Доклад по геометрии треугольники

Треугольник – самая известная и одна из старейших фигур. С виду треугольник очень прост – три вершины и три стороны и ограниченная ими плоскость, но эта фигура породила собой целую науку – тригонометрию. Давайте же разберемся, как возникла эта фигура, и кто её изучал.

Первые упоминания о фигуре были обнаружены на папирусах Древнего Египта (тут стоит отметить, что некоторым из них уже более 4000 лет). Затем большое внимание к треугольнику проявляли древние Греки: создание теоремы Пифагора и формула Герона. К слову эти открытия были сделаны примерно 2000 лет назад. Самый известный математик древности – Пифагор черпал информацию у египтян. Без полученных там знаний он бы не смог создать свою великую теорему, например египтянам было известно о том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 всегда будет являться прямоугольным – основа теоремы Пифагора.

После упадка математики в Древней Греции её центр переместился в Индию, где были проведены тысячи исследований, которые также касались треугольника. Как ни странно, но после стольких открытий заинтересованность к треугольнику спала, и новая волна изучения данной фигуры пришла только в 15-16 веках. Именно в это время у треугольника появилось подавляющее количество признаков и свойств, начал развиваться раздел планиметрии под названием «Новая геометрия треугольника». Столь большая заинтересованность к треугольнику и в целом к геометрии объясняется тем, что математические знания были нужны в навигации и военном деле. Все открытия той эпохи помогают людям и несут хорошую службу до сих пор. К слову в то время огромный вклад в изучении треугольника внес русский, написавший труд «Новое начало геометрии».

Треугольник является одной из ключевых и самых важных и самых изученных фигур в мире, несмотря на это его изучение продолжается множеством ученых до настоящего времени и закончится еще не скоро. Свойства и признаки, которые находят у треугольника, активно применяются во всех сферах жизни человека и областях промышленности, а законы, открытые несколько тысяч лет назад, никогда не устаревают и являются вечными.

Доклад №2

Треугольник — фигура, состоящая из трёх отрезков которые соединяют 3 непересекающихся между собой точки, самая элементарная прямолинейная фигура, упоминания о которой шли ещё в глубокой древности. В силу того что данная фигура довольно часто встречалась в практической жизни, наши предки довольно быстро принялись за её изучение.

Помимо изображений данной фигуры, в музеях можно встретить папирусы с задачами о треугольниках, их решениями и даже выводами, которые позже приобрели название теоремы. Первые упоминания о этой фигуре следуют из Древнего Египта, примерно 4000 лет назад. Ориентировочно в 500 года до нашей эры Древнегреческие учёные, во главе с Пифагором Самосским сделали первое открытие в сфере геометрии, которую и назвали в честь своего предводителя — теорема Пифагора. В этом великом открытии ему помогли египтяне, которые к тому времени уже пришли к выводу, что один угол треугольника, имеющий стороны 3,4,5 всегда будет 90 градусов.

Именно благодаря этим знаниям Пифагор и сделал дальнейшие выводы, которые сейчас мы с вами часто используем при решении геометрических задач. Знаний полученных в результате работы Пифагора вполне хватало для практической жизни людей того времени, поэтому интерес к треугольнику стал постепенно угасать, а после и вовсе пропал. Вновь зародился он лишь в 15 веке нашей эры. В эти годы начало развиваться кораблестроительство, выпускалось множество техники которая могла бороздить моря и океаны. Однако для этого требовалось знании навигации. Поэтому данная фигура обрела “новую жизнь”, которую в последующем назвали “Новая геометрия треугольника”. Именно в это время и были сделаны большинство основных признаков и свойств, используемые в современной геометрии.

Особенный вклад в развитие данной отрасли внёс Эйлер Леонгард , который открыл новые факты о свойствах треугольника, в частности известную теорему Эйлера; Иоганн Мюллер — немецкий учёный , автор сочинения “О треугольниках всех видов”; и другие математики. Теперь вы знайте, некоторые факты из истории появления геометрического треугольника. Теперь пару слов о одном из самой известной загадке человечества — Бермудском треугольнике. Так называют район в Саргассовом море (Атлантический океан) , в котором происходят загадочные исчезновения кораблей и самолётов.

Этот район имеет форму треугольника. Версий куда же на самом деле пропадают эти воздушные и морские судна много, начиная от погодных аномалий заканчивая похищением Инопланетных жителей. Власти данного участка земли относятся скептически к таким версиям и утверждают что эти происшествия происходят не чаще чем где либо, якобы, всё это слухи. Что на самом деле происходит в этом треугольнике, вы можете знать из известной книги Чарльза Берлица “Бермудский треугольник”.

7 класс, 5 класс

Треугольник (история треугольника)

Популярные темы сообщений

Танзания – это страна с очень богатым и разнообразным животным миром. Танзания – государство в Восточной Африке и считается самым лучшим для проведения экотуризма. На территории государства есть много национальных заповедников.

Франц Кафка родился 3 июля 1883 года в Праге Австро-Венгерской империи. Его отцом был еврей, который продавал одежду, а мать была дочерью знаменитого пивовара. Франц был первым ребёнком в семье,

Святослав, правивший в 944 – 972 гг., являлся единственным ребенком в семье Ольги и Игоря. Точный год рождения историкам установить пока не удалось. Одни источники называют 940 г., другие 920 г.

Доклад по геометрии треугольники

Треугольники: равные, равнобедренные. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Перпендикуляр, высота, медиана, биссектриса, основание, вершина, боковая сторона. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр, геометрическое место точек, первая замечательная точка. Подробные доказательства теорем.

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 2 «Треугольники».

Треугольник — одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии. Все знают, как он выглядит. Но что же такое треугольник? Допустим, что треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. Можно представить себе треугольник, сделанный из проволоки. Но известно, что у него есть площадь. Поэтому треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Представьте себе треугольник, сделанный из фанеры или вырезанный из картона.

Очень важным моментом при решении геометрических задач является нахождение равных треугольников. Очевидно, что если у двух треугольников все стороны и углы окажутся соответственно равными, то и треугольники будут равны. На практике равные треугольники определяют, прикладывая их друг к другу. Если треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Этот способ и позволяет дать определение равных треугольников.

Но вот, допустим, у каждого из двух треугольников есть две стороны, которые равны 5 см и 6 см, и какой-то из углов равен 50°. Можно ли утверждать, что треугольники равны? Оказывается, нет. На рисунке вы видите два треугольника с указанными размерами. Они не равны.

При каких же минимальных условиях треугольники будут равны? Существуют по крайней мере три признака равенства треугольников, когда по равенству некоторых сторон и углов можно абсолютно точно сказать, что они равны. Например, если бы угол 50° был образован сторонами длиной 5 см и 6 см, то треугольники были бы равны между собой.

Опорный конспект «Треугольники»

Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сумма длин всех трех сторон треугольника называется периметром. Треугольники называются равными, если совпадают при наложении. Если равные треугольники наложить так, что они совпадут, то окажется, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если наложить треугольники друг на друга равными углами, то совпадут и равные стороны. Значит, совпадут и оставшиеся две вершины.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если наложить треугольники друг на друга равными сторонами, то совпадут углы, прилежащие к этим сторонам. Значит, совпадут и третьи вершины.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, с концами в данной точке и в точке пересечения с данной прямой. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина напротив этой стороны — вершиной равнобедренного треугольника. Причем названия «основание», «боковые стороны» и «вершина» равнобедренного треугольника сохраняются, как бы треугольник ни был расположен.

Свойства равнобедренного треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Признак равнобедренного треугольника (по двум углам). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

• высота треугольника является и медианой;
• высота треугольника является и биссектрисой;
• медиана треугольника является и биссектрисой (доказывается продлением медианы на ее длину).

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Свойство точек серединного перпендикуляра. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством. Например, все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и все точки плоскости, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре.

Первая замечательная точка. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

math4school.ru

Треугольники

Основные свойства

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Равенство треугольников

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Подобие треугольников

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Два треугольника подобны, если:

• Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
• Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
• Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Медианы треугольника

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

• Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
• Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Биссектрисы треугольника

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Длина биссектрисы угла А :

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Высоты треугольника

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Серединные перпендикуляры

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Окружность, описанная около треугольника

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Расположение центра описанной окружности

Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Равносторонний треугольник

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

• одному острому углу;
• из пропорциональности двух катетов;
• из пропорциональности катета и гипотенузы.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты:

через катет и острый угол:

через гипотенузу и острый угол:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Вневписанные окружности

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О₁ , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО₁ и C О₁ внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О₁О₂О₃ (точки A , B и C – основания высот в Δ О₁О₂О₃ ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О₁ , 180°–2 О₂ , 180°–2 О₃ .

Радиус окружности, описанной около Δ О₁О₂О₃ , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О₁О₂О₃ .

Если r_a , r_b , r_с – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для r –

для R –

для S –

для самих r_a , r_b , r_с –

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

• если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
• если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
• если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):