Доказательства неравенства треугольника модули (3 видео)

Модули

В этой лекции мы рассмотрим:

Модули
неравенства с участием модулей
Теорема 1.2.2 (√ a 2 =|a|)
Теорема неравенства

Содержание

1.2.1 Определение
Если a является негативным тогда -a позитивно и +a отрицательное.
Доказательства свойств модуля
Неравенство треугольника: доказательство, примеры, решенные упражнения
Содержание:
Демонстрация
Примеры
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Решенные упражнения
🎥 Видео

1.2.1 Определение

Пример
|5| = 5 Так как 5 > 0
|-4| = -(-4) = 4 Так как -4

Замечание
|a| есть не отрицательным числом для всех значений a и
-|a|≤ a ≤ |a|

Если a является негативным тогда -a позитивно и +a отрицательное.

Пример
Решите уравнение |x-3|=4
Решение

x-3= 4

x= 7

или

-(x-3)= 4
x-3= -4
x= -1

Уравнение имеет 2 решения: -1 и 7.

Пример
Решите уравнение |3x-2|=|5x+4|

3x-2 = 5x+4
3x-5x = 4+2
-2x = 6
x = -3

или

3x-2 = -(5x+4)
..
.
x = $-frac$

Уравнение имеет 2 решения: -3 и $-frac$.

Позитивный корень квадрата числа равен этому числу.

ТЕОРЕМА 1.2.2
Для любого действительного числа a
√ a 2 = |a|
e.g.
√ (-4) 2 = √ 16 = 4 = |-4|

ТЕОРЕМА 1.2.3
Если a и b действительные числа, тогда

|-a| = |a| число a и его отрицательное значение имеет одинаковые модули.
|ab| = |a||b| Модуль произведения двух чисел есть произведение их модулей.
|a/b| = |a|/|b| Модуль отношения двух чисел есть отношение их модулей.

Доказательство
Из теоремы 1.2.2

(a) |-a| = √ (-a) 2 = √ a 2 = |a|

(b) |ab| = √ (ab) 2 = √ a 2 b 2 = √ a 2 √ b 2 = |a||b|

(b) |2.-3| = |-6| = 6 = |2|.|3| = 6

Результат (b) вышеизложенной теоремы может быть применено к трем или более членам.
Для n действительных чисел
a₁, a₂, a₃. a_n
(a) |a₁ a₂ . a_n| = |a₁| |a₂| . |a_n|
(b) |a n | = |a| n

Геометрическое представление модуля

Где A и B есть точки с координатами a и b. Расстояние между A и B есть
$text=beginb-a text a b \ 0 text a = b end$

Теорема 1.2.4 (Формула расстояния)
Если A и B — точки на координатной прямой с координатами a и b соответственно, тогда расстояние d между A и B
d = |b — a|

ТАБЛИЦА 1.2.2 (a)
|x-a| 0)

Альтернативная форма -k

Пример
Неравенство
|x-3| Пример
Решите |x+4| ≥ 2

x+4 ≤ -2
x ≤ -6

x+4 ≥ 2
x≥ -2

Объединение двух неравенств дает
(-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )

На численной прямой

Не всегда верно, что
|a+b| = |a| + |b|
например
если a = 2 и b = -3, тогда a+b = -1 и поэтому |a+b| = |-1| = 1
в то время как
|a|+|b| = |2|+|-3| = 2+3 = 5 поэтому |a+b| = |a|+|b|

1.2.5 ТЕОРЕМА — (Неравенство треугольника)
Если a b тогда |a+b| ≤ |a|+|b|
Доказательство
Так как для любого действительного числа a и b, мы знаем, что
-|a| ≤ a ≤ |a| and -|b| ≤ b ≤ |b|
-|a| ≤ a ≤ |a|
+
-|b| ≤ b ≤ |b|
______________
= -|a| + -|b| ≤ a+b ≤ |a|+|b|
______________________________________________
Сейчай мы имеем два случая:

Первый случай, где a+b ≥ 0
определенно: a+b=|a+b|
Отсюда
|a+b| ≤ |a|+|b|

Второй случай где a+b _______________________________ →

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

Доказательства свойств модуля

Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:

Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b .

Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с их значениями: |a| = a, |b| = b . Из этого следует, что |a + b| = |a| + |b| .

Если a – отрицательное число, а b – положительное число, то выражение |a + b| можно записать как |b – a| . Выражение же |a| + |b| равно сумме абсолютных значений a и b , что больше, чем b – a . Поэтому |a + b| .

Если b – отрицательное число, а a – положительное, то |a + b| принимает вид |a – b| , что также меньше суммы модулей |a| + |b| .

Если a и b – отрицательные числа, то получим |–a – b| . Результат этого выражения равен |a + b| (т. к. |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b| ). Но уже было доказано, что |a + b| = |a| + |b| , следовательно и |–a – b| = |a| + |b| .

Доказательство 2) |ab| = |a| × |b|:
Здесь, в отличие от сложения, рассматривать все случаи особо не требуется, т. к. абсолютное значение произведения любых чисел (положительных ли, отрицательных ли) не зависит от знаков множителей. В выражении |ab| мы сначала перемножаем числа, а потом «отбрасываем» знак (отрицательный, если он есть), в выражении |a| × |b| сначала избавляемся от знаков, а потом перемножаем. Но от того, в какой момент был взят модуль (до или после умножения), не зависит абсолютное значение произведения.

Доказательство 3) , a ≠ 0:

Если a – положительное число, то |a| = a и, следовательно, доказываемое равенство верно, т. к. и правая и левая части равны 1/ a .

Доказательство 4) |a – b| ≥ |a| – |b|:

Если a и b – положительные числа, то их модули совпадают с самими числами. Поэтому |a – b| = |a| – |b| , потому что можно не брать модули вообще и тогда с двух сторон получим a – b .

Если a – положительное число, а b – отрицательное, то выражение |a – b| примет вид |a + b| , что больше, чем |a| – |b| .

Если a – отрицательное число, а b – положительное, то имеем |–a – b| = |–(a + b)| = |a + b| , что больше, чем |a| – |b| .

Видео:Доказательство свойств модуля, №25.Скачать

Неравенство треугольника: доказательство, примеры, решенные упражнения

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Содержание:

Это называется неравенство треугольника к свойству двух действительных чисел, заключающемуся в том, что абсолютное значение их суммы всегда меньше или равно сумме их абсолютных значений. Это свойство также известно как неравенство Минковского или треугольное неравенство.

Это свойство чисел называется треугольным неравенством, потому что в треугольниках длина одной стороны всегда меньше или равна сумме двух других, даже если это неравенство не всегда применяется в области треугольников.

Существует несколько доказательств треугольного неравенства в действительных числах, но в этом случае мы выберем одно, основанное на свойствах абсолютного значения и биномиального квадрата.

Теорема: Для каждой пары чисел к Y б относящиеся к действительным числам, он должен:

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Демонстрация

Начнем с рассмотрения первого члена неравенства, который возведем в квадрат:

| a + b | ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 (уравнение 1)

На предыдущем шаге мы использовали свойство, согласно которому любое число в квадрате равно абсолютному значению указанного числа в квадрате, то есть:| х | ^ 2 = х ^ 2. Также использовалось квадратное биномиальное разложение.

Все номера Икс меньше или равно его абсолютному значению. Если число положительное, оно равно, но если число отрицательное, оно всегда будет меньше положительного числа. В этом случае его собственное абсолютное значение, то есть можно сказать, что x ≤ | х |.

Продукт (а б) является числом, поэтому применяется, что (а б) ≤ | а б |. Когда это свойство применяется к (уравнение 1), мы имеем:

| a + b | ^ 2 = a ^ 2 + 2 (a b) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | а б | + b ^ 2 (уравнение 2)

Учитывая, что | a b | = | а || б | la (уравнение 2) можно записать следующим образом:

| a + b | ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 | а || б | + b ^ 2 (уравнение 3)

Но поскольку мы говорили ранее, что квадрат числа равен абсолютному значению квадрата числа, то уравнение 3 можно переписать следующим образом:

| a + b | ^ 2 ≤ | a | ^ 2 + 2 | a | | б | + | b | ^ 2 (уравнение 4)

Во втором члене неравенства признается замечательный продукт, применение которого приводит к:

| a + b | ^ 2 ≤ (| a | + | b |) ^ 2 (уравнение 5)

В предыдущем выражении следует отметить, что значения, которые должны быть возведены в квадрат в обоих членах неравенства, положительны, поэтому необходимо также убедиться, что:

| а + б | ≤ (| a | + | b |) (уравнение 6)

Вышеприведенное выражениеэто именно то, что хотели продемонстрировать.

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

Примеры

Далее мы проверим треугольное неравенство на нескольких примерах.

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Пример 1

Мы берем значение a = 2 и значение b = 5, то есть оба положительных числа, и проверяем, выполняется ли неравенство.

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника выполнена.

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Пример 2

Выбираются следующие значения a = 2 и b = -5, то есть положительное число, а другое отрицательное, проверяем, выполняется неравенство или нет.

Неравенство выполнено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве проверена.

Видео:Свойства модуля: линейность, неравенство треугольника, модуль разности модулейСкачать

Пример 3

Берём значение a = -2 и значение b = 5, то есть отрицательное число, а другое положительное, проверяем, выполняется ли неравенство.

Неравенство проверено, значит, теорема выполнена.

Видео:Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Пример 4

Выбираются следующие значения a = -2 и b = -5, то есть оба отрицательные числа, и мы проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство проверено, следовательно, теорема о неравенстве Минковского выполнена.

Видео:Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Пример 5

Мы берем значение a = 0 и значение b = 5, то есть число ноль, а другое положительное, затем проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство выполнено, следовательно, теорема о неравенстве треугольника проверена.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Пример 6

Мы берем значение a = 0 и значение b = -7, то есть число ноль, а другое положительное, затем проверяем, выполняется неравенство или нет.

Равенство проверено, следовательно, теорема о треугольном неравенстве выполнена.

Видео:Метод рационализации. Неравенства с модулямиСкачать

Решенные упражнения

В следующих упражнениях изобразите геометрически неравенство треугольника или неравенство Минковского для чисел a и b.

Число a будет представлено как сегмент на оси X, его начало O совпадает с нулем оси X, а другой конец сегмента (в точке P) будет в положительном направлении (вправо) от оси X, если > 0, но если a 0), а точка Q будет | b | единиц слева от P, если b Категория : Наука

Номинальная заработная плата: из чего состоит, как рассчитывается