Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формулы площадей фигур

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Содержание
  1. Формулы площади треугольника
  2. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  3. Формула площади треугольника по трем сторонам
  4. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  6. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  7. Формулы площади квадрата
  8. Формула площади квадрата по длине стороны
  9. Формула площади квадрата по длине диагонали
  10. Формула площади прямоугольника
  11. Формулы площади параллелограмма
  12. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
  13. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
  14. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
  15. Формулы площади ромба
  16. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
  17. Формула площади ромба по длине стороны и углу
  18. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
  19. Формулы площади трапеции
  20. Формула Герона для трапеции
  21. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
  22. Формулы площади дельтоида
  23. Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними
  24. Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними
  25. Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности
  26. Формула площади дельтоида по двум диагоналям
  27. Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника
  28. Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
  29. Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
  30. Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)
  31. Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью
  32. Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями
  33. Формулы площади круга
  34. Формула площади круга через радиус
  35. Формула площади круга через диаметр
  36. Площадь сегмента круга
  37. Площадь кругового сегмента через угол в градусах.
  38. Площадь кругового сегмента через угол в радианах.
  39. Формула площади эллипса
  40. Вписанная в четырехугольник окружность
  41. Если в четырехугольник можно вписать окружность то площадь
  42. Площади четырехугольников
  43. Формулы для площадей четырехугольников
  44. Вывод формул для площадей четырехугольников
  45. Вписанная окружность
  46. Свойства вписанной окружности
  47. В треугольник
  48. В четырехугольник
  49. Примеры вписанной окружности
  50. Верные и неверные утверждения
  51. Окружность вписанная в угол
  52. Формулы площадей фигур
  53. Формулы площади треугольника
  54. Формула площади треугольника по стороне и высоте
  55. Формула площади треугольника по трем сторонам
  56. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
  57. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  58. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
  59. Формулы площади квадрата
  60. Формула площади квадрата по длине стороны
  61. Формула площади квадрата по длине диагонали
  62. Формула площади прямоугольника
  63. Формулы площади параллелограмма
  64. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
  65. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
  66. Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
  67. Формулы площади ромба
  68. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
  69. Формула площади ромба по длине стороны и углу
  70. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
  71. Формулы площади трапеции
  72. Формула Герона для трапеции
  73. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
  74. Формулы площади дельтоида
  75. Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними
  76. Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними
  77. Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности
  78. Формула площади дельтоида по двум диагоналям
  79. Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника
  80. Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
  81. Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов
  82. Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)
  83. Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью
  84. Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями
  85. Формулы площади круга
  86. Формула площади круга через радиус
  87. Формула площади круга через диаметр
  88. Площадь сегмента круга
  89. Площадь кругового сегмента через угол в градусах.
  90. Площадь кругового сегмента через угол в радианах.
  91. Формула площади эллипса

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы площади треугольника

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p — a p — b p — c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Если в четырёхугольник можно вписать окружность

Формулы площади квадрата

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула площади квадрата по длине стороны

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Видео:В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.Скачать

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону.

Формула площади прямоугольника

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β , γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Формулы площади ромба

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Формулы площади трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две ( a, b ) стороны параллельны (основания), а две другие ( c, d ) стороны не параллельны (боковые стороны).

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула Герона для трапеции

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр трапеции.

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Видео:найти сторону четырехугольника, в который вписана окружностьСкачать

найти сторону четырехугольника, в который вписана окружность

Формулы площади дельтоида

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b ,
γ — угол между равными сторонами a .

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Видео:Если в четырёхугольник вписана окружность #огэ #огэ #математикаСкачать

Если в четырёхугольник вписана окружность #огэ #огэ #математика

Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β 2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

S = p — a p — b p — c p — d ,

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Формулы площади круга

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь S = π r 2 ,

где S — площадь круга,
r — радиус круга.

Формула площади круга через диаметр

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — площадь круга,
d — диаметр круга.

Видео:Урок 2. Вписанная окружность в четырехугольник. Диаметр - высотаСкачать

Урок 2. Вписанная окружность в четырехугольник. Диаметр - высота

Площадь сегмента круга

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.

Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формула площади эллипса

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

Видео:В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 18,в подстановке от до BC=14 и CD = 25Скачать

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB = 18,в подстановке от до BC=14 и CD = 25

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьВ четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьO — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьAM=AN,

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Если в четырехугольник можно вписать окружность то площадь

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Площади четырехугольников

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьФормулы для площадей четырехугольников
Если в четырехугольник вписана окружность то площадьВывод формул для площадей четырехугольников
Если в четырехугольник вписана окружность то площадьВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадьS = ab

a и b – смежные стороны

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

ПараллелограммЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадьS = a 2

a – сторона квадрата

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьS = 4r 2Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

a и b – основания,
h – высота

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьS = m hЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

ДельтоидЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадьS = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Произвольный выпуклый четырёхугольникЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь,
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

где
a и b – смежные стороны

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – основания,
h – высота

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь,
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Параллелограмм
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Квадрат
Если в четырехугольник вписана окружность то площадьS = a 2

где
a – сторона квадрата

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьS = 4r 2
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Ромб
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Трапеция
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Дельтоид
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадьЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Вписанный четырёхугольник
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
Прямоугольник
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – смежные стороны

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

ПараллелограммЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a – сторона квадрата

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

РомбЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – основания,
h – высота

Если в четырехугольник вписана окружность то площадьЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

ДельтоидЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Произвольный выпуклый четырёхугольникЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникЕсли в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
(рис.6).

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:2128 в четырёхугольник ABCD вписана окружность AB = 7 BC = 12 CD = 9Скачать

2128 в четырёхугольник ABCD вписана окружность AB = 7 BC = 12 CD = 9

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
    • Четырехугольник
      Если в четырехугольник вписана окружность то площадь
    • Многоугольник
      Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

    2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shorts

    Формулы площадей фигур

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Формулы площади треугольника

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула площади треугольника по стороне и высоте

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

    где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

    Формула площади треугольника по трем сторонам

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

    S = p p — a p — b p — c ,

    где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
    a, b, c — стороны треугольника.

    Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 1 2 a · b · sin γ ,

    где a, b — стороны треугольника,
    γ — угол между сторонами a и b .

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

    a, b, c — стороны треугольника,
    R — радиус описанной окружности.

    Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь треугольника,
    r — радиус вписанной окружности,
    p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

    Видео:Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

    Окружность, вписанная в четырехугольник

    Формулы площади квадрата

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула площади квадрата по длине стороны

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

    где S — площадь квадрата,
    a — длина стороны квадрата.

    Формула площади квадрата по длине диагонали

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

    где S — площадь квадрата,
    d — длина диагонали квадрата.

    Формула площади прямоугольника

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

    где S — площадь прямоугольника,
    a, b — длины сторон прямоугольника.

    Формулы площади параллелограмма

    Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    где S — площадь параллелограмма,
    a, h — длины сторон параллелограмма.

    Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    где S — площадь параллелограмма,
    a, b — длины сторон параллелограмма,
    α — угол между сторонами параллелограмма.

    Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

    S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

    где S — площадь параллелограмма,
    d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
    β , γ — угол между диагоналями параллелограмма.

    Формулы площади ромба

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула площади ромба по длине стороны и высоте

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

    где S — площадь ромба,
    a — длина стороны ромба,
    h — длина высоты ромба.

    Формула площади ромба по длине стороны и углу

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

    где S — площадь ромба,
    a — длина стороны ромба,
    α — угол между сторонами ромба.

    Формула площади ромба по длинам его диагоналей

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

    где S — площадь ромба,
    d1, d2 — длины диагоналей ромба.

    Формулы площади трапеции

    Трапеция — это четырёхугольник, у которого две ( a, b ) стороны параллельны (основания), а две другие ( c, d ) стороны не параллельны (боковые стороны).

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула Герона для трапеции

    где S — площадь трапеции,
    a, b — длины основ трапеции,
    c, d — длины боковых сторон трапеции,
    p = a + b + c + d 2 — полупериметр трапеции.

    Формула площади трапеции по длине основ и высоте

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

    где S — площадь трапеции,
    a, b — длины основ трапеции,
    h — высота трапеции.

    Формулы площади дельтоида

    Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

    где S — площадь дельтоида,
    a, b — длины неравных сторон дельтоида,
    β — угол между неравными сторонами дельтоида.

    Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

    S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

    где S — площадь дельтоида,
    a, b — длины сторон дельтоида,
    α — угол между равными сторонами b ,
    γ — угол между равными сторонами a .

    Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

    где S — площадь дельтоида,
    a, b — длины неравных сторон дельтоида,
    r — радиус вписанной окружности.

    Формула площади дельтоида по двум диагоналям

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

    где S — площадь дельтоида,
    d1, d2 — диагонали дельтоида.

    Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника

    Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

    Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

    S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

    где S — площадь четырехугольника,
    d1, d2 — диагонали четырехугольника,
    γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

    Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

    где S — площадь четырехугольника,
    a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
    p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника,
    θ = α + β 2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

    Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

    S = p — a p — b p — c p — d ,

    где S — площадь четырехугольника,
    a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
    p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

    Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

    где S — площадь четырехугольника,
    r — радиус вписанной окружности,
    p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

    Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:

    где S — площадь четырехугольника,
    a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

    Формулы площади круга

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Формула площади круга через радиус

    Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадьS = π r 2 ,

    где S — площадь круга,
    r — радиус круга.

    Формула площади круга через диаметр

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

    где S — площадь круга,
    d — диаметр круга.

    Площадь сегмента круга

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

    где S — площадь сегмента круга,
    R — радиус круга,
    α° — угол в градусах.

    Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

    где S — площадь сегмента круга,
    R — радиус круга,
    α° — угол в радианах.

    Формула площади эллипса

    Если в четырехугольник вписана окружность то площадь

    Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

    где S — площадь эллипса,
    a — длина большей полуоси эллипса,
    b — длина меньшей полуоси эллипса.

    Поделиться или сохранить к себе: