Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Отрезки касательных

Рассмотрим, какими свойствами обладают отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки.

(Свойство касательных, проведенных из одной точки)

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

AB=AC Доказать свойство отрезков касательных к окружности∠BAO=∠CAO

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Дано: окружность (O;R),

AB и AC — касательные к окружности (O;R),

B, C — точки касания.

Доказать: AB=AC, ∠BAO=∠CAO.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Следовательно, треугольники ABO и ACO — прямоугольные. У них

1) катеты OB=OC (как радиусы)

2) гипотенуза OA — общая сторона.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательная к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

О чем эта статья:

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Свойство отрезков касательныхСкачать

Свойство отрезков касательных

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Доказать свойство отрезков касательных к окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Доказать свойство отрезков касательных к окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Доказать свойство отрезков касательных к окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Доказать свойство отрезков касательных к окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Доказать свойство отрезков касательных к окружностиТеорема о бабочке

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДоказать свойство отрезков касательных к окружности
КругДоказать свойство отрезков касательных к окружности
РадиусДоказать свойство отрезков касательных к окружности
ХордаДоказать свойство отрезков касательных к окружности
ДиаметрДоказать свойство отрезков касательных к окружности
КасательнаяДоказать свойство отрезков касательных к окружности
СекущаяДоказать свойство отрезков касательных к окружности
Окружность
Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Задание 25 Свойство отрезков касательныхСкачать

Задание 25 Свойство отрезков касательных

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДоказать свойство отрезков касательных к окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДоказать свойство отрезков касательных к окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДоказать свойство отрезков касательных к окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДоказать свойство отрезков касательных к окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДоказать свойство отрезков касательных к окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДоказать свойство отрезков касательных к окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДоказать свойство отрезков касательных к окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДоказать свойство отрезков касательных к окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДоказать свойство отрезков касательных к окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДоказать свойство отрезков касательных к окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Пересекающиеся хорды
Доказать свойство отрезков касательных к окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Доказать свойство отрезков касательных к окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Доказать свойство отрезков касательных к окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Доказать свойство отрезков касательных к окружности
Пересекающиеся хорды
Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Видео:Доказательство теоремы об отрезках касательных.Скачать

Доказательство теоремы об отрезках касательных.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Тогда справедливо равенство

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Доказать свойство отрезков касательных к окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📽️ Видео

Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1Скачать

Вариант 77, № 7. Свойство касательной. Теорема о касательных, проведенных из одной точки. Задача 1

ОГЭ Задание 24 Свойство отрезков касательныхСкачать

ОГЭ Задание 24 Свойство отрезков касательных

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными изСкачать

№641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К РАДИУСУ, ПРОВЕДЕННОМУ В ТОЧКУ КАСАНИЯ. Теорема.Скачать

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К РАДИУСУ, ПРОВЕДЕННОМУ В ТОЧКУ КАСАНИЯ. Теорема.

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по теме КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Видеоурок. Решения задач по геометрии. Касательная к окружности.Скачать

Видеоурок. Решения задач по геометрии. Касательная к окружности.

Свойства отрезков, хорд, секущих и касательных.Скачать

Свойства отрезков, хорд, секущих и касательных.

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством
Поделиться или сохранить к себе: