Курс школьной геометрии » Треугольник

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Обновлено
Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Содержание
  1. Свойства прямоугольного треугольника
  2. Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
  3. Определение
  4. Свойства прямоугольного треугольника
  5. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  6. Признаки прямоугольного треугольника
  7. Признаки подобия прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Доказательство свойств прямоугольных треугольниковЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

3. Теорема Пифагора:

Доказательство свойств прямоугольных треугольников, где Доказательство свойств прямоугольных треугольников– катеты, Доказательство свойств прямоугольных треугольников– гипотенуза. Видеодоказательство

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

4. Площадь Доказательство свойств прямоугольных треугольниковпрямоугольного треугольника с катетами Доказательство свойств прямоугольных треугольников:

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

5. Высота Доказательство свойств прямоугольных треугольниковпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Доказательство свойств прямоугольных треугольникови гипотенузу Доказательство свойств прямоугольных треугольниковследующим образом:

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

7. Радиус Доказательство свойств прямоугольных треугольниковописанной окружности есть половина гипотенузы Доказательство свойств прямоугольных треугольников:

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Доказательство свойств прямоугольных треугольниковвписанной окружности выражается через катеты Доказательство свойств прямоугольных треугольникови гипотенузу Доказательство свойств прямоугольных треугольниковследующим образом:

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Свойства прямоугольного треугольника

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

Катеты прямоугольного треугольника

Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.
Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

Катет, равный половине гипотенузы

Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

ФигураРисунокФормулировка
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Определение прямоугольного треугольника:

Треугольник, у которого один из углов равен 90° , называют прямоугольным треугольником .

Сторону, лежащую против угла в 90° , называют гипотенузой , две другие стороны называют катетами .

Свойство катетов прямоугольного треугольника:

Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

Прямоугольный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Определение равнобедренного прямоугольного треугольника:

Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.

Свойство углов прямоугольного треугольника:

Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45° .

Прямоугольный треугольник с углом в 30°
Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° :

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

Признак прямоугольного треугольника с углом в 30° :

Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30° .

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника
Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника:

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

Центр описанной окружности
Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.

Признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.


Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

  1. Сумма острых углов 90˚.
  2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
  4. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
    Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Формулы:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна
    половине произведения катетов:
    Доказательство свойств прямоугольных треугольников
  2. Радиус описанной окружности около прямоугольного
    треугольника равен половине гипотенузы:
    Доказательство свойств прямоугольных треугольников
  3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
    выражается следующим образом:
    Доказательство свойств прямоугольных треугольников
  4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

  1. По двум катетам:
    Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Доказательство свойств прямоугольных треугольников
  2. По катету и гипотенузе:
    Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Доказательство свойств прямоугольных треугольников
  3. По гипотенузе и острому углу:
    Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольникиравны.
    Доказательство свойств прямоугольных треугольников
  4. По катету и острому углу:
    Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.

Доказательство свойств прямоугольных треугольников

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

  1. По теореме Пифагора:
    Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  2. По центру описанной окружности:
    Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
    то треугольник прямоугольный.
  3. По медиане:
    Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
    то треугольник прямоугольный.
  4. По площади:
    Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  5. По радиусу описанной окружности:
    Если радиус описанной окружности равен половине,
    то треугольник прямоугольный.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Поделиться или сохранить к себе:
О сайте | | © 2026 Курс школьной геометрии.