Двойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольника

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать

Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго рода

Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина, примеры

Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование — замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:

Двойной интеграл по контуру треугольника.

Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(x, y) , Q(x, y) и их частные производные Двойной интеграл по контуру треугольникаи Двойной интеграл по контуру треугольника— функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:

Двойной интеграл по контуру треугольника.

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.

Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

Двойной интеграл по контуру треугольника,

если L — контур треугольника OAB , где О(0; 0) , A(1; 2) и B(1; 0) . Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.

Двойной интеграл по контуру треугольника

а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :

Двойной интеграл по контуру треугольника

Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :

Двойной интеграл по контуру треугольника

Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

Двойной интеграл по контуру треугольника.

Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :

Двойной интеграл по контуру треугольника

Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:

Двойной интеграл по контуру треугольника.

б) Применим формулу Грина. Так как Двойной интеграл по контуру треугольника, Двойной интеграл по контуру треугольника, то Двойной интеграл по контуру треугольника. У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:

Двойной интеграл по контуру треугольника

Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.

Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

Двойной интеграл по контуру треугольника,

где L — контур OAB , OB — дуга параболы y = x² , от точки О(0; 0) до точки A(1; 1) , AB и BO — отрезки прямых, B(0; 1) .

Двойной интеграл по контуру треугольника

Решение. Так как функции Двойной интеграл по контуру треугольника, Двойной интеграл по контуру треугольника, а их частные производные Двойной интеграл по контуру треугольника, Двойной интеграл по контуру треугольника, D — область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:

Двойной интеграл по контуру треугольника

Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл

Двойной интеграл по контуру треугольника, если L — контур, который образуют линия y = 2 − |x| и ось Oy .

Двойной интеграл по контуру треугольника

Решение. Линия y = 2 − |x| состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x .

Имеем функции Двойной интеграл по контуру треугольника, Двойной интеграл по контуру треугольникаи их частные производные Двойной интеграл по контуру треугольникаи Двойной интеграл по контуру треугольника. Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат:

Двойной интеграл по контуру треугольника

Пример 4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл

Двойной интеграл по контуру треугольника,

если L — окружность Двойной интеграл по контуру треугольника.

Решение. Функции Двойной интеграл по контуру треугольника, Двойной интеграл по контуру треугольникаи их частные производные Двойной интеграл по контуру треугольникаи Двойной интеграл по контуру треугольниканепрерывны в замкнутом круге Двойной интеграл по контуру треугольника. Подставляем всё в формулу Грина и вычисляем данный интеграл:

Видео:Криволинейный и двойной интеграл. Формула Грина.Ч1Скачать

Криволинейный и двойной интеграл. Формула Грина.Ч1

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Двойной интеграл по контуру треугольника

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Основные определения, понятия, свойства.

Правила вычисления двойных интегралов в декартовой и полярной системах координат; тройных интегралов в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

Приложения кратных интегралов.

Пусть в плоскости хоу задана замкнутая квадрируемая (имеющей площадь) область DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу, ограниченная линией l и включающая ее в себя, и задана функция f(x,y), определенная в этой области.

Диаметром области называется наибольшее из расстояний между точками области.

Шагом разбиения области на конечное число частей называется наибольший из диаметров областей деления. Обычно обозначают λ.

Определение двойного интеграла.

1) Разобьем область DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу на n элементарных не пересекающихся областей Δsi : Δs1, Δs2,…, , Δsn диаметрами d1, d2,…, dn соответственно.

4) Составим интегральную сумму: Двойной интеграл по контуру треугольника, которая вообще говоря зависит от способа разбиения области на части и от выбора точки Рii, ηi).

5) Если существует конечный предел частичных сумм при λ →0 (или числу разбиений n→∞, что равносильно), то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) по заданной области DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу: Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника.

Приложения двойного интеграла.

1) Если f(x,y) > 0 в области DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу, то двойной интеграл Двойной интеграл по контуру треугольникаравен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), снизу – областью DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу, сбоку – цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельными оси Oz, то есть: V = Двойной интеграл по контуру треугольника.

2) Если f(x,y) = 1 в области DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу, то двойной интеграл Двойной интеграл по контуру треугольникаравен площади области D: S = Двойной интеграл по контуру треугольника.

3) Если μ(x,y) > 0 – плотность в каждой точке области DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу, то двойной интеграл Двойной интеграл по контуру треугольникаравен массе пластинки D: m = Двойной интеграл по контуру треугольника.

Основные свойства двойного интеграла.

1) Двойной интеграл по контуру треугольника Двойной интеграл по контуру треугольника± Двойной интеграл по контуру треугольника.

2) Двойной интеграл по контуру треугольника= СДвойной интеграл по контуру треугольника, где С – постоянная.

3) Если область интегрирования D состоит из двух (или более) непересекающихся частей D1 и D2, то Двойной интеграл по контуру треугольника= Двойной интеграл по контуру треугольника+Двойной интеграл по контуру треугольника.

4) Если m f(x,y) ≤ M в области D, то ms Двойной интеграл по контуру треугольника Ms, где s площадь области D, m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D.

Вычисление двойных интегралов.

Двойной интеграл по контуру треугольника

· Если область интегрирования D ограничена слева прямой x = a, справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х), сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то

Двойной интеграл по контуру треугольника
Двойной интеграл по контуру треугольника

· Двойной интеграл по контуру треугольникаЕсли область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c, сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией

Двойной интеграл по контуру треугольника.

Правые части приведенных формул называются двукратными (повторными) интегралами. Внешний интеграл всегда имеет переменными интегрирования константы, внутренний – в общем случае функции. Двойной интеграл вычисляется последовательным вычислением определенных интегралов от внутреннего интеграла к внешнему. Все табличные формулы интегрирования и методы вычисления неопределенных интегралов применимы для вычисления кратных интегралов (нахождения первообразных) с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница.

Рекомендации по вычислению кратных интегралов.

1) Необходимо изобразить область интегрирования.

2) У внешнего интеграла пределы всегда постоянные.

3) Вычисляя внутренний интеграл по переменной у (или х), переменную х (или у) считаем const.

4) Можно поменять порядок интегрирования: внешний вычислять по у, а внутренний – по х. Пределы интегрирования в этом случае меняются не формально, а из уравнений линий, ограничивающих заданную область.

5) Если области ограничены окружностями, то вычисления проще выполнять в полярной системе координат.

6) Все табличные формулы для неопределенного интеграла применимы для вычисления кратных интегралов.

Двойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольникаПример 1. Вычислить двойной интеграл от функции по области D: треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(5;0), С(5;5).

Область ограничена прямыми: прямой АС (её уравнение у = х), осью ОХ (0 ≤ х ≤ 5) и

прямой х = 5 (0 ≤ у ≤ х).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области АВС (заштрихована), выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у.

Двойной интеграл по контуру треугольника.

Поменяем порядок интегрирования: во внешнем интеграле по у, во внутреннем – по х. Тогда 0 ≤ у ≤ 5, а у ≤ х ≤ 5.

Двойной интеграл по контуру треугольника

От порядка интегрирования зависит трудоемкость вычислений.

Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника

Пример 2. Вычислить двойной интеграл Двойной интеграл по контуру треугольникапо области D: треугольник с вершинами в точках

Область ограничена прямыми: прямыми АС (её уравнение у = ), АВ (её уравнение у =- х — 2),

ВС(её уравнение х = 2).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области ΔАВС, выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у. Это рациональное решение.

Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольника

Вычислим двойной интеграл по треугольной области ΔАВС, выбрав другой порядок интегрирования: во внешнем интеграле по y, во внутреннем – по x. Это не рациональное решение, так как область интегрирования D необходимо разбить на две области: D1 – ΔАВД и D2 –ΔАСД.

Для области D1: – 4 ≤ y ≤ 0, а x меняется от прямой АВ до прямой ВД, то есть – (-y – 2) ≤ х ≤ 2.

Для области D2: 0 ≤ y ≤ 1, а x меняется от прямой АC до прямой ВД, то есть – 4y — 2 ≤ х ≤ 2.

Отметим, что уравнения прямых АВ: у =- х – 2, АС: у = Двойной интеграл по контуру треугольника, ВС: х = 2 в этом случае разрешены относительно переменной у (х = f(y)).

Получим уравнения прямых АВ: х = –у – 2, АС: х = 4у – 2, ВС: х = 2

Двойной интеграл по контуру треугольника= Двойной интеграл по контуру треугольника+ Двойной интеграл по контуру треугольника= Двойной интеграл по контуру треугольника

= Двойной интеграл по контуру треугольника☺ Ответ тот же? Проверьте!

Двойной интеграл по контуру треугольникаПри переходе от прямоугольных декартовых координат (x,y) к полярным координатам (ρ,φ), связанным соотношениями Двойной интеграл по контуру треугольника, происходит преобразование двойного интеграла по следующей формуле: Двойной интеграл по контуру треугольника, где ρ – якобиан преобразования. Если область интегрирования D ограничена двумя лучами φ = α и φ = β, выходящими из полюса, и двумя кривыми, заданными функциями ρ = ρ1(φ) и ρ =ρ2(φ), то двойной интеграл вычисляется по формуле (полюс совмещен с О, полярная ось с Ох): Двойной интеграл по контуру треугольника.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл Двойной интеграл по контуру треугольникапо области D, заданной неравенствами: х2 + у2 ≤ -4х и у ≤ — х.

Двойной интеграл по контуру треугольника

Решение. Построим область интегрирования.

Линия, заданная уравнением х2 + у2 = -4х, окружность (х + 2)2 + у2 = 4 радиуса R = 2 c центром в (-2,0).

Линия, заданная уравнением у = — х, прямая, проходящая через II и IV четверти.

Область интегрирования, соответствующая неравенствам, заштрихована на рисунке.

Перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл по контуру треугольника≤ φ ≤Двойной интеграл по контуру треугольника, полярный радиус меняется от 0 до окружности. Запишем уравнение окружности в полярной системе координат: Двойной интеграл по контуру треугольника. Тогда 0 ≤Двойной интеграл по контуру треугольника.

Подынтегральную функцию так же запишем в полярной системе координат Двойной интеграл по контуру треугольника.

Далее можем провести вычисления: Двойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольника.

Заметим, что двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Тройной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Пусть в замкнутой области VДвойной интеграл по контуру треугольникаOxyz (в пространстве R(3)) задана непрерывная функция u = f(x,y,z).

Определение тройного интеграла.

1) Разобьем область VДвойной интеграл по контуру треугольникаOхуz на n элементарных не пересекающихся областей ΔVi : ΔV1, ΔV2,…, , ΔVn диаметрами d1, d2,…, dn соответственно.

4) Составим интегральную сумму: Двойной интеграл по контуру треугольника, которая вообще говоря зависит от способа разбиения области на части и от выбора точки Рi.

5) Если существует конечный предел частичных сумм при λ →0 (или числу разбиений n→∞, что равносильно), то этот предел называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по заданной области VДвойной интеграл по контуру треугольникаOхуz: Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника, где dV=dxdydz – элемент объема.

Некоторые свойства тройного интеграла.

1) Двойной интеграл по контуру треугольника, где с – const.

2) Двойной интеграл по контуру треугольника

3) Если область интегрирования V состоит из двух (или более) непересекающихся частей V1 и V2, то Двойной интеграл по контуру треугольника= Двойной интеграл по контуру треугольника= Двойной интеграл по контуру треугольника

4) Если в области V f(x,y,z) ≥ 0, то и Двойной интеграл по контуру треугольника≥ 0.

5) Если в области V f(x,y,z) ≥ φ(x,y,z), то и Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника.

6) Если в области V f(x,y,z) = 1, то Двойной интеграл по контуру треугольника, так как любая интегральная сумма имеет вид Двойной интеграл по контуру треугольникачисленно равна объему тела V.

7) Оценка тройного интеграла mV Двойной интеграл по контуру треугольника MV, где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) а области V.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов от внутреннего к внешнему. У которого пределы интегрирования всегда должны быть постоянными (const).

Пусть область интегрирования V тело, ограниченное

непрерывные функции, проектирующиеся в область DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу,

боковая поверхность – цилиндрическая, образующие которой параллельны оси

oz, а направляющей является граница области DДвойной интеграл по контуру треугольникахоу.

Двойной интеграл по контуру треугольника.

Если область интегрирования D Двойной интеграл по контуру треугольникахоу ограничена слева прямой x = a, справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х), сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то Двойной интеграл по контуру треугольника.

Если область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c, сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией x = x1(х), справа непрерывной функцией x = x2(х), то Двойной интеграл по контуру треугольника.

Некоторые приложения тройного интеграла.

1) Если в каждой точке области V плотность тела μ(x,y,z)>0, то Двойной интеграл по контуру треугольника— масса тела.

2) Если в области V f(x,y,z) = 1, то Двойной интеграл по контуру треугольника— объем тела.

Пример 4. Вычислить тройной интеграл Двойной интеграл по контуру треугольникапо области V, ограниченной плоскостями: x + y + z = 2, z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаРешение. Изобразим тело – это пирамида АВСД. Плотность тела в каждой точке – переменная величина, пропорциональная х. Изобразим бласть DДвойной интеграл по контуру треугольникаxoy это треугольник. Замечание. Изображать тело бывает достаточно трудно, поэтому достаточно изобразить его проекцию.

Вычислим тройной интеграл, расставив пределы интегрирования: Двойной интеграл по контуру треугольника= Двойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольника<подошли к вычислению двойного интеграла; расставим пределы интегрирования, зная проекцию тела на плоскость хоу – треугольник> =Двойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника

Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются для упрощения вычислений тройных интегралов.

Если проекции тела на координатные плоскости – окружности, то проще тройной интеграл вычислять в цилиндрической системе координат.

Если тело ограничено сферами с центром в начале координат и конусами с вершиной в начале координат, то рациональнее вычисления выполнять в сферической системе координат.

Двойной интеграл по контуру треугольникаЦилиндрическая система координат.

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,z) в цилиндрической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М’ (М’ – проекция точки М на плоскость хоу), φ – угол, образованный этим радиус-вектором с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), z аппликата точки М. Эти три переменные (ρ,φ,z) называются цилиндрическими координатами точки М.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (1): Двойной интеграл по контуру треугольника, причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, zДвойной интеграл по контуру треугольникаR, якобиан преобразования равен как в полярной системе координат ρ.

Тогда Двойной интеграл по контуру треугольника.

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Двойной интеграл по контуру треугольникаz = x2 + y2 + 1 и Двойной интеграл по контуру треугольника(2).

Решение. Изобрази тело, объем которого будем вычислять. Оно ограничено двумя параболоидами. Его проекция на плоскость хоу – окружность. Решая систему (3) Двойной интеграл по контуру треугольника, находим уравнение их пересечения на плоскости z = 2: . Радиус окружности R =1.

Запишем уравнения параболоидов в цилиндрической системе координат, используя формулы связи (1) и уравнения поверхностей (2 и 3): Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника, и границы изменения переменных интегрирования: 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ ρ ≤ 1;

V = Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника

= Двойной интеграл по контуру треугольника.

Двойной интеграл по контуру треугольника

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,θ) в сферической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М (ОМ), φ – угол в плоскости хоу, образованный проекцией радиус-вектора (ОМ’) с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), θ угол в плоскости уоz от оси oz до ρ (положительное измерение угла по часовой стрелке). Эти три переменные (ρ,φ,θ) называются сферическими координатами точки М.

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (4): Двойной интеграл по контуру треугольника, причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, якобиан преобразования равен ρ2sinθ. Заметим, что уравнение сферы х2+у2+z2=R2 в сферических координатах имеет вид (подставьте координаты (4)): ρ = R.

Тогда Двойной интеграл по контуру треугольника.

Пример 6. Вычислить тройной интегралДвойной интеграл по контуру треугольника, где V – шар,

Решение. Исходя из приложений, необходимо вычислить массу шара с переменной плотностью, изменяющейся в каждой точке по закону (смотри подынтегральную функцию): Двойной интеграл по контуру треугольника.

Так как область интегрирования – сфера, то вычисления выполним в сферических координатах (4):

Двойной интеграл по контуру треугольника= Двойной интеграл по контуру треугольника

= <заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке> =Двойной интеграл по контуру треугольника.

Пример 7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

области, лежащей внутри конуса.

Двойной интеграл по контуру треугольникаРешение. Решим систему Двойной интеграл по контуру треугольника

2z2 = 2, z2 = 1, в нашем случае z ≥ 0, поэтому возьмем , z = 1. Тогда проекция тела на плоскость хоу – окружность x2 + y2 = 1, поэтому 0 ≤ φ ≤ 2π. Значения угла θ найдем из уравнения конуса z = , подставив в него сферические координаты:

Двойной интеграл по контуру треугольника

tgθ = 1, поэтому Двойной интеграл по контуру треугольникаи пределы изменения θ примут значения 0 ≤ Двойной интеграл по контуру треугольника. Сферический радиус меняется от нуля до сферы: 0 ≤ ρ ≤ Двойной интеграл по контуру треугольника, так как в сферических координатах уравнение сферы х2+у2+z2 = 2 имеет вид ρ = Двойной интеграл по контуру треугольника.

Далее вычисляем объем тела Двойной интеграл по контуру треугольникаДвойной интеграл по контуру треугольника

= <заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке> = Двойной интеграл по контуру треугольника.

📽️ Видео

Формула ГринаСкачать

Формула Грина

Криволинейный интеграл 1-го рода ★ Криволинейный интеграл по длине дуги ★ ∫(x+y)dsСкачать

Криволинейный интеграл 1-го рода ★ Криволинейный интеграл по длине дуги ★ ∫(x+y)ds

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способаСкачать

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способа

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода

Формула Остроградского - ГринаСкачать

Формула Остроградского - Грина

Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривойСкачать

Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривой

Семинар 4. Двойной интеграл.Скачать

Семинар 4. Двойной интеграл.

Двойной интеграл / Как находить двойной интегралСкачать

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл

Криволинейный интеграл 1 родаСкачать

Криволинейный интеграл 1 рода

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями ∫∫(5x+y)dxdy D: y=x^3, y=0, x=3.Скачать

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями ∫∫(5x+y)dxdy   D: y=x^3, y=0, x=3.

Интеграл по замкнутому контуру.Без формулы ГринаСкачать

Интеграл по замкнутому контуру.Без формулы Грина

Кратные интегралы | Высшая математика на пальцах | Борис Трушин |Скачать

Кратные интегралы | Высшая математика на пальцах | Борис Трушин |

Площадь треугольника с помощью интегралаСкачать

Площадь треугольника с помощью интеграла

Формула ГринаСкачать

Формула Грина

Криволинейные интегралы 2 родаСкачать

Криволинейные интегралы 2 рода

Формула Стокса.ЦиркуляцияСкачать

Формула Стокса.Циркуляция

Интеграл по замкнутому контуруСкачать

Интеграл по замкнутому контуру
Поделиться или сохранить к себе: