Две окружности пересекаются в точках p и q прямая (5 видео)

Две окружности пересекаются в точках p и q прямая

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

б) Найдите отношение CP : PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.

а) Обозначим ∠BAD = ∠PAB = α. Поскольку ABQP и CDPQ — вписанные четырёхугольники:

Значит, ∠BAD + ∠ADC = 180°, и поэтому AB || CD. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

б) Пусть R — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен 3R. По теореме синусов:

Видео:Две окружности пересекаются, если радиус одной ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Ответ : CP : PB = 1 : 3.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Решение задач по геометрии ЕГЭ №16 Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов Сертификат и скидка на обучение каждому участнику ЕГЭ 2017 Вариант №4 (№16) Видео:Геометрия Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второйСкачать Две окружности пересекаются в точках P и Q . Прямая, проходящая через точку P , второй раз пересекает первую окружность в точке A , а вторую – в точке D . Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD , второй раз пересекает первую окружность в точке B , а вторую – в точке C . А) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм. Б) Найдите отношение BP : PC , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. 1.Четырёхугольники ABQP и PDCQ – трапеции (т.к прямые AD ∥ BC по условию). Учитывая, что четырёхугольники вписаны в окружности, следует что они являются равнобедренными т.е. AB = QP и PQ = DC AB = DC . 2.У равнобедреннытрапеций углы при основаниях равны: ∠ BAC + ∠ APQ , ∠ PQC = ∠ QCD , а ∠ APQ = ∠ PQC как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей PQ , то ∠ BAP = ∠ QCD (по закону транзитивности) зничит ∠ BAP + ∠ ABQ = ∠ QCD + ∠ ABQ = 180 0 . Если сумма односторонних углов при прямых AB и DC и секущей BC равна 180 0 то ( по признаку параллельности прямых) AB ∥ DC . По определению, четырёхугольник у которого противолещащие стороны лежат на параллельных прямых называется параллелограммом. Значит ABCD – параллелограмм, что требовалось доказать. б) Окружности описанные около четырёхугольников ABQP и PDCQ , можно рассмотреть, как окружности описанные около треугольников ∆ BQP и ∆ PCQ . Пусть ∠ BQP =, тогда ∠ PQC = 180 0 — . По формулам приведения sin (180 0 — sin Так как для любого треугольника отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (следствие из теоремы синусов), то : = (2 R ₁ ) : (2 R ₂ ) , т.е. = = т.к. по условию радиус первой окружности в два раза больше радиуса второй. Видео:Две окружности/ Повторяем углыСкачать ЕГЭ 2017 Вариант №5 (№16) На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE BFKC . Точка M – середина стороны . а)Докажите, что CM = DK б)Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ ACB = 30 0 . 1.Проведу луч CM , и на его продолженииотложу отрезок MC ₁ = CM . Четырёхугольник AC ₁ BC параллелограммм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам: медиана по условию) 2. BC = b , AC = a , ∠ ABC = ∠ C ₁ BP = ( ∠ ABC = ∠ C ₁ BP соответственные углы при параллельных прямых BC ₁ и AC и секущей BC ) ∠ С ₁ BC = 360 0 — 180 0 — ₌ 180 0 — ∠ KCD = 360 0 — 90 0 — — 90 0 ₌ 180 0 — , т.е. Видео:Геометрия Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этихСкачать ∠ С ₁ BC = ∠ RCD , BC ₁ = AC = a = CD , BC = CK = b треугольники ∆ С ₁ BC и ∆ KCD равны по второму признаку равенства треугольников KD = C ₁ C , MC = CC ₁ = KD что и требовалось доказать. б) 1.Рассмотрю треугольник ∆ ABC . По теореме косинусов AB 2 = AC 2 + BC 2 — 2 AC * BC cos 30 0 , AB 2 = 36+100 – 2610 * = 136 — 60, AB =. 2. Рассмотрю ∆ MBO ₁ : BO ₁ = BK = , MB= cos ∠ O ₂ AM = cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MB -sin 45 0 sin ∠ MBC= (cos ∠ MBC — из ∆ MBC cos ∠ MBC= = = = sin ∠ MBC =, т . к . . MC= 3. Рассмотрю ∆ MAO ₂ : AO ₂ = AD = , MA cos ∠ O ₂ AM= cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MAC -sin 45 0 sin ∠ MAC= (cos ∠ MAC — из ∆ MAC cos ∠ MAC= = = = ЕГЭ Ларин. Вариант №101 №16 Видео:10.16.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать В остроугольном треугольнике АВС высоты АА ₁ и СС ₁ пересекаются в точке О. А) Докажите, что треугольники АОС и С ₁ ОА ₁ подобны. Б) Найдите площадь четырехугольника АСА ₁ С ₁ , если известно, что угол АВС равен 30 о , а площадь треугольника АВС равна 80. 1. Рассмотрю ∆ COA ₁ и ∆ AOC ₁ . Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по углам), так как ∠ COA ₁ = ∠ AOC ₁ — как вертикальные, ∠ OA ₁ C = ∠ OC ₁ A = 90 0 . Из подобия треугольников ( по определению подобия треугольников) пропорциональность соответствующих сторон: = =. По свойству пропорции из равенства = ⟹ = ( если поменять в верной пропорции крайние) 2. Т.к. = и ∠ AOC = ∠ A ₁ OC ₁ то треугольники АОС и С ₁ ОА ₁ подобны по второму признаку подобия треугольников (по пропорциональности двух сторон и равенству углов между этими сторонами). Ч.т.д. б) По условию задачи S _∆ _ABC = 80. S _∆ _ABC = AB * CC ₁ = BC * AA ₁ = AB * BC * sin 30 0 . Из ∆ AA ₁ B AA ₁ = AB , из ∆ CC ₁ B CC ₁ BC — катеты прямоугольных треугольников лежащих напротив угла в 30 0 , Видео:Две окружности \| Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень \| Борис Трушин \|Скачать из ∆ AA ₁ B BA ₁ = BAcos 30 0 = BA из ∆ CC ₁ B BC ₁ = BCcos 30 0 = ⟹ S _∆A1BC1 = A ₁ BBC ₁ sin 30 0 = 🔍 Видео Две окружности пересекаются в точках A и B Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностеСкачать Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать №662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать Задачи региона ВсОШ на степень точкиСкачать Поступайте правильно Математика ЕГЭСкачать №662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходитСкачать Урок 5. №24 ОГЭ. Две окружности и подобие.Скачать Задача №16. Пересекающиеся и касающиеся окружности.Скачать ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать Задача по геометрии.Скачать Прямоугольник и окружностьСкачать Поделиться или сохранить к себе: Search for: Окружность Как рассчитать площадь радиуса окружности Треугольник 90 в треугольнике на упаковке 972 Окружность 15 пи на окружности координаты 808 Окружность Класс окружность в питоне 808 Треугольник Треугольник на браслете хиромантия Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности О сайте \| \| © 2024 Курс школьной геометрии.

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)

Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Решение задач по геометрии ЕГЭ №16

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

ЕГЭ 2017 Вариант №4 (№16)

Видео:Геометрия Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второйСкачать

Две окружности пересекаются в точках P и Q . Прямая, проходящая через точку P , второй раз пересекает первую окружность в точке A , а вторую – в точке D . Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD , второй раз пересекает первую окружность в точке B , а вторую – в точке C .

А) Докажите, что четырёхугольник ABCD – параллелограмм.

Б) Найдите отношение BP : PC , если радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй.

1.Четырёхугольники ABQP и PDCQ – трапеции (т.к прямые AD ∥ BC по условию). Учитывая, что четырёхугольники вписаны в окружности, следует что они являются равнобедренными т.е. AB = QP и PQ = DC AB = DC .

2.У равнобедреннытрапеций углы при основаниях равны: ∠ BAC + ∠ APQ , ∠ PQC = ∠ QCD , а ∠ APQ = ∠ PQC как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей PQ , то ∠ BAP = ∠ QCD (по закону транзитивности) зничит ∠ BAP + ∠ ABQ = ∠ QCD + ∠ ABQ = 180 0 . Если сумма односторонних углов при прямых AB и DC и секущей BC равна 180 0 то ( по признаку параллельности прямых) AB ∥ DC . По определению, четырёхугольник у которого противолещащие стороны лежат на параллельных прямых называется параллелограммом. Значит ABCD – параллелограмм, что требовалось доказать.

б) Окружности описанные около четырёхугольников ABQP и PDCQ , можно рассмотреть, как окружности описанные около треугольников ∆ BQP и ∆ PCQ .

Пусть ∠ BQP =, тогда ∠ PQC = 180 0 — . По формулам приведения sin (180 0 — sin

Так как для любого треугольника отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности (следствие из теоремы синусов), то : = (2 R ₁ ) : (2 R ₂ ) , т.е. = = т.к. по условию радиус первой окружности в два раза больше радиуса второй.

Видео:Две окружности/ Повторяем углыСкачать

ЕГЭ 2017 Вариант №5 (№16)

На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE BFKC . Точка M – середина стороны .

а)Докажите, что CM = DK

б)Найдите расстояние от точки M до центров квадратов, если AC = 6, BC = 10 и ∠ ACB = 30 0 .

1.Проведу луч CM , и на его продолженииотложу отрезок MC ₁ = CM . Четырёхугольник AC ₁ BC параллелограммм (т.к. диагонали точкой пересечения делятся пополам: медиана по условию)

2. BC = b , AC = a , ∠ ABC = ∠ C ₁ BP = ( ∠ ABC = ∠ C ₁ BP соответственные углы при параллельных прямых BC ₁ и AC и секущей BC )

∠ С ₁ BC = 360 0 — 180 0 — ₌ 180 0 —

∠ KCD = 360 0 — 90 0 — — 90 0 ₌ 180 0 — , т.е.

Видео:Геометрия Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этихСкачать

∠ С ₁ BC = ∠ RCD , BC ₁ = AC = a = CD , BC = CK = b треугольники ∆ С ₁ BC и ∆ KCD равны по второму признаку равенства треугольников KD = C ₁ C , MC = CC ₁ = KD что и требовалось доказать.

б) 1.Рассмотрю треугольник ∆ ABC . По теореме косинусов AB 2 = AC 2 + BC 2 — 2 AC * BC cos 30 0 ,

AB 2 = 36+100 – 2*6*10 * = 136 — 60, AB =.

2. Рассмотрю ∆ MBO ₁ : BO ₁ = BK = , MB= cos ∠ O ₂ AM = cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MB -sin 45 0 sin ∠ MBC= (cos ∠ MBC — из ∆ MBC cos ∠ MBC= = = =

sin ∠ MBC =, т . к . . MC=

3. Рассмотрю ∆ MAO ₂ : AO ₂ = AD = , MA

cos ∠ O ₂ AM= cos( ∠ MAC +45 0 ) =cos45 0 cos ∠ MAC -sin 45 0 sin ∠ MAC= (cos ∠ MAC — из ∆ MAC cos ∠ MAC= = = =

ЕГЭ Ларин. Вариант №101 №16

Видео:10.16.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

В остроугольном треугольнике АВС высоты АА ₁ и СС ₁ пересекаются в точке О.

А) Докажите, что треугольники АОС и С ₁ ОА ₁ подобны.

Б) Найдите площадь четырехугольника АСА ₁ С ₁ , если известно, что угол АВС равен 30 о , а площадь треугольника АВС равна 80.

1. Рассмотрю ∆ COA ₁ и ∆ AOC ₁ . Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников (по углам), так как ∠ COA ₁ = ∠ AOC ₁ — как вертикальные, ∠ OA ₁ C = ∠ OC ₁ A = 90 0 . Из подобия треугольников ( по определению подобия треугольников) пропорциональность соответствующих сторон: = =.

По свойству пропорции из равенства = ⟹ = ( если поменять в верной пропорции крайние)

2. Т.к. = и ∠ AOC = ∠ A ₁ OC ₁ то треугольники АОС и С ₁ ОА ₁ подобны по второму признаку подобия треугольников (по пропорциональности двух сторон и равенству углов между этими сторонами). Ч.т.д.

б) По условию задачи S _∆ _ABC = 80. S _∆ _ABC = AB * CC ₁ = BC * AA ₁ = AB * BC * sin 30 0 .

Из ∆ AA ₁ B AA ₁ = AB , из ∆ CC ₁ B CC ₁ BC — катеты прямоугольных треугольников лежащих напротив угла в 30 0 ,

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

из ∆ AA ₁ B BA ₁ = BA*cos 30 0 = BA

из ∆ CC ₁ B BC ₁ = BC*cos 30 0 = ⟹ S _∆A1BC1 = A ₁ B*BC ₁ *sin 30 0 =

🔍 Видео

Две окружности пересекаются в точках A и B Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностеСкачать

Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

Задачи региона ВсОШ на степень точкиСкачать

Поступайте правильно Математика ЕГЭСкачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать

Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходитСкачать

Урок 5. №24 ОГЭ. Две окружности и подобие.Скачать

Задача №16. Пересекающиеся и касающиеся окружности.Скачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

Касательные к окружности пересекаются в точке. Теорема и решение задач. Геометрия 7-8 классСкачать

Задача по геометрии.Скачать

Прямоугольник и окружностьСкачать