Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в 30°, будет равняться половине гипотенузы.
Изобразим прямоугольный треугольник АСВ с углом В = 30°. В этом случае второй его острый угол будет 60°.
Обоснуем, что катет АС равняется половине гипотенузы АВ то есть АС = 1/2АВ.
Продлим катет АС за вершину прямого угла С и начертим отрезок СМ, причем части равные СМ=АС. Прочертим ВМ, соединив таким образом точки В и М. Сформированные прямоугольные треугольники ВСМ и АСВ эквиваленты (равны по двум катетам). Наглядно видно, что всякий угол треугольника АМВ по 60°, значит можно сделать вывод, что образовавшийся треугольник — равносторонний.
Сторона АС = 1/2 АМ, а поскольку АМ = АВ, а значит и катет АС будет равен 1/2 гипотенузы АВ.
Катет, лежащий против угла 30 градусов
Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Проведем из вершины прямого угла медиану CF.
Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то
Так как BF=CF, то треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.
Следовательно, у него углы при основании равны:
Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC
∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º.
Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.
Значит, все его стороны равны и
Что и требовалось доказать.
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.
В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º ( по построению).
Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны:
Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.
Свойства прямоугольного треугольника
| Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||
| Прямоугольный треугольник | ||||||||||
| Равнобедренный прямоугольный треугольник | ||||||||||
| Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
| Прямоугольный треугольник |
| Равнобедренный прямоугольный треугольник |
 Определение равнобедренного прямоугольного треугольника: Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Свойство углов прямоугольного треугольника: Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° . |
| Прямоугольный треугольник с углом в 30° |
 Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° : Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° : Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° . |
| Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника |
 Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным. |
| Центр описанной окружности |
 Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. |
 В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным |