График окружности и полуокружности (7 видео)

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

Содержание

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными
п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения
п.4. Примеры
«Базовые элементы» для решения задач с параметрами
Уравнение окружности и полуокружности. Декартовы координаты точек плоскости
Примеры решения задач про уравнение окружности
Задача. Составить уравнение заданной окружности
Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности
Построить функцию
Преимущества построения графиков онлайн
🌟 Видео

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, (mathrm) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = (mathrm) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ mathrm $$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac=-frac + 2 > ) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac> ) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом ( mathrm<R=sqrt=2> )

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: ( mathrm<y=frac> ) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
( mathrm<y=frac=-frac25|x|+2> )
Строим график для ( mathrm ), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) (mathrm<frac+2|y-2|=4>)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

«Базовые элементы» для решения задач с параметрами

В задачах с параметрами Профильного ЕГЭ по математике вам встретятся не только графики функций (в школьном смысле этого слова), но и множества точек на плоскости.

Вот несколько уравнений и неравенств, задающих окружность, круг, ромбик, отрезок. Заметим, что окружность или ромбик, хотя и задаются уравнениями, не являются графиками функций в школьном смысле этого слова. Чтобы лучше почувствовать эту разницу, повторите тему «Что такое функция».

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике считаются одними из самых сложных. Однако на самом деле они похожи на конструктор, где вы собираете решение из готовых элементов. Чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отлично знать 5 типов элементарных функций и их графики. Преобразования графиков функций. И вот эти базовые элементы:

1. Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом

2. Уравнение задает окружность с центром в точке (a;b) и радиусом

3. Неравенство задает круг вместе с границей.

4. Уравнение задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом

5. Уравнение задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом

6. Уравнение задает верхнюю полуокружность центром в точке и радиусом

7. Уравнение при положительных и задает ромбик, симметричный относительно начала координат.

8. Уравнение (сумма модулей) задает график следующего вида:

9. Расстояние между точками и находится по формуле:

Координаты середины М отрезка АВ находятся по формуле:

Уравнение отрезка концы отрезка и

В левой части уравнения сумма расстояний от точки P с координатами до точек и В правой расстояние между точками и

Пара чисел соответствует координатам любой точки этого отрезка.

Кратко это можно записать так: Это значит, что точка P лежит на отрезке

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Уравнение окружности и полуокружности. Декартовы координаты точек плоскости

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у , определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Видео:Уравнение окружности и ее графикСкачать

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Решение .
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x-a ) 2 + (y-b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x — 2 ) 2 + (y — (-3 )) 2 = 4 2
или
(x — 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Решение .
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x — 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 — 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.

Если расположить единичную числовую окружность на координатной плоскости, то для ее точек можно найти координаты. Числовую окружность располагают так, чтобы ее центр совпал с точкой начала координат плоскости, т. е. точкой O (0; 0).

Обычно на единичной числовой окружности отмечают точки соответствующие от начала отсчета на окружности

четвертям — 0 или 2π, π/2, π, (2π)/3,
серединам четвертей — π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
третям четвертей — π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

На координатной плоскости при указанном выше расположении на ней единичной окружности можно найти координаты, соответствующие этим точкам окружности.

Координаты концов четвертей найти очень легко. У точки 0 окружности координата x равна 1, а y равен 0. Можно обозначить так A (0) = A (1; 0).

Конец первой четверти будет располагаться на положительной полуоси ординат. Следовательно, B (π/2) = B (0; 1).

Конец второй четверти находится на отрицательной полуоси абсцисс: C (π) = C (-1; 0).

Конец третьей четверти: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Но как найти координаты середин четвертей? Для этого строят прямоугольный треугольник. Его гипотенузой является отрезок от центра окружности (или начала координат) к точке середины четверти окружности. Это радиус окружности. Поскольку окружность единичная, то гипотенуза равна 1. Далее проводят перпендикуляр из точки окружности к любой оси. Пусть будет к оси x. Получается прямоугольный треугольник, длины катетов которого — это и есть координаты x и y точки окружности.

Четверть окружности составляет 90º. А половина четверти составляет 45º. Поскольку гипотенуза проведена к точке середины четверти, то угол между гипотенузой и катетом, выходящим из начала координат, равен 45º. Но сумма углов любого треугольника равна 180º. Следовательно, на угол между гипотенузой и другим катетом остается также 45º. Получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

Из теоремы Пифагора получаем уравнение x 2 + y 2 = 1 2 . Поскольку x = y, а 1 2 = 1, то уравнение упрощается до x 2 + x 2 = 1. Решив его, получаем x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Таким образом, координаты точки M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

В координатах точек середин других четвертей будут меняться только знаки, а модули значений оставаться такими же, так как прямоугольный треугольник будет только переворачиваться. Получим:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

При определении координат третьих частей четвертей окружности также строят прямоугольный треугольник. Если брать точку π/6 и проводить перпендикуляр к оси x, то угол между гипотенузой и катетом, лежащим на оси x, составит 30º. Известно, что катет, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы. Значит, мы нашли координату y, она равна ½.

Зная длины гипотенузы и одного из катетов, по теореме Пифагора находим другой катет:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 — ¼ = ¾
x = √3/2

Таким образом T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Для точки второй трети первой четверти (π/3) перпендикуляр на ось лучше провести к оси y. Тогда угол при начале координат также будет 30º. Здесь уже координата x будет равна ½, а y соответственно √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Для других точек третей четвертей будут меняться знаки и порядок значений координат. Все точки, которые ближе расположены к оси x будут иметь по модулю значение координаты x, равное √3/2. Те точки, которые ближе к оси y, будут иметь по модулю значение y, равное √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Цель урока: ввести уравнение окружности, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Оборудование : интерактивная доска.

Организационный момент – 3 мин.
Повторение. Организация мыслительной деятельности – 7 мин.
Объяснение нового материала. Вывод уравнения окружности – 10 мин.
Закрепление изученного материала– 20 мин.
Итог урока – 5 мин.

− (Приложение1 Слайд 2 ) записать формулу нахождения координат середины отрезка;

− (Слайд 3) З аписать формулу расстояние между точками (длины отрезка).

3. Объяснение нового материала.

(Слайды 4 – 6) Дать определение уравнения окружности. Вывести уравнения окружности с центром в точке (а ;b ) и с центром в начале координат.

х 2 + у 2 = R 2 − уравнение окружности с центром в начале координат.

Для того чтобы составить уравнение окружности, надо:

знать координаты центра;
знать длину радиуса;
подставить координаты центра и длину радиуса в уравнение окружности.

4. Решение задач.

В задачах № 1 – № 6 составить уравнения окружности по готовым чертежам.

№ 7. Заполнить таблицу.

№ 8. Построить в тетради окружности, заданные уравнениями:

№ 9. Найти координаты центра и длину радиуса, если АВ – диаметр окружности.

Дано:		Решение:
Дано:		R	Координаты центра
1	А (0 ; -6) В (0 ; 2)	АВ 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; АВ 2 = 64; АВ = 8 .	А (0; -6) В (0 ; 2) С (0 ; – 2) – центр
2	А (-2 ; 0) В (4 ; 0)	АВ 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; АВ 2 = 36; АВ = 6.	А (-2;0) В (4 ;0) С (1 ; 0) – центр

№ 10. Составьте уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку К (-12;5).

R 2 = ОК 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
R = 13;

Уравнение окружности: х 2 + у 2 = 169.

№ 11. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром в точке С (3; — 1).

R 2 = ОС 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

№ 12. Составьте уравнение окружности с центром А (3;2), проходящей через В (7;5).

1. Центр окружности – А (3;2);
2. R = АВ ;
АВ 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; АВ = 5;
3. Уравнение окружности (х – 3) 2 + (у − 2) 2 = 25.

№ 13. Проверьте, лежат ли точки А (1; -1), В (0;8), С (-3; -1) на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

I . Подставим координаты точки А (1; -1) в уравнение окружности:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – равенство неверно, значит А (1; -1) не лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

II . Подставим координаты точки В (0;8) в уравнение окружности:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
В (0;8) лежит х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

III. Подставим координаты точки С (-3; -1) в уравнение окружности:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – равенство верно, значит С (-3; -1) лежит на окружности, заданной уравнением (х + 3) 2 + (у − 4) 2 = 25.

Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
(Слайд 21) Домашнее задание.

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

Визуальное отображение вводимых функций
Построение очень сложных графиков
Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
Управление масштабом, цветом линий
Возможность построения графиков по точкам, использование констант
Построение одновременно нескольких графиков функций
Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.