Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Все формулы для треугольника
Содержание
  1. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  2. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  3. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  4. 4. Найти длину высоты треугольника
  5. Треугольник вписанный в окружность
  6. Определение
  7. Формулы
  8. Радиус вписанной окружности в треугольник
  9. Радиус описанной окружности около треугольника
  10. Площадь треугольника
  11. Периметр треугольника
  12. Сторона треугольника
  13. Средняя линия треугольника
  14. Высота треугольника
  15. Свойства
  16. Доказательство
  17. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  18. Типы треугольников
  19. По величине углов
  20. По числу равных сторон
  21. Вершины углы и стороны треугольника
  22. Свойства углов и сторон треугольника
  23. Теорема синусов
  24. Теорема косинусов
  25. Теорема о проекциях
  26. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  27. Медианы треугольника
  28. Свойства медиан треугольника:
  29. Формулы медиан треугольника
  30. Биссектрисы треугольника
  31. Свойства биссектрис треугольника:
  32. Формулы биссектрис треугольника
  33. Высоты треугольника
  34. Свойства высот треугольника
  35. Формулы высот треугольника
  36. Окружность вписанная в треугольник
  37. Свойства окружности вписанной в треугольник
  38. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  39. Окружность описанная вокруг треугольника
  40. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  41. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  42. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  43. Средняя линия треугольника
  44. Свойства средней линии треугольника
  45. Периметр треугольника
  46. Формулы площади треугольника
  47. Формула Герона
  48. Равенство треугольников
  49. Признаки равенства треугольников
  50. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  51. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  52. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  53. Подобие треугольников
  54. Признаки подобия треугольников
  55. Первый признак подобия треугольников
  56. Второй признак подобия треугольников
  57. Третий признак подобия треугольников

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы длины равных сторон , (a):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Треугольник вписанный в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Видео:Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Типы треугольников

По величине углов

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

По числу равных сторон

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Медианы треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса описанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

Биссектрисы треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

Высоты треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность вписанная в треугольник

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Окружность описанная вокруг треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписаннойСкачать

112. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Периметр треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Формулы для нахождения сторон треугольника вписанного в окружность

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: