Доказательство параллельности средней линии треугольника

Как найти среднюю линию треугольника?

Доказательство параллельности средней линии треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Средняя линия. Теорема о средней линии треугольника

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

  • Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
  • Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
  • Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Теорема о средней линии треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Теорема о средней линии треугольника. Доказательство. 8 класс.

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Видео:8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольникаСкачать

8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Видео:МАТЕМАТИКА | Средняя линия треугольникаСкачать

МАТЕМАТИКА | Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

  1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
  2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Видео:Средняя линия треугольникаСкачать

Средняя линия треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

Доказательство параллельности средней линии треугольника(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то Доказательство параллельности средней линии треугольникаСледовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Видео:Средняя линия треугольника. Видеоурок 13. Геометрия 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника. Видеоурок 13. Геометрия 8 класс.

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Видео:Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Теорема о средней линии треугольника

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

Доказательство параллельности средней линии треугольника

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

Доказательство параллельности средней линии треугольника

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Отсюда следует, что

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Видео:Средняя линия треугольника. 👀 Свойство средней линии треугольника.Скачать

Средняя линия треугольника. 👀 Свойство средней линии треугольника.

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Следствие №2

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Видео:Средняя линия треугольника и её свойство доказательствоСкачать

Средняя линия треугольника и её свойство   доказательство

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Видео:Средняя линия треугольника – 8 класс геометрияСкачать

Средняя линия треугольника – 8 класс геометрия

Пример решения задачи

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

Видео:64. Средняя линия треугольникаСкачать

64. Средняя линия треугольника

Средние линии

Доказательство параллельности средней линии треугольникаСредние линии треугольника
Доказательство параллельности средней линии треугольникаСредняя линия трапеции
Доказательство параллельности средней линии треугольникаСредние линии четырехугольников. Теорема Вариньона
Доказательство параллельности средней линии треугольникаСредние линии тетраэдра

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Видео:Найди длину средней линии | Подготовка к ОГЭСкачать

Найди длину средней линии | Подготовка к ОГЭ

Средние линии треугольника

Определение . Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

На рисунке 1 средней линией является отрезок DE .

Утверждение 1 . Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и обозначим буквой D середину стороны AB (рис. 2). Проведем через точку D до пересечения с прямой BC прямую, параллельную прямой AC . Обозначим буквой E точку пересечения прямых DE и BC .

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Поскольку AD = DB , а прямые AC и DE параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство: CE = EB . Отсюда вытекает, что точка E является серединой стороны CB , а отрезок DE является средней линией треугольника.

Первую часть утверждения 1 мы доказали.

Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки DE , EF и FD (рис.3).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Но поскольку AF = FC , то отсюда вытекает равенство

Доказательство параллельности средней линии треугольника

что и требуется доказать.

Доказательство утверждения 1 закончено.

  • Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF , DBE , ECF , DEF (рис. 4).
  • Каждый из четырёх треугольников ADF , DBE , ECF , DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5 .

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Видео:Теорема о средней линии трапецииСкачать

Теорема о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции

Напомним, что трапецией трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют основаниями , а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

Определение . Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок EF .

Утверждение 2 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство . Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию (рис. 6). Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G . Рассмотрим треугольники BCF и FDG . У этих треугольников стороны CF и FD равны, поскольку точка F – середина стороны CD . Углы BCF и FDG равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых BC и AD с секущей CD . Углы BFC и DFG равны, поскольку они являются вертикальными. Тем самым выполнены все условия признака равенства треугольников «По стороне и прилежащим к ней углам», и можно заключить, что треугольники BCF и FDG равны. Из равенства треугольников BCF и FDG следует равенство отрезков BF и FG , откуда вытекает, что отрезок EF является средней линией треугольника ABG . Поэтому

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

что и требовалось доказать.

Задача 1 . Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, LM – указанный отрезок (рис.7). Поскольку AE = EB , то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство: LN = NM , что и требовалось доказать.

Задача 2 . Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Решение . Пусть ABCD – трапеция, EF – её средняя линия, KL – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка K – середина отрезка AC , а точка L – середина отрезка BD . Поэтому отрезок EK – средняя линия треугольника BAC , а отрезок EL – средняя линия треугольника ABD . В силу утверждения 1 выполнены равенства:

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство . Пусть K и L – середины оснований BC и AD трапеции ABCD соответственно (рис.9). Обозначим буквой M точку пересечения боковых сторон AB и CD . Проведем через точки M и K прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием AD символом N . Докажем, что точки N и L совпадают. Для этого заметим, что треугольник BMK подобен треугольнику AMN . Следовательно, выполнено равенство:

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Из этих соотношений получаем:

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

откуда вытекает, что точки N и L совпадают. Доказательство завершено.

Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

Утверждение 4 . Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.

Следствие . Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Видео:Средняя линия треугольникаСкачать

Средняя линия треугольника

Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

Определение . Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

На рисунке 10 средние линии – это отрезки EF и GH .

Замечание 1 . Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем замкнутую ломаную линию из 4 звеньев без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник» ABCD , средними линиями которого являются отрезки EF и GH .

Замечание 2 . Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Замечание 3 . В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.

Теорема Вариньона . Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограмма параллелограмма .

Доказательство . Рассмотрим плоский четырёхугольник ABCD , изображенный на рисунке 12. Точки E, G, F, H – середины сторон, отрезок AC – диагональ четырёхугольника.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Поскольку отрезок EG – средняя линия треугольника ABC , то отрезок EG параллелен диагонали AC и равен её половине. Поскольку отрезок FH – средняя линия треугольника CDA , то отрезок FH параллелен диагонали AC и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике EGFH противоположные стороны EG и FH равны и параллельны. В силу признака параллелограмма признака параллелограмма признака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник EGFH – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника» ABCD доказательство остаётся тем же (рис. 13).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Утверждение 5 . Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Утверждение 6 . Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырёхугольник ABCD , у которого отрезок EF является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

что и требовалось доказать.

Следствие . Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.

Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапецией трапецией , а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.

Видео:Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс #62 | ИнфоурокСкачать

Средняя линия треугольника  | Геометрия 7-9 класс #62 | Инфоурок

Средние линии тетраэдра

Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

У каждого тетраэдра имеется 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер, причем все рёбра делятся на 3 пары непересекающихся рёбер . На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых .

Определение . Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.

Доказательство параллельности средней линии треугольника

У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок EF является одной из средних линий тетраэдра.

Утверждение 7 . Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство . Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например, EF и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка EF . Для этого рассмотрим, например, среднюю линию GH , соединяющую середины рёбер AC и BD , и соединим отрезками точки E, H, F, G (рис.19).

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Заметим, что отрезок EH является средней линией треугольника ADB , поэтому

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Доказательство параллельности средней линии треугольника

Определение . Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра .

Утверждение 8 . Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке O и произвольный тетраэдр ABCD . Если обозначить буквой M центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:

📺 Видео

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Средняя линия треугольника.Скачать

Средняя линия треугольника.

Геометрия Докажите, что Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторонСкачать

Геометрия Докажите, что Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон
Поделиться или сохранить к себе: