Доказать что треугольник pot sor

Существующие треугольники

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

Доказать что треугольник pot sor
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

Доказательство теоремы

Доказать что треугольник pot sor

  1. Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
  2. △BCD — равнобедренный, значит ∠ CBD=∠CDB.
  3. Рассмотрим △ABD: ∠ ABD >∠ CBD, следовательно ∠ ABD >∠ CDB, то AB

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Презентация по геометрии на тему «Второй признак равенства треугольников»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Доказать что треугольник pot sor

Описание презентации по отдельным слайдам:

Доказать что треугольник pot sor

Второй признак равенства треугольников

Доказать что треугольник pot sor

Какая фигура называется треугольником? Какие треугольники называются равными? Как можно узнать, равны ли данные треугольники? Какие элементы достаточно рассмотреть для доказательства равенства треугольников?

Доказать что треугольник pot sor

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказать что треугольник pot sor

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказать что треугольник pot sor

Тест: 1. Для доказательства равенства треугольников АВС и MNK достаточно доказать, что: а) АС = MN; б) ∠C = ∠N; в) BC = MK. 2. Для доказательства равенства треугольников АСВ и EDF достаточно доказать, что: а) AC = FE; б) ∠C = ∠E; в) ∠A = ∠F. 3. Чтобы доказать равенство равносторонних треугольников АВС и MNK, достаточно доказать, что: а) ∠А = ∠М; б) АВ = МN; в) PABC = PMNK. 4. Чтобы доказать равенство двух равнобедренных треугольника TOS и DEF с основаниями TS и DF, достаточно доказать, что: а) ∠О = ∠Е; б) TS = DF и ∠Т = ∠D; в) TS = DF. 5. Выберите верное утверждение: а) ВС = КN; б) АВ = КN; в) ВС = NM. C A B K N M A B C F D E A B C M N K

Доказать что треугольник pot sor

Ответы: 1.в) 2.б) 3.б) 4.б) 5.а)

Доказать что треугольник pot sor

Задача № 1. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников ACO и DOB если известно, что угол ACO равен углу DBO и BO=CO.

Доказать что треугольник pot sor

Решение: Рассмотрим ∆ ACO и ∆ DBO: BO=CO (по условию)

Доказать что треугольник pot sor

Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Докажите равенство треугольников BAO и DCO, если известно, что угол BAO равен углу DCO, AO = CO. Задача № 2.

Доказать что треугольник pot sor

Решение: Рассмотрим ∆ BAO и ∆ DCO. AO = CO (по условию)

Доказать что треугольник pot sor

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 976 человек из 78 регионов

Доказать что треугольник pot sor

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 308 человек из 70 регионов

Доказать что треугольник pot sor

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 677 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 551 690 материалов в базе

Другие материалы

  • 30.11.2015
  • 463
  • 1
  • 30.11.2015
  • 465
  • 1
  • 30.11.2015
  • 1297
  • 13
  • 30.11.2015
  • 650
  • 1
  • 30.11.2015
  • 316
  • 0
  • 30.11.2015
  • 577
  • 0
  • 30.11.2015
  • 598
  • 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 30.11.2015 5122
  • PPTX 149 кбайт
  • 5 скачиваний
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Козулина Александра Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Доказать что треугольник pot sor

  • На сайте: 6 лет и 2 месяца
  • Подписчики: 1
  • Всего просмотров: 66161
  • Всего материалов: 8

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Доказать что треугольник pot sor

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Доказать что треугольник pot sor

Петербургская учительница уволилась после чтения на уроке Введенского и Хармса

Время чтения: 3 минуты

Доказать что треугольник pot sor

Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие

Время чтения: 18 минут

Доказать что треугольник pot sor

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Доказать что треугольник pot sor

Онлайн-семинар о развитии управляющих функций мозга ребенка

Время чтения: 1 минута

Доказать что треугольник pot sor

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Доказать что треугольник pot sor

Минобрнауки подготовит государственный рейтинг университетов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Доказать что треугольник pot sor

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья «Вокруг теорем Чевы и Менелая» опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB, BC и AC отмечены точки C1, A1 и B1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке, то

Доказать что треугольник pot sor. (1)

б) Если верно равенство (1), то отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А1, B1 или С1 принадлежит стороне треугольника, а две другие — продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков 1, BB1 и 1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Доказать что треугольник pot sor

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC, начиная с точки A. От точки A идем к точке B, встречаем точку С1, записываем дробь Доказать что треугольник pot sor. Далее от точки В идем к точке С, встречаем точку А1, записываем дробь Доказать что треугольник pot sor. Наконец, от точки С идем к точке А, встречаем точку В1, записываем дробь Доказать что треугольник pot sor. В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой.

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC.

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС1. Прямая АА1 пересекает построенную прямую в точке М, а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА1, — в точке Т. Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ1. Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

Доказать что треугольник pot sorПо теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sorи Доказать что треугольник pot sor.

Тогда справедливы равенства

Доказать что треугольник pot sor.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM, СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, Доказать что треугольник pot sorи верно равенство

Доказать что треугольник pot sor.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении: Доказать что треугольник pot sor.

Доказательство. Из равенства Доказать что треугольник pot sorследуют равенства Доказать что треугольник pot sorи Доказать что треугольник pot sor. Последнее из них выполняется лишь при условии, что С1B и С2B равны, т. е. при условии, что точки С1 и С2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С1 и С2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке Z, проведем через эту точку отрезок 2 (С2 лежит на отрезке AB). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

Доказать что треугольник pot sor. (2)

Доказать что треугольник pot sorИз сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что Доказать что треугольник pot sor, т. е. точки С1 и С2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С1 и С2 совпадают. Это означает, что отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка АN на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Задание 2. Чевианы AM, BN, CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC. Найдите отношение Доказать что треугольник pot sor, если Доказать что треугольник pot sor, . Рис. 4

Ответ. Доказать что треугольник pot sor.

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Доказать что треугольник pot sorПриведем доказательство теоремы Чевы из статьи [1]. Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB, и ее точки пересечения с прямыми AA1, BB1 обозначим соответственно A2, B2.

Из подобия двух пар треугольников CB2B1 и ABB1, BAA1 и CA2A1, Рис. 5

Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor. (3)

Из подобия треугольников 1O и B2CO, 1O и A2CO имеем равенства Доказать что треугольник pot sor, из которых следует, что

Доказать что треугольник pot sor. (4)

Доказать что треугольник pot sorПеремножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге [2] и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4.

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если Доказать что треугольник pot sor, то Доказать что треугольник pot sorи Доказать что треугольник pot sor. Рис. 6

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Пусть отрезки 1, BB1 и 1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor. (5)

Доказать что треугольник pot sorИз равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что Доказать что треугольник pot sorили Доказать что треугольник pot sor. Аналогично получим, что Доказать что треугольник pot sorи Доказать что треугольник pot sor. Перемножив три последние равенства, получим:

Доказать что треугольник pot sor,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S1, S2, S3, S4, S5, S6 (рис. 7). Докажите, что Доказать что треугольник pot sor. Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АNO равна 10 и Доказать что треугольник pot sor, (рис. 9).

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO, если площадь треугольника АBC равна 88 и Доказать что треугольник pot sor, (рис. 9).

Доказать что треугольник pot sor

Доказать что треугольник pot sorРешение. Так как Доказать что треугольник pot sor, то обозначимДоказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor. Так как , то обозначим Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor. Из теоремы Чевы следует, что Доказать что треугольник pot sor, и тогда Доказать что треугольник pot sor. Если Доказать что треугольник pot sor, то Доказать что треугольник pot sor(рис. 10). У нас три неизвестные величины (x, y и S), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как Доказать что треугольник pot sor, то Доказать что треугольник pot sor= 88. Так как Доказать что треугольник pot sor, то Доказать что треугольник pot sor, откуда Доказать что треугольник pot sor. Так как Доказать что треугольник pot sor, то Доказать что треугольник pot sor.

Итак, Доказать что треугольник pot sor, откуда Доказать что треугольник pot sor. Рис. 10

Задание 9. В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и BC. Доказать что треугольник pot sor, . P — точка пересечения отрезков AL и CK. Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC.

Доказать что треугольник pot sorТеорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и отмечены точки B1 и A1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C1 (рис. 11).

а) Если точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой, то

Доказать что треугольник pot sor. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC — от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l, параллельную прямой А1B1, она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Доказать что треугольник pot sor

Рис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем: Доказать что треугольник pot sorи Доказать что треугольник pot sor.

Тогда верны равенства Доказать что треугольник pot sor.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А1B1 пересекаются в точке С2 (рис. 13).

Так как точки А1 B1 и С2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

Доказать что треугольник pot sorДоказать что треугольник pot sor. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем Доказать что треугольник pot sor, откуда следует, что верны равенства

Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor.

Последнее равенство верно лишь при условии Доказать что треугольник pot sor, т. е. если точки С1 и С2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Из точек A, B и C проведем перпендикуляры АА0, BB0 и СС0 к этой прямой (рис. 14).

Доказать что треугольник pot sor

Рис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA0B1 и CC0B1, CC0A1 и BB0A1, C1B0B и C1A0A (по двум углам) имеем верные равенства

Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor,

перемножив их, получим:

Доказать что треугольник pot sor.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А1, B1 и С1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C1. Обозначим площади треугольников S1, S2, S3, S4, S5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor. (8)

Перемножив равенства (8), получим:

Доказать что треугольник pot sor.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказать что треугольник pot sor

Рис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Доказать что треугольник pot sorПусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Доказать что треугольник pot sorи Доказать что треугольник pot sor.

Тогда верны равенства

Доказать что треугольник pot sor.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Доказать что треугольник pot sorЗадание 11. В треугольнике АВС точки А1, В1 лежат соответственно на сторонах ВС и . P — точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor. Найдите отношение Доказать что треугольник pot sor.

Решение. Обозначим Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor(рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BCВ1 и секущей PA1 запишем верное равенство:

Доказать что треугольник pot sor,

откуда следует, что

Доказать что треугольник pot sor. Рис. 17

Ответ. Доказать что треугольник pot sor.

Доказать что треугольник pot sorЗадание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении Доказать что треугольник pot sor, а на стороне АС — точка L, делящая АС в отношении Доказать что треугольник pot sor. Точка P пересечения прямых СК и ВL удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ. Обозначим Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor(рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство: Доказать что треугольник pot sor, откуда получим, что Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor. Рис. 18

Из подобия треугольников КMC и КRP (по двум углам) получим, что Доказать что треугольник pot sor, откуда следует, что Доказать что треугольник pot sor.

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС, и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны: Доказать что треугольник pot sor.

Доказать что треугольник pot sorЗадание 13. Три окружности с центрами А, В, С, радиусы которых относятся как Доказать что треугольник pot sor, касаются друг друга внешним образом в точках X, Y, Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O. В каком отношении, считая от точки B, отрезок CZ делит отрезок BY?

Решение. Обозначим Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor, Доказать что треугольник pot sor(рис. 19). Так как Доказать что треугольник pot sor, то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки АX, BY и СZ пересекаются в одной точке — точке O. Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении Доказать что треугольник pot sor. Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем: Доказать что треугольник pot sor, откуда следует, что Доказать что треугольник pot sor.

Ответ. Доказать что треугольник pot sor.

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

Доказать что треугольник pot sorа) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:4. [8]

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

Доказать что треугольник pot sor. (9)

Так как АВ1:B1С = АС1:С1B, то из равенства (9) следует, что Доказать что треугольник pot sor, то есть CA1 = А1B, что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB1O равна S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 4S, а площадь треугольника AOC равна 5S. Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S, так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO, а их вершины B и C равноудалены от прямой AO. Причём площадь треугольника AOC1 равна S, так как АС1:С1B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB1 равна 6S. Так как АВ1:B1С = 1:4, то площадь треугольника CB1O равна 24S, а площадь треугольника ABC равна 30S. Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB1OC1 (2S) к площади треугольника ABC (30S), оно равно 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В1 и С1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC, причём АВ1:B1С =
= АС1:С1B. Прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB1OC1 к площади треугольника ABC, если известно, что АВ1:B1С = 1:3. [8]

Доказать что треугольник pot sorЗадание 16 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosДоказать что треугольник pot sorABC = Доказать что треугольник pot sor. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

Решение. а) Пусть углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC (рис. 21) равны Доказать что треугольник pot sor, так как BL биссектриса Доказать что треугольник pot sorABC, то Доказать что треугольник pot sorLBC = Доказать что треугольник pot sor. Он равен углу LDB при основании BD равнобедренного треугольника BLD. Тогда внешний угол LCB треугольника DCL равен Доказать что треугольник pot sor, а внутренний угол LDC, не смежный с ним, равен Доказать что треугольник pot sor. Из свойства внешнего угла треугольника следует, что другой внутренний угол треугольника DCL равен Доказать что треугольник pot sorДоказать что треугольник pot sor= Доказать что треугольник pot sor, то есть треугольник DCL равнобедренный (DC = CL), что и требовалось доказать. Рис. 21

б) Пусть AK — медиана, проведённая к основанию BC равнобедренного треугольника ABC, она является высотой, поэтому BK:BA = cosДоказать что треугольник pot sorABC = Доказать что треугольник pot sor. Обозначим BK = x, тогда BC = 2x, BA = BС = 6x. Биссектриса BL делит сторону в отношении CL:LA = BC:BA = 1:3. Тогда CL = CD = Доказать что треугольник pot sor= 1,5x.

По теореме Менелая Доказать что треугольник pot sor, откуда, учитывая, что CL = CD, имеем: Доказать что треугольник pot sor= Доказать что треугольник pot sor.

Задание 17 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosДоказать что треугольник pot sorABC = Доказать что треугольник pot sor. В каком отношении прямая DL делит сторону АВ? [8]

1. , Смирнов точки и линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев геометрии треугольника. (Серия «Библиотека «Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. — 32 с.

3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / , , и др. — М.: Вита-Пресс, 2005. — 208 с.

4. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. — 334 с.

8. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / , , и др.; под ред. . – М.: Издательство «Экзамен», 2016. — 247 с.

🔥 Видео

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать

Первый признак равенства треугольников | Теорема + доказательство

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Признаки равенства треугольников. Доказать равенство по рисунку. Найти пары.Скачать

Признаки равенства треугольников. Доказать равенство по рисунку. Найти пары.

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.

Третий признак равенства треугольников | Теорема + доказательствоСкачать

Третий признак равенства треугольников | Теорема + доказательство

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Доказать,что треугольник равнобедренный. #ShortsСкачать

Доказать,что треугольник равнобедренный. #Shorts

Задачи. Второй признак равенства треугольников. По рисункам. Доказать.Скачать

Задачи. Второй признак равенства треугольников. По рисункам. Доказать.

Третий признак равенства треугольников (доказательство) - геометрия 7 классСкачать

Третий признак равенства треугольников (доказательство) - геометрия 7 класс

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"Скачать

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.

Задачи на доказательство равенства треугольников. Первый признак. Простые.Скачать

Задачи на доказательство равенства треугольников. Первый признак. Простые.

Задачи на доказательство по геометрии. Первый признак равенства треугольников.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Первый признак равенства треугольников.
Поделиться или сохранить к себе: