Доказать что равносторонние треугольники равны

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Видео:№135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другогоСкачать

№135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Доказать что равносторонние треугольники равны

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Видео:№116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.Скачать

№116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Доказать что равносторонние треугольники равны

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

Доказать что равносторонние треугольники равны

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Доказать что равносторонние треугольники равны

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Доказать что равносторонние треугольники равны

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Доказать что равносторонние треугольники равны

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:
Доказать что равносторонние треугольники равны

2. Радиус вписанной окружности:
Доказать что равносторонние треугольники равны

3. Радиус описанной окружности:
Доказать что равносторонние треугольники равны

4. Периметр:
Доказать что равносторонние треугольники равны

5. Площадь:
Доказать что равносторонние треугольники равны

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Видео:Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Все углы треугольника равны

Если все углы треугольника равны, то что можно сказать о таком треугольнике?

(признак равностороннего треугольника)

Если все углы треугольника равны, то этот треугольник — равносторонний.

Доказать что равносторонние треугольники равныДано : ∆ ABC,

Доказать : ∆ ABC — равносторонний.

Так как ∠A=∠C, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (по признаку равнобедренного треугольника).

Аналогично, так как ∠A=∠B, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB и AC=BC.

Имеем: AB=BC, AC=BC, следовательно, все три стороны треугольника равны: AB=BC=AC, а значит, треугольник ABC — равносторонний (по определению).

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Признаки равенства треугольников

Доказать что равносторонние треугольники равны

О чем эта статья:

Видео:№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.Скачать

№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказать что равносторонние треугольники равны

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказать что равносторонние треугольники равны

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказать что равносторонние треугольники равны

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

  1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
    Доказать что равносторонние треугольники равны
  2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
    Доказать что равносторонние треугольники равны
  3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
    Доказать что равносторонние треугольники равны
  4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
    Доказать что равносторонние треугольники равны
  5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
    Доказать что равносторонние треугольники равны

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

💥 Видео

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

ОГЭ 2020 задание 17

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

№159. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащСкачать

№159. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащ

№561. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.Скачать

№561. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.Скачать

№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.

ОГЭ Задание 25 Доказать что треугольник равностороннийСкачать

ОГЭ Задание 25 Доказать что треугольник равносторонний

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

ОГЭ 16🔴Скачать

ОГЭ 16🔴

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать

№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;

Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать

Задание 9 ОГЭ от ФИПИ

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника
Поделиться или сохранить к себе: