Гипотенуза верхего треугольника не прямая, а дуга с большим радиусом кривизны,ориентированная как дуга единичной окружности,находящаяся в 4-ой координатной четверти.Гипотенуза нижнего треугольника в свою очередь тоже дуга ,но ориентированная как дуга 2-ой четверти.То есть пустая клетка появлялась из-за того,что эти фигуры не одинаковы. А глазу эти дуги не заметны из-за цветовой гаммы.
Комментарий от kas [ 17 мая, 2008, 01:22 ]
Чесно нихера не понял =)
Комментарий от не блондинко [ 19 августа, 2008, 23:09 ]
Поняла усе:) если бь все было “так, как надо”, углы красного и темно-зеленого треугольников были бы равны. Но они не равны. соотношение катетов красного – 3:8, темно-зеленого – 2:5. Соответственно, гипотенуза большого “треугольника” в первом случае слегка , совсем незаметно вогнута, во втором – слегка выпукла. Отсюда и получается дополнительная площадь размером в 1 квадрат.
Комментарий от Архимед [ 17 декабря, 2008, 15:28 ]
Все ровно-это полтергейст. Сам проверял
Комментарий от YurA [ 5 августа, 2009, 12:41 ]
чёрт вырезал из листика в клеточку (откуда обман зрения) и чётко подставлял – 1 квадрат появился всёравно
Комментарий от Б.К. [ 14 сентября, 2009, 19:08 ]
2 Башмак. Гипотенуза верхнего треугольника – не дуга, а ЛОМАНАЯ, ее излом – в углу многоугольника песочного цвета.
Комментарий от Felix KoT [ 20 октября, 2009, 21:22 ]
Математики блин…. 2 YurA. +1 🙂
Комментарий от Санек [ 12 декабря, 2009, 22:38 ]
Эта геометрическая ошибка еще носит название «Геометрический парадокс 64=65».
Комментарий от BL555 [ 24 октября, 2010, 09:56 ]
Квадрат взялся по причине обмана зрения. Нам кажется, что фигуры одного цвета в обоих случаях имеют одинаковую площадь. Так нас заставляет думать кажущаяся одинаковой длина катетов у соответствующих цветных треугольников. На самом деле длина катетов у них разная, но незначительно. Мы этого не видим, поскольку контуры фигур обозначены весьма жирными линиями. Это как в черчении, маленькие расхождения в построении устраняются посредством толщины линий.На самом деле у верхнего синего тр-ка катет пересекает гипотенузу большого тр-ка не точно в углу клетки, а чуть выше, но за счет толщины линии мы этого не видим. Зато если построить на бумаге с увеличенным хотя бы в 2 раза масштабе, то видно это расхождение. А как мы знаем, толстая линия тоже занимает определенную площадь. Вот и взялся этот маленький квадратик за счет грамотно расчерченных контуров фигур. Все просто)))))
Комментарий от exe [ 14 сентября, 2011, 21:11 ]
чертил на листке в клетку. гипотенузу большого (общего )треугольника начертил ровно прямой, и начал расчерчивать его, но как на рисунке, где сходятся в одной точке зеленый и красный треугольники и желтая фигура, у меня не получилось, чууууть чуть не сошлось, неужели из-за этого?
Комментарий от риад [ 11 августа, 2012, 16:26 ]
количество клеток в основаниях разное
Комментарий от Angelina [ 14 октября, 2012, 10:33 ]
Гипотенуза на верхнем рисунке ломаная линия вогнутая в середину “треугольника”, а на нижнем рисунке наружу, из-за этого и получается разница в площадях. Это происходит, потому что синий и красный треугольник не являются подобными. Излом гипотенузы, на глаз незаметен, но площадь 1х1 добавляет по всей длине.
Комментарий от Ильдар [ 3 ноября, 2012, 12:19 ]
2 Башмак, 2 BL555. Ребята, вы не обижайтесь, но посмешили меня от души. Один развил теорию дуг, другой вообще списал все на катеты и несовпадения линий. Друзья мои, потрудитесь нарисовать первую фигуру, вырезать и собрать по форме 2 и вы увидите, что все работает, и толщина линий ни при чем, и дуг там нет. Просто то, что вы приняли за треугольники (большие), являются по факту вогнутым и выпуклым четырехугольником. Т.е. гипотетическая гипотенуза больших треугольников не является прямой линией, и не является гипотензуой.
Комментарий от Евгений [ 22 декабря, 2012, 22:54 ]
Фигня все это. Я замерил, разрезал, сложил по рисунку 2 и у меня треугольника не получилось, как раз таки из-за вот этой дырки между зеленой и желтой фигурой.
Комментарий от Свят [ 5 февраля, 2013, 23:03 ]
Углы у треугольников разные а именно 20градусов 37 минут и 19 градусов 34 минуты. в результате этого при их сборе общая гипотинуза (на самом деле это ломаная линия)прогибаетя в первом случае вниз, во втором вверх. Надлом общей гипотенузы вверх или вниз на пол градуса, глаз не замечает – тем более при такой раскраске… отсюда и заблуждение !
Видео:Я прошёл головоломку с треугольником в игре MachinariumСкачать
совместно с Григорием Мерзоном
Квадрат $8times 8$ можно разрезать на четыре части из которых складывается… прямоугольник $5times 13$ площадью $65!$
Ещё один известный геометрический софизм: прямоугольный треугольник с катетами $5$ и $13$ разрезается на четыре части, из которых складывается тот же прямоугольный треугольник, но уже с одной пустой клеткой!
Но постойте, площадь фигуры равна сумме площадей частей, из которых она составлена. Поэтому при перекладывании она не может измениться. В чём же нестыковка?
Объяснение парадокса в обоих случаях по сути одинаковое — рассматриваются не те фигуры, которые описывали. В «Парадоксе шахматной доски», представленном шахматистом и автором головоломок Сэмюэлем Лойдом в середине XIX века на шахматном конгрессе, честный квадрат перекладывается не в прямоугольник, а в прямоугольник без вытянутого, почти незаметного глазу параллелограмма единичной площади (вытянутого вдоль диагонали прямоугольника). В парадоксе с треугольниками, придуманном Мартином Гарднером в середине XX века, обе гипотенузы (исходного и получающегося треугольника) на самом деле не являются прямыми: составленная из них фигура также является параллелограммом единичной площади.
Чтобы было легче разглядеть этот параллелограмм, посмотрим на аналог «треугольника Гарднера» меньшего размера — со сторонами $3$ и $5$.
Все вершины всех частей лежат в узлах квадратной сетки. И в том, что границы частей не складываются в прямую линию, а образуют стороны параллелограмма (с вершинами в узлах), легко убедиться, посчитав по клеточкам наклон каждого отрезка. В прямоугольнике $5times 13$ в жёлтом треугольнике отношение катетов равно $tg alpha=dfrac$, а для синей трапеции тангенс «того же» угла равен $dfrac$. Для софизма с треугольником: в варианте Гарднера $dfracne dfrac$, в уменьшенном варианте $dfracne dfrac$. Во всех случаях стороны параллелограмма, как и должно быть, попарно равны и параллельны. Вершины параллелограмма лежат в узлах сетки, а вот внутри параллелограмма нет ни одного узла. Что, впрочем, неудивительно, если вспомнить, что площадь равна единице и формулу Пика .
Разобравшись с нестыковкой, задумаемся, как конструировать подобные софизмы. Можно заметить, что встречавшиеся числа $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13$ являются началом знаменитой последовательности чисел Фибоначчи
Эта последовательность задаётся рекуррентным соотношением $$ F_n=F_+F_ $$ и парой начальных чисел $F_0=1$, $F_1=1$.
Между числами Фибоначчи существует много интересных соотношений. В $1680$ году французский астроном итальянского происхождения Джованни Доминико Кассини, открывший спутники Сатурна и щель в его кольцах, заметил такое соотношение: $F_cdot F_-F_n^2=(-1)^n$, которое теперь называют его именем.
При $n=6$ получается равенство $5cdot 13-8^2=1$ — знакомые по «Парадоксу шахматной доски» числа и знакомое увеличение на единицу! А вот принять за сторону квадрата число Фибоначчи с нечётным номером нельзя — детали в соответствующий прямоугольник можно сложить только с наложением (в пересечении — всё тот же параллелограмм единичной площади).
В «треугольнике Гарднера» катеты маленьких (настоящих и не меняющих площадь) треугольников являются числами Фибоначчи: у красного — 3 и 8, у жёлтого — 2 и 5. Соответственно стороны прямоугольника (в котором и происходит увеличение на клетку) получаются: до перекладки — 3 и 5, а после перекладки — 2 и 8. Увеличение площади прямоугольника на клетку обеспечивает соотношение на четыре последовательных числа Фибоначчи: $F_cdot F_-F_cdot F_=(-1)^n$, которое можно получить из соотношения Кассини и рекуррентного соотношения. Для $n=6$ получается равенство $8cdot 2-5cdot 3=1$, на котором основан «треугольник Гарднера».
Таким образом, софизмы построены на том, что размеры фигур и частей, из которых они составляются, суть нескольких подряд идущих числах Фибоначчи. Опираясь на эти соотношения можно построить аналогичные софизмы и для фигур больших размеров. В варианте Лойда надо не забывать про чётность, а в варианте Гарднера — если желать, чтобы площадь собиралась в квадратную клетку, придётся увеличивать количество частей, из которых составлен основной прямоугольник.
Для чисел Фибоначчи существует и явное, а не рекуррентное, задание, называемое формулой Бине $$ F_n=frac<sqrt>Big(frac<1+sqrt>Big)^n-frac<sqrt>Big(frac<1-sqrt>Big)^n. $$ Отметим, что хотя числа Фибоначчи целые, в формуле для них возникает число иррациональное — золотое сечение $phi=dfrac2$.
Первая скобка в формуле Бине равна примерно $1618$, а вторая скобка — число отрицательное и по модулю меньшее единицы (примерно $-0618$). Значит, числа Фибоначчи быстро растут, а точнее, $F_nsimdfrac1varphi^n$. Это объясняет, почему с ростом $n$ щель в виде параллелограмма становится всё уже и обман всё сложнее заметить (сравните, например, маленький и большой «треугольники Гарднера»). Действительно, наклоны разных отрезков в софизмах имеют вид $dfrac<F_>$, а с ростом $n$ эти отношения становятся всё ближе к $phi^2$ и практически неразличимы.
Появившийся единичный параллелограмм и его диагональ являются объектами красивой науки, начала которой заложил Герман Минковский, — геометрии чисел. Более точно — геометрической интерпретации цепных дробей.
“С любой точки зрения нельзя быть слепым”. Станислав Ежи Лец.
Давно ваш интеллект баловала интересная игра, головоломка, загадка?
Давайте немного отдохнём от систем отопления. Решим одну головоломку, научимся не делать поспешных выводов, не сторониться странного. Как и выбор в пользу одной из систем отопления возможен только после изучения различных аспектов, взвешивания всех «за» и «против», так и здесь – первый взгляд не даёт моментального ответа. Не всё то, что мы видим – таково на самом деле.
Да, необъяснимое, непонятое, новое – порой отталкивает. Однако, просто уходить от малоизвестного, закрывать глаза на необычное – глупо. Если воздушное отопление на базе газовых конвекторов для вас в диковинку, это лишний повод приглядеться получше, послушать побольше. И узнать разные точки зрения.
Но – вернёмся к загадкам, десерту для ума. Иногда так трудно поверить своим глазам. Взгляните на картинку:
Если Вы видите эту головоломку впервые, то кажется, что геометрия сошла с ума. Верно? Оставляем Вас на несколько минут – побалуйте себя вкусными размышлениями, сверьте найденный ответ.
Из-за разных цветов составных частей фигуры кажутся прямоугольными треугольниками. Но если внимательно присмотреться, перед Вами вовсе не треугольники. А – четырёхугольники. Четвёртая вершина находится в месте со прикосновения вершин аквамаринового и красного треугольников.
Присмотритесь к 5-ой вертикальной линии разметки от левого угла фигуры. Аквамариновый треугольник имеет высоту в 2-е клетки, а красный треугольник в этом же месте – немного меньшую (примерно на 0,2 высоты клетки). Таким образом, острые углы аквамаринового и красного треугольников различны.
Верхний четырёхугольник имеет слегка вогнутую вершину в точке соприкосновения аквамаринового и красного треугольников, а нижний – выпуклую вершину. Именно поэтому и выскакивает «лишняя» свободная клетка.
