Доказательства третий признак равенства треугольника

Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.

Формулировка третьего признака равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А₁В₁С₁ равны.

Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А₁, точка В с точкой В₁, а точки С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁.

Три возможных случая при наложении треугольников

1. Луч С₁С расположен внутри угла А₁С₁В₁.

Луч С₁С накладывается на одну из сторон данного угла.

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники В₁С₁С и АС₁С.

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С₁С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник САС₁.

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Доказательство:

1. Рассмотрим полученный треугольник ВСС₁.

Что и требовалось доказать.

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Признаки равенства треугольников

О чем эта статья:

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
   
2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
   
3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
   
4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
   
5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
   

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

3 признак равенства треугольников

(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

Приложим треугольник A₁B₁C₁ к треугольнику ABC так, чтобы

• вершина A₁ совместилась с вершиной A,
• вершина B₁ совместилась с вершиной B,
• точки C₁ и C лежали по разные стороны от прямой AB.

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC₁ и угла ACB.

I. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Проведём отрезок CC₁.

По условию AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, поэтому треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁.

Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC₁B.

Точки A₁ и A, B₁ и B совмещены, то есть ∠AC₁B и ∠A₁C₁B₁ — один и тот же угол.

Для треугольников ABC и A₁B₁C₁ имеем:

Следовательно, ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).

II. Луч CC₁ проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, треугольники ACC₁ и BCC₁ — равнобедренные с основанием CC₁ и ∠ACC₁=∠AC₁C и ∠BCC₁=∠BC₁C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

III. Луч CC₁ совпадает со стороной угла ACB.

По условию BC=B₁C₁, поэтому треугольник BCC₁ — равнобедренный с основанием CC₁.

Отсюда ∠C₁=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA₁B₁C₁ (по 1 признаку равенства треугольников).