Геометрия римана сумма углов треугольника (4 видео)

Геометрия Римана

В 1846 году Риман Георг Фридрих Бернхард поступил в Гёттингенский университет. Юный студент слушал лекции выдающегося немецкого математика Карла Гаусса. В Берлинском университете Бернхард Риман посещает лекции К. Якоби по механике и П. Дирихле по теории чисел. Знания полученных от этих гениальных ученых впоследствии будут развиты Риманом. В Гёттингенском университете Риман сотрудничал с талантливым физиком В. Вебером. Благодаря Веберу Риман заинтересовался проблемами математического естествознания. В 1851 Риман защитил докторскую диссертацию «Основы общей теории функций одной комплексной переменной». В 1857 становится профессором Гёттингенского университета. Лекции профессора Римана легли в основу ряда новых курсов таких, как математической физики, теории тяготения, электричества и магнетизма, эллиптических функций.

Научно-исследовательские труды Бернхард Римана оказали огромное влияние на развитие математики в конце XIX и начале XX веков.

Уже в докторской диссертации Риманом были заложены основы геометрического направления теории аналитических функций. Выдающийся математик и геометр Риман ввел так называемые римановы поверхности, которые сыграли важную роль при исследовании многозначных функций. Более того, им была разработана теория конформных отображений, а также представлены основные идеи топологии, изучены условия существования аналитических функций внутри областей различного вида и многое другое.

Методы, разработанные Риманом нашли широкое применение в теории алгебраических функций и интегралов, по аналитической теории дифференциальных уравнений, в частности, уравнений, определяющих гипергеометрические функции, по аналитической теории чисел. К примеру, Риманом была указана связь распределения простых чисел со свойствами дзета-функции, а именно: с распределением её нулей в комплексной области — так называемая гипотеза Римана, однако ее справедливость ещё не доказана

В 1854 году в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» Риман дал общую идею математического пространства или «многообразия», включая функциональные и топологические пространства. Здесь Риман рассматривал геометрию как учение о непрерывных n-мерных многообразиях, то есть совокупностях любых однородных объектов. Обобщив результаты К. Гаусса по внутренней геометрии поверхностей, Риман сформулировал понятие линейного элемента, так называемого дифференциала расстояния между точками многообразия. Главным достижением ученого Римана стало создание новой геометрии.

Риманова геометрия — это раздел дифференциальной геометрии, объектом изучения которой, главным образом, являются римановы многообразия . Римановы многообразия — это гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой, то есть с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.

Подразделом римановой геометрии является геометрия в целом, которая выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия (к примеру, топология или диаметр) и его локальных свойств (к примеру, ограничений на кривизну).

Основными элементами трехмерной римановой геометрии являются точки, прямые и плоскости.

В римановой геометрии имеют место такие предложения: через каждые две точки проходит одна прямая, каждые две плоскости пересекаются по одной прямой, каждые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в одной точке), точки на прямой расположены в циклическом порядке (как и прямые, лежащие в одной плоскости и проходящие через одну точку). Таким образом, требования аксиом римановой геометрии, относящиеся конгруэнтности, обеспечивают свободные движения фигур по плоскости и в пространстве Римана, как на плоскости, так и в пространстве Евклида.

Метрические свойства плоскости Римана «в малом» совпадают с метрическими свойствами обыкновенной сферы, а именно: для любой точки плоскости Римана существует содержащая эту точку часть плоскости, изометричная некоторой части сферы; радиус R этой сферы — один и тот же для всех плоскостей данного пространства Римана. Число К = 1/R 2 называется кривизной пространства Римана. Следует отметить, что, чем меньше К , тем ближе свойства фигур этого пространства к евклидовым.

«В целом» свойства плоскости Римана отличаются от свойств целой сферы в следующем: на плоскости Римана две прямые пересекаются в одной точке, а на сфере два больших круга, которые выступают как прямые в сферической геометрии, пересекаются в двух точках; прямая, лежащая на плоскости, не разделяет эту плоскость, таким образом, если прямая а лежит в плоскости a, то любые две точки плоскости a, не лежащие на прямой а , возможно соединить отрезком, не пересекая прямой а .

Таким образом, Риман построил вторую разновидность неевклидовой геометрии в противоположность геометрии Лобачевского.

Уникальные идеи и методы, предложенные Риманом открыли новые пути для развития математики и нашли применение в механике и физике. Развитию римановой геометрии послужило создание итальянскими учеными Риччи-Курбастро и Леви-Чивита тензорного исчисления.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

РИ́МАНОВА ГЕОМЕ́ТРИЯ

В книжной версии

Том 28. Москва, 2015, стр. 518-519

Скопировать библиографическую ссылку:

РИ́МАНОВА ГЕОМЕ́ТРИЯ, многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка по сравнению с размером области). Р. г. получила своё назв. по имени Б. Римана , заложившего её основы в 1854.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

Геометрия римана сумма углов треугольника

Формула (3) вытекает теперь из того, что (поскольку вектор имеет координаты x₂ — x₁, y₂ — y₁, z₂ — z₁), а формула (4) — из того, что (поскольку векторы и имеют координаты x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂).

Если M₁ и M₂ — точки нашей сферы, то обычное расстояние между ними измеряется по формуле (3). Расстояние же ω между этими точками, измеренное по большой окружности сферы, в соответствии с соглашениями, принятыми в сферической геометрии, равно углу φ между отрезками OM₁ и OM₂, умноженному на радиус r сферы; поэтому, согласно соотношениям (2) и (4), это расстояние вычисляется по формуле

(5)

Для определения «расстояния» между двумя «точками» M₁ и M₂ неевклидовой геометрии Римана можно воспользоваться той же формулой (5), где только надо учесть, что если ω окажется больше πr/2 (т. е. если угол φ будет тупым), то одну из точек M₁, M₂ надо будет заменить центрально-симметричной (т. е. изменить знаки у чисел x₁, y₁, z₁ или у чисел x₂, y₂, z₂). Отсюда получаем следующую формулу для «расстояния» между двумя «точками» неевклидовой плоскости Римана:

(6)

Основные понятия неевклидовой геометрии Римана. Принцип двойственности. Далее будем говорить лишь о неевклидовой геометрии Римана, в соответствии с чем откажемся от кавычек, указывающих на образы этой геометрии. При этом будем все время иметь в виду тесную связь рассматриваемой геометрии со сферической, позволяющую выводить все теоремы неевклидовой геометрии Римана из известных факторов сферической геометрии.

Мы не ставим перед собой задачи дать полный перечень аксиом геометрии Римана. Укажем только, что основная аксиома «через всякие две точки можно провести прямую и притом только одну» евклидовой геометрии сохраняет силу и в геометрии Римана; но наряду с ней здесь имеет место также и аксиома «всякие две прямые пересекаются в точке и притом только в одной» (на сфере всякие две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, но после отождествления диаметрально противоположных точек эти две точки превращаются в одну). Из этой аксиомы вытекает, что на неевклидовой плоскости Римана выполняется V постулат Евклида: если на этой плоскости пересекаются всякие две прямые, то в том числе пересекаются и прямые, удовлетворяющие условию V постулата * . Однако на неевклидовой плоскости Римана не выполняются аксиомы порядка евклидовой плоскости, так как в случае неевклидовой плоскости Римана каждую из трех точек прямой можно считать лежащей между двумя другими, подобно тому как это имеет место для трех точек евклидовой окружности. По этой причине на неевклидовой плоскости Римана не проходит приведенное выше доказательство теоремы Лежандра о том, что сумма углов треугольника не превосходит 180°. Напротив, из того, что сумма углов сферического треугольника больше 180° вытекает, что сумма углов любого треугольника на неевклидовой плоскости Римана больше 180°. Поэтому утверждение Лежандра о том, что V постулат эквивалентен предположению о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам, справедливо только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида — на неевклидовой плоскости Римана, на которой V постулат выполняется, но не выполняются аксиомы порядка геометрии Евклида, эти утверждения уже не эквивалентны.

* Впрочем, заключительная часть V постулата, указывающая, по какую сторону от секущей пересекутся две встречающие ее прямые, в неевклидовой геометрии Римана теряет смысл, поскольку прямая не разбивает неевклидовой плоскости Римана на две части.