Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Доказательство существования окружности вписанной в треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Доказательство существования окружности вписанной в треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Доказательство существования окружности вписанной в треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникДоказательство существования окружности вписанной в треугольник
Равнобедренный треугольникДоказательство существования окружности вписанной в треугольник
Равносторонний треугольникДоказательство существования окружности вписанной в треугольник
Прямоугольный треугольникДоказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Произвольный треугольник
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник
Равнобедренный треугольник
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник
Равносторонний треугольник
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник
Прямоугольный треугольник
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник
Произвольный треугольник
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Доказательство существования окружности вписанной в треугольник.

Равнобедренный треугольникДоказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Равносторонний треугольникДоказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникДоказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Доказательство существования окружности вписанной в треугольник– полупериметр (рис. 6).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружность, вписанная в треугольник

Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Вписанная и описанная окружности

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Рисунок 1. Вписанная окружность

Видео:ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

ОГЭ Задание 25 Окружность вписанная в прямоугольный треугольник

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK. $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M и L$. Так как $OM,OK и OL$ — перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Готовые работы на аналогичную тему

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Описанная окружность

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Рисунок 3. Описанная окружность

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $^0$, то около него можно описать окружность.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Доказательство существования окружности вписанной в треугольник

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора $^2=^2-^2, BM=sqrt<^2-frac<^2>>=sqrt=sqrt=3$. $OM=OH=r$ — искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4 см$. Следовательно, $BH=5-4=1 см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

Ответ: $frac$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

📽️ Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Задание 24 Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольникСкачать

Задание 24  Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Построить окружность, вписанную в треугольник

Построение окружности, вписанной в треугольникСкачать

Построение окружности, вписанной в треугольник

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: