC) и, следовательно, пересекает плоскость АВС по прямой AF. Отрезки ДЕ, АF, лежащие в плоскости диагонального сечения, пересекаются в точке М, причем из подобия ∆ АЕМ, ∆ ДFM следует, что
= 
= 2
А так как AF – медиана ∆ АВС, то точка М – его центроид. Следовательно, ДМ – медиана тетраэдра ДАВС. Остается заметить, что из подобия тех же треугольников АМЕ и ДМF следует:
т.е.m = 
R;
m = 
а) Катеты прямоугольного треугольника равны а и в. Найти сторону квадрата, вписанного в треугольник так, что одна из вершин квадрата совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а противоположная вершина лежит на гипотенузе.
б) Боковые ребра прямоугольного тетраэдра равны а, в, с.
Найти ребро куба, вписанного в тетраэдр так, что одна из вершин куба совпадает с вершиной тетраэдра, а противоположная вершина лежит на основании.
а) Решение. Пусть СДЕF – квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник АВС. По условию ВС = а, АС = в. Сторону квадрата обозначим через х. Так как площадь ∆ АВС равна сумме площадей ∆ АСЕ, ∆ ВСЕ, то можно составить уравнение (применяя метод сравнения площадей)
х = 
;
= 
б) Решение. Воспользуемся методом решения вспомогательной задачи.
Пусть вершина L куба лежит на основании АВС. Тетраэдр можно разбить на три тетраэдра: LABД, LВСД, LАСД. Основаниями этих тетраэдров являются прямоугольные треугольники АВД, ВСД и АСД, а высота каждого из них равна ребру куба. Поскольку объем тетраэдра ДАВС = 1/6 (авс), то обозначив ребро куба через х, получим (применяя метод сравнения объемов)
авс = 
авх + 
всх + 
асх
х = 
= 
+ 
+ 
Примечание: Диагональ СЕ квадрата является биссектрисой прямого угла ∆ АВС.
СЕ = lс; lс = х 
= 
;
= 
(
+ 
)
Плоскость АДЕ делит двухгранный угол тетраэдра пополам и, следовательно, является биссектральной плоскостью этого угла. Биссектральные плоскости двухгранных углов АД, ВД, СД пересекаются по прямой ДL. Отрезок ДL этой прямой называется биссектрисой тетраэдра ДАВС. ДL = l , получим
l= х 
= 
;
= 
(
+ 
+ 
).
II
Можно решить приведенные задачи более легким путем, с помощью метода координат.
Запишем уравнение плоскости в «отрезках»
+ 
+ 
= 1
и формулу d = 
;
1. Определим чему равна медиана прямоугольного тетраэдра ДАВС.
Решение. Медианой тетраэдра назовем отрезок, соедняющий вершину тетраэдра с центроидром противоположной грани.
x = 
; у = 
; z = 
;
ʎ = 1; х = 0 ; у = 
; z = 
; N (0; 
;
).
ʎ = 1; х1 = 
; у1 = 
; z1 = 
; М (
; 
;
).
ДМ = 
= 
.
2. Определим радиус описанной сферы.
Решение. ДN – диаметр описанной сферы.
ДN = 
= 
R = 
.
3. Определим биссектрису прямоугольного тетраэдра
L (x, y, z); x = y = z
х = 
;
ДL = 
= 
;
= 
(
+ 
+ 
).
4. Определим высоту, опущенную на плоскость АВС.
Задача сводится к нахождению расстояния от точки Д (0,0,0) до плоскости
+ 
+ 
= 1
d = 
;
d = 
;
h = 
.
Полностью текст работы представлен в Приложении.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Определение тетраэдра
Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.
Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.
Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:
Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.
Видео:10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать
Тетраэдр.
Тетраэдр — это частный случай правильной треугольной пирамиды.
Тетраэдр — правильный многогранник (четырёхгранный), имеющий 4 грани, они, в свою очередь, оказываются правильными треугольниками. У тетраэдра 4 вершины, к каждой из них сходится 3 ребра. Общее количество ребер у тетраэдра 6.
Медиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину тетраэдра и точку пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, который противолежит вершине).
Бимедиана тетраэдра — это отрезок, который соединяет середины рёбер, что скрещиваются (соединяет середины сторон треугольника, который есть одной из граней тетраэдра).
Высота тетраэдра — это отрезок, который соединяет вершину и точку противоположной грани и перпендикулярен этой грани (т.е. это высота, проведенная от всякой грани, кроме того, совпадает с центром описанной окружности).
Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать
Свойства тетраэдра.
Параллельные плоскости, которые проходят через пары рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и определяют описанный параллелепипед около тетраэдра.
Плоскость, которая проходит сквозь середины 2-х рёбер тетраэдра, что скрещиваются, и делит его на 2 части, одинаковые по объему.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, если считать от вершины. Она же делит бимедианы на две равные части.
Видео:Тетраэдр. 10 класс.Скачать
Типы тетраэдров.
Правильный тетраэдр — это такая правильная треугольная пирамида, каждая из граней которой оказывается равносторонним треугольником.
У правильного тетраэдра каждый двугранный угол при рёбрах и каждый трёхгранный угол при вершинах имеют одинаковую величину.
Тетраэдр состоит из 4 граней, 4 вершин и 6 ребер.
Правильный тетраэдр — это один из 5-ти правильных многогранников.
Кроме правильного тетраэдра, заслуживают внимания такие типы тетраэдров:
— Равногранный тетраэдр, у него каждая грань представляет собой треугольник. Все грани-треугольники такого тетраэдра равны.
— Ортоцентрический тетраэдр, у него каждая высота, опущенная из вершин на противоположную грань, пересекается с остальными в одной точке.
— Прямоугольный тетраэдр, у него каждое ребро, прилежащее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, прилежащим к этой же вершине.
— Каркасный тетраэдр — тетраэдр, который таким условиям:
- есть сфера, которая касается каждого ребра,
- суммы длин ребер, что скрещиваются равны,
- суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
- окружности, которые вписаны в грани, попарно касаются,
- каждый четырехугольник, образующийся на развертке тетраэдра, — описанный,
- перпендикуляры, поставленные к граням из центров окружностей, в них вписанных, пересекаются в одной точке.
— Соразмерный тетраэдр, бивысоты у него одинаковы.
— Инцентрический тетраэдр, у него отрезки, которые соединяют вершины тетраэдра с центрами окружностей, которые вписаны в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать
Формулы для определения элементов тетраэдра.
Высота тетраэдра:
где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
где V — объем тетраэдра, a — ребро тетраэдра.
Основные формулы для правильного тетраэдра:
Где S — Площадь поверхности правильного тетраэдра;
h — высота, опущенная на основание;
r — радиус вписанной в тетраэдр окружности;
💡 Видео
Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать
Подсчёт количества граней и рёбер у трёхмерных фигур | Фигура | ГеометрияСкачать
10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать
7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать
Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать
Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?Скачать
ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.Скачать
Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать
Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать
Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать
Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать
