Египетский треугольник решение задач

Класс: 8

Цели:

Оборудование урока: портрет Пифагора, проектор с экраном, веревка с 12 узлами, компьютеры.

I. Организационный момент, где учитель сообщает тему урока и его цели.

II. Проверка домашнего задания

А) Один ученик доказывает теорему Пифагора у доски.

Б) Ответы на вопросы:

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

2. Какой треугольник называется прямоугольным?

3. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

4. Заслушивание доклада учащегося “Теорема Пифагора”

5. Заслушивание доказательства теоремы Пифагора.

В) Решение задач по готовым чертежам.

Г) Составление алгоритма решения задачи.

1. Нахождение прямоугольного треугольника.

2. Запись теоремы Пифагора к конкретной задаче.

3. Составление и решение уравнения.

Д) Вывешивается таблица алгоритма.

1. Найти с.

2. с 2 = а 2 + в 2

3. с 2 = 8 2 + 6 2

III. Изучение нового материала.

А) Историческая справка.

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла использовали бечевку, разделенную узлами на 12 равных частей, покажите, как они это делали. (К доске вызываются 3 желающих продемонстрировать построение прямоугольного треугольника). Напоминаю, что в углах должны быть узлы. Ребята, выполнив с помощью веревки построение, очень довольны, что побывали в роли древних египтян. Рассказывают, что и сейчас при закладывании фундаментов новых домов очень часто строители используют именно этот способ построения прямых углов будущих домов.

Б) Постройте на компьютере треугольник АВС

Дано: а=4 см; в=3 см; С=90 °

Решение: с 2 =а 2 +в 2

с₁=5; с₂=-5 постороннее решение, длина гипотенузы – положительное число.

В) Ответ проверьте измерениями.

Г) Как вы думаете, какое название носит этот прямоугольный треугольник?

Правильно, Египетский треугольник, так и тема нашего урока. Ребята, запишите в тетрадях тему урока «Египетский треугольник».

IV. Развитие умений и навыков.

А) Найдите сторону ромба, если его диагонали 8 см и 6см.

На экране с помощью проектора дается чертеж.

Дано: АВСД – ромб

Решение: устно составим алгоритм решения задачи.

1. АВО – прямоугольник LО=90 °

2. АВ 2 =АО 2 +ВО 2 (АО = )

А как было проще решить, не выполняя вычислений, кто догадается?

Ответ: я вижу, что в прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4, значит он Египетский, а поэтому гипотенуза равна 5, т.е. АВ=5.

Учитель: Вот ребята, оказывается не всегда нужно выполнять вычисления, а можно, зная определение Египетского треугольника, сразу дать ответ.

V. Работа в группах на 5–6 минут (класс разбит на несколько групп по 4 человека) каждая группа получает задание – карточку.

Стороны ромба равны по 13 см, а большая диагональ его равна 24 см. Вычислите другую диагональ.

В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 40 см. Боковая сторона равна 25 см. Вычислите высоту трапеции.

В равнобедренной трапеции основания равны 7 см и 25 см, высота равна 12 см. Вычислите диагональ АС и периметр трапеции.

В прямоугольной трапеции основания равны 11 см и 20 см. Большая боковая сторона ее равна 41 см. Найдите периметр трапеции.

В прямоугольной трапеции АВ АД и АВ=ВС, диагональ АССД и АС=СД. Найдите АД если АВ=5см.

Быстрая проверка: на экране через проектор проецируется чертеж к 1 карточке и ребята рассказывают свое решение.

АО=

25 АЕ=FД=

ВЕ=

Ответ: 62.

Из АВЕ

Ответ: 112.

АВС, LВ=, АВ=ВС=5

АСД, LС=, АС=СД

Ответ: 10.

VI. Задание на дом п.64, №17,18.

VII. Подведение итога урока, выставление оценок.

А) Возможно ли было решить задачи данного типа без знания теоремы Пифагора?

Б) О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?

В) Вспомните алгоритм решения задач данного типа.

Г) Достигли ли мы цели урока?

Д) Что вам понравилось на этом уроке?

Учитель благодарит всех за работу на уроке.

Литература:

1. А.В. Погорелов. Учебник. Геометрия 7-11.
2. Г.И. Глейзер, История математики в школе.
3. В.К. Смышляев, О математике и математиках.

Видео:Решали пол-урока, а оказалось очень простоСкачать

Урок по геометрии в 8 классе по теме «Египетский треугольник»

Урок по геометрии в 8 классе по теме «Египетский треугольник»

Оборудование урока: портрет Пифагора, веревка с 12 узлами, проектор с экраном,

I Организационный момент, где учитель сообщает тему урока и его цели.

google_protectAndRun(«render_ads. js::google_render_ad», google_handleError, google_render_ad); Цели:

формирование умений применять теорему Пифагора в стандартных и нестандартных ситуациях, развитие у учащихся умений математического моделирования, и анализирования практических задач, закрепление навыков вычислительных действий с числами, составление и использование алгоритма решения задач, развитие интереса и уважения к изучаемому предмету.

А) Один ученик доказывает теорему Пифагора у доски.

Б) Ответы на вопросы:

1. Сформулируйте теорему Пифагора.

2. Какой треугольник называется прямоугольным?

3. Как называются стороны прямоугольного треугольника?

В) Решение задач по готовым чертежам.

Г) Составление алгоритма решения задачи.

1. Нахождение прямоугольного треугольника.

2. Запись теоремы Пифагора к конкретной задаче.

3. Составление и решение уравнения.

5. Запись ответа.

Д) Вывешивается таблица алгоритма.

1. Найти с.

III. Изучение нового материала. (слайд №1)

Учитель: Математическая история начинается в Древней Греции (VI в. до н. э.) (слайд №2)

(Диалог по ролям) – читают два ученика, подготовленные заранее

Пифагор.
Фалес из Милета, ты не был на родине два года. В какой прекрасной стране ты был? Что же восхитило тебя, Фалес?
Фалес. О я был в Египте! Меня восхитили ГАРПЕДОНАПТЫ.
Пифагор. Это такие звери?
Фалес. Нет. Это люди. Землемеры – геометры (по-гречески).
Пифагор. Чем они восхитили тебя?
Фалес. Знаниями, Пифагор. Они так много умеют: измерять и находить площади и объёмы; делить отрезок на две равные части циркулем; находить площадь круга. У них есть треугольник со сторонами 3, 4 и 5 локтей. Стороны его – гипотенуза и катеты.

История утверждает, что зарождение геометрии в этой стране обязано климатическим условиям, необходимостью ежегодно заново делить земли.

Учитель: Чтобы попасть из Греции в Египет, надо переплыть Средиземное море.( слайд №3) В гавани Милета стоял корабль, готовый к отплытию. Пифагор подошел к капитану и спросил: «Вы плывете в Египет?» Тот сказал: «Да». Тогда, ничего не говоря больше, Пифагор взошел на корабль и молча сел в том месте, где меньше всего мог мешать матросам. Капитан несколько удивился такому его поведению, но не задал никаких вопросов.

Судно вышло в море, и в течение всего плавания, которое было на редкость удачным, Пифагор не сдвинулся с места и не принимал никакой пищи. Все были просто потрясены, а капитан решил, что этот юноша заколдован и приносит счастье в плаваниях. Когда же корабль причалил к берегу, матросы высадили Пифагора, ослабевшего и шатавшегося от голода, и даже сделали на берегу небольшой жертвенник с фруктами и другой едой, посвятив его чудесному юноше. Как только корабль ушел в море, Пифагор подкрепил свои силы и двинулся к близлежащему селению, сохраняя абсолютное спокойствие. Так Пифагор попал в Египет. (слайд №4)

Однажды, гуляя по берегу Нила, главной реки в Египте, Пифагор увидел, как два землемера растягивают на земле большую веревку с узлами. — Что вы делаете? — спросил Пифагор. — Не видишь, что ли? Волна смыла колышки, разделяющие два участка земли. И теперь, чтобы восстановить границу, нужно построить прямой угол. Для этого мы используем треугольник со сторонами три, четыре и пять локтей. — Знаменитый египетский треугольник? — воскликнул Пифагор. — Ты разбираешься в геометрии? — Немного. — Тогда возьми этот узел и помоги нам натянуть веревку. (слайд №5)

Учитель: Давайте и мы побываем в роли гарпедонавтов(слайд №6)

(К доске вызываются 3 желающих продемонстрировать построение прямоугольного треугольника с помощью веревки с 12 узлами).

Учитель: Итак, Пифагор познакомился с гарпедонавтами — «натягивателями веревки», как их здесь называли. Эти люди хранили много секретов геометрии — науки о фигурах. У них были древние папирусы с рецептами построений и расчетов. Там можно было найти ответ почти что на любой вопрос, кроме одного: в чем тайна египетского треугольника? (слайды №7, 8)

Эту тайну разгадал Пифагор (слайд №9) Особенностью треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25.

Попробуем и мы решить теорему египтян

Решение задачи в тетради по теореме Пифагора

(Ученик вызывается к доске для записи решения)

З2 + 42 = 52 или 9 + 16 = 25.

Учитель: Благодаря Пифагору решение такой задачи для большинства не представит трудности. Но неужели и древние египтяне, чтобы определить длину третьей стороны прямоугольного треугольника по известным длинам двух других тоже сначала возводили числа в квадрат, а затем делали обратную операцию: извлекали корень? Может быть, у них был иной, более простой способ дли решения таких задач и свои, особые стандарты, которыми они руководствовались при расчетах?

Решив египетский треугольник алгебраическим способом, нужно еще решить задачу о египетском треугольнике геометрическим способом. Любой треугольник можно построить геометрическим способом, если известна длина всех трех сторон и длина двух сторон и угол между ними, если задано соотношение сторон треугольника. Последнее у нас действительно задано как 3 : 4 : 5

Работа на доске и в тетрадях вместе с учителем (слайд №11)

Для доказательства теоремы о египетском треугольнике необходимо использовать отрезок прямой известной длины А-А1. Он будет служить масштабом, единицей измерения, и позволит определить длину всех сторон треугольника. Три отрезка А-А1 равны по длине наименьшей из сторон треугольника ВС, у которой соотношение равно 3. А четыре отрезка А-А1 равны по длине второй стороне, у которой соотношение выражается числом 4. И, наконец, длина третьей стороны равна пяти отрезкам А-А1.

Проведем отрезок ВС, являющийся наименьшей стороной треугольника. Затем из точки В радиусом, равным отрезку с соотношением 5, проводим циркулем дугу окружности, а из точки С — дугу окружности радиусом, равным длине отрезка с соотношением 4. Если теперь точку пересечения дуг соединить линиями с точками В и С, то получим прямоугольный треугольнике соотношением сторон 3 : 4 : 5. Что и требовалось доказать.

Это интересно! (слайд №12)

Задача индийского математика XII века Бхаскары:

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв го ствол обломал

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?»

IV. Развитие умений и навыков.

А) Найдите сторону ромба, если его диагонали 8 см и 6см.

На экране с помощью проектора дается чертеж. (слайд №13)

Дано: АВСД – ромб

Решение: устно составим алгоритм решения задачи.

1.Δ АОВ – прямоугольный, ےO=90°

2. АВ2 = АО2 + ВО2 (АО = 1/2 АС, ВО = 1/2 ВД )

А как было проще решить, не выполняя вычислений, кто догадается?

Ответ: я вижу, что в прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4, значит он Египетский, а поэтому гипотенуза равна 5, т. е. АВ=5.

Учитель: Вот ребята, оказывается не всегда нужно выполнять вычисления, а можно, зная определение Египетского треугольника, сразу дать ответ.

V. Практическая работа с элементами исследования (слайд № 14)

1) Измерьте стороны данных треугольников, и результаты измерения запишите в таблицу: 2) Выполните анализ данных таблицы. 3) Выскажите гипотезу. Учитель: Всякий целочисленный треугольник, подобный египетскому, также является прямоугольным. Существуют ли другие целочисленные пря­моугольные треугольники? Убедитесь в своей правоте или опровергните гипотенузу, построив в тетради прямоугольный треугольник и выполнив все необходимые измерения и вычисления. Запишите ваше предположение в виде формулы. Переведите формулу на русский язык, используя слова «квадрат», «гипотенуза», «катет», «сумма», «прямоугольный треугольник». Сравните ваше предложение с формулировкой теоремы авторами учебника (стр.131). Если катеты и гипотенузу какого-нибудь целочисленного прямоугольного треугольника обозначить буквами х, у и z, то по теореме Пифагора получим: Оказывается, что верно и обратное, т. е. если х, у и z — натуральные числа, удовлет­воряющие уравнению (1), то треугольник со сторонами х, у и z — прямоугольный. Целочисленный прямоугольный треуголь­ник для краткости иногда называют пифаго­ровым. Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников сводится к решению уравнения (1) в натураль­ных числах. Видео:Египетский треугольникСкачать Египетский треугольник 6 8 10 Разделы: Математика Очень важно, чтобы материал, с которым учащиеся познакомятся на уроке, вызвал у них интерес. Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир ее увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь, как в день ее рожденья. За светлый луч с небес вознес благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор. Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат. (А. фон Шамиссо, перевод Хованского) Пифагор, VI в. до н. э. (580 – 500), древнегреческий философ и математик. Первым заложил основы математики как науки, имел свою школу (школа Пифагора). Ему приписывают и открытие так называемой теоремы Пифагора, хотя геометрическая интерпретация этой проблемы была известна и раньше. Задача на смекалку Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрат, – отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины”. Сколько учеников было у Пифагора? Пусть х – число учеников Пифагора. По условию задачи составим уравнение: ОТВЕТ: 28 учеников. Начнем урок в школе Пифагора. 1. Практическая работа (Несколько человек работают у доски, остальные в тетрадях). Задание 1. Построить треугольник по трем сторонам, если стороны равны. в) 5, 12, 13 (единицы измерения указывать не обязательно). Задание 2. Измерить больший угол этих треугольников. Ответы близки к 90 о . Учитель предлагает внимательно посмотреть на построенные треугольники, найти отличия и определить, чем эти треугольники похожи друг на друга. Класс постепенно находит нужную формулировку: “Если треугольник имеет стороны a, b, c и a 2 +b 2 =c 2 , то угол, противолежащий стороне с, прямой”. Доказательство этой теоремы – обратной к теореме Пифагора. 2. Устная работа 1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5. Найдите второй катет. 2) в прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу. 3) определите вид треугольника, стороны которого равны 6, 8, 10. 3. Практическая работа На тонкой веревке делают метрии, делящие ее на 12 равных частей, связывают концы, а затем растягивают веревку в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывается прямым. ВЫВОД: если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник прямоугольный. Учитель говорит учащимся, что этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы. (Звучит музыка. Демонстрация слайдов с изображением античных дворцов, храмов, египетских пирамид). Перед тем как перейти к следующему этапу урока, ученики вместе с учителем еще раз делают вывод, что безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора. Проверяют еще раз эту теорему на треугольнике со сторонами 3, 4, 5: 3 2 + 4 2 = 5 2 . Далее можно сказать, что в общем виде уравнение записывается следующим образом: а 2 + b 2 = с 2 . Необходимо проверить есть ли еще корни у этого уравнения. Учащиеся проверяют этот факт. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами: Далее учитель сообщает, что прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Учитель предлагает тем учащимся, которых заинтересовала данная тема, дома доказать, что катеты a, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2mn, b = m 2 – n 2 , c = m 2 + n 2 , где m и n – любые натуральные числа, такие, что m > n. В финале урока уместно прочитать известные стихи, посвященные теореме Пифагора. Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путем К результату мы придем. (И. Дырченко) Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми тройками (или пифагоровыми треугольниками). Видео:Египетский треугольник. Пифагоровы тройки.Скачать Пифагорова тройка — это упорядоченный набор из трех натуральных чисел (x, y, z), которые удовлетворяют квадратному уравнению: Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать Пифагоровы числа — это числа x, y, z, которые образуют Пифагорову тройку. Например, к пифагоровым тройкам относятся: треугольник с катетами 5 и 12, и гипотенузой 13. Т.е. пифагорова тройка будет (5,12,13). треугольник с катетами 6 и 8, и гипотенузой 10. Т.е. пифагорова тройка будет (6,8,10). Среди пифагоровых треугольников особо известен египетский треугольник – треугольник со сторонами 3, 4, 5. Пифагорову тройку (пифагоров треугольник) с катетами x, y и гипотенузой z принято обозначать (x, y, z): Примитивная Пифагорова тройка (Простейшая Пифагорова тройка) – это тройка чисел (x, y, z), которые являются взаимно простыми числами и имеют наибольший общий знаменатель, равный 1. Если предположить, что два из чисел тройки имеют простой общий делитель p, то из уравнения тройки следует, то на p будет делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка — простейшая. Из каждой примитивной тройки можно получить другую Пифагорову тройку, умножив x, y, z на одно и то же натуральное число k. Видео:Пифагоровы тройки 1. Египетский треугольникСкачать В примитивной тройке (x, y, z) числа x и y разной четности, причем, четное число должно делиться на 4, и или x или y должно делиться на 3. А число z – всегда – нечётное. Другими словами, один из катетов должен быть нечетным, другой четным и делиться на 4, хотя бы один из катетов должен делиться на 3, а гипотенуза всегда нечетное число. Формула Евклида является основным инструментом построения Пифагоровых троек. Видео:Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать Любая примитивная тройка представляется в виде: Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать Другими словами, катеты (x, y) и гипотенузу (z) пифагорова треугольника можно выразить следующими формулами: где m, n — целые числа (m>n). Образованные при помощи формулы Евклида тройки будут примитивными тогда и только тогда, когда m и n взаимно простые и (m-n) — нечетное число. Если и m, и n одновременно являются нечетными, то x, y и z будут четными, а тройка не будет примитивной. Однако деление x, y и z на 2 даcт примитивную тройку, если m и n взаимно просты. Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки, она не порождает все тройки. Но если добавить дополнительный параметр k получим формулу, порождающую все Пифагоровы треугольники единственным образом: где m, n, k — натуральные числа; m>n; (m-n) — нечетно; m и n — взаимно простые числа. Чтобы доказать, что последние формулы образуют пифагоровы тройки, найдем значения: x 2 + y 2 = k(m 2 +n 2 ) таким образом, мы показали, что: Полученная формула является определением пифагоровой тройки. Так как любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое k, чтобы получить примитивную тройку, то любая тройка может быть образована единственным образом с использованием m и n для создания примитивной тройки, а затем она умножается на k. Из одного пифагорового треугольника (x, y, z) можно получить бесконечное множество подобных ему треугольников, если каждую из сторон умножить на одно и тоже натуральное число k: (kx, ky, kz), где k – любое натуральное число. Основной треугольник среди подобных пифагоровых треугольников – это наименьший треугольник, катеты которого выражены взаимно простыми числами. В пифагоровой тройке (x, y, z) одно из чисел x и y всегда нечетно, гипотенуза всегда нечетная. Египетский треугольник – это единственный пифагоров треугольник стороны которого выражены последовательными натуральными числами: (3, 4, 5). Тождество Месснера задает множество пифагоровых треугольников, у которых один из катетов на 1 меньше гипотенузы: Видео:Что такое египетский треугольник ❓Скачать Во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 3 и хотя бы один из катетов делится на 4 (это может быть один и тот же катет). Между пифагоровыми треугольниками (a,b,c) и рациональными точками дуги единичной окружности (x 2 + y 2 = 1) в первой четверти системы координат можно установить однозначное соответствие, полагая: 3 стороны треугольника 6,8,10. назвите вид этого треугольника Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение Видео:90 задач по геометрии решается этим способом!Скачать Ответ так же этот треугольник египетский) очень поможет знание этих пар (3,4,5 и 6,8,10) 🎦 Видео Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать 8 класс, 16 урок, Теорема ПифагораСкачать Самые известные тайны Бермудского треугольника: правда или вымысел?Скачать "ПО ФАКТАМ" с Юлией Федоровой. 17.01.2024Скачать Египетский треугольникСкачать Этой задачей русские дети 10 лет мучили американцев. Американцы не понимали, что делают не такСкачать Самая простая нерешённая задача — гипотеза Коллатца [Veritasium]Скачать Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать Что такое египетский треугольник?Скачать Найдите угол: задача по геометрииСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Площадь равнобедренного треугольника Площадь прямоугольного треугольника Плечо силы в треугольнике Плетение треугольника мозаичным плетением Плетение треугольника из лозы Плетение треугольника из веревки Плетение из газетных трубочек треугольник Плетение из бисера треугольник