Док во теоремы площади треугольника

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть Док во теоремы площади треугольника

Док во теоремы площади треугольника

Док во теоремы площади треугольника

1) Проведем через вершину Док во теоремы площади треугольникапрямую, параллельную Док во теоремы площади треугольникаа через вершину Док во теоремы площади треугольника— прямую, параллельную Док во теоремы площади треугольникаПолучим параллелограмм Док во теоремы площади треугольника

2) Док во теоремы площади треугольника(по трем сторонам). Поэтому

Док во теоремы площади треугольникаоткуда Док во теоремы площади треугольника

3) Так как Док во теоремы площади треугольникато Док во теоремы площади треугольника

В общем виде формулу площади Док во теоремы площади треугольникатреугольника можно записать так:

Док во теоремы площади треугольника

где Док во теоремы площади треугольника— сторона треугольника, Док во теоремы площади треугольника— высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Док во теоремы площади треугольника

Доказательство:

Рассмотрим Док во теоремы площади треугольникаи Док во теоремы площади треугольникау которых Док во теоремы площади треугольникаПроведем высоты Док во теоремы площади треугольникаи Док во теоремы площади треугольника(рис. 238).

Док во теоремы площади треугольника

2) Док во теоремы площади треугольника(по острому углу), поэтому Док во теоремы площади треугольника

3) Имеем: Док во теоремы площади треугольника

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна Док во теоремы площади треугольника

Решение:

Пусть Док во теоремы площади треугольника— равносторонний со стороной Док во теоремы площади треугольникаТогда Док во теоремы площади треугольникаВ равностороннем треугольнике Док во теоремы площади треугольникагде Док во теоремы площади треугольника— медиана. Но Док во теоремы площади треугольника(§ 18, задача 4), поэтому Док во теоремы площади треугольника

Следовательно, Док во теоремы площади треугольника

Ответ. Док во теоремы площади треугольника

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как Док во теоремы площади треугольника(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого Док во теоремы площади треугольникасм -гипотенуза, Док во теоремы площади треугольникаи Док во теоремы площади треугольникасм — катеты, Док во теоремы площади треугольника— высота. Найдем Док во теоремы площади треугольника

Док во теоремы площади треугольника

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: Док во теоремы площади треугольникаили Док во теоремы площади треугольника

Тогда Док во теоремы площади треугольникато есть Док во теоремы площади треугольникаоткуда Док во теоремы площади треугольника

Таким образом, имеем: Док во теоремы площади треугольника(см).

Ответ. Док во теоремы площади треугольникасм.

Содержание
  1. Теорема (формула площади треугольника)
  2. Как найти площадь треугольника
  3. Основные понятия
  4. Формула площади треугольника
  5. Общая формула
  6. 1. Площадь треугольника через основание и высоту
  7. 2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  8. 3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны
  9. 4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны
  10. 5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам
  11. 6. Формула Герона для вычисления площади треугольника
  12. Для прямоугольного треугольника
  13. Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам
  14. Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу
  15. Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу
  16. Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности
  17. Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу
  18. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  19. Для равнобедренного треугольника
  20. Вычисление площади через основание и высоту
  21. Поиск площади через боковые стороны и угол между ними
  22. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  23. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  24. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  25. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  26. Таблица формул нахождения площади треугольника
  27. Основные свойства площадей треугольников
  28. 💥 Видео

Видео:Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | Инфоурок

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Док во теоремы площади треугольника

где Док во теоремы площади треугольника — сторона треугольника, Док во теоремы площади треугольника — проведенная к ней высота.

Пусть Док во теоремы площади треугольника— высота треугольника Док во теоремы площади треугольника(рис. 148). Докажем, что Док во теоремы площади треугольника

Док во теоремы площади треугольника

Проведем через вершины Док во теоремы площади треугольникапрямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения Док во теоремы площади треугольникаТаким образом, мы «достроили» треугольник Док во теоремы площади треугольникадо параллелограмма Док во теоремы площади треугольникав котором отрезок Док во теоремы площади треугольникатакже является высотой, проведенной к стороне Док во теоремы площади треугольника

По формуле площади параллелограмма Док во теоремы площади треугольникаТреугольники Док во теоремы площади треугольникаравны по трем сторонам (у них сторона Док во теоремы площади треугольникаобщая, Док во теоремы площади треугольникакак противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника Док во теоремы площади треугольникасоставляет половину площади параллелограмма Док во теоремы площади треугольникачто и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Док во теоремы площади треугольника

где Док во теоремы площади треугольника— катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Док во теоремы площади треугольника

где Док во теоремы площади треугольника — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами Док во теоремы площади треугольника(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Док во теоремы площади треугольника

Док во теоремы площади треугольника

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной Док во теоремы площади треугольникавычисляется по формуле

Док во теоремы площади треугольника

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть Док во теоремы площади треугольника— медиана треугольника Док во теоремы площади треугольника(рис. 150).

Док во теоремы площади треугольника

Проведем высоту Док во теоремы площади треугольникатреугольника Док во теоремы площади треугольникаЭтот отрезок является одновременно высотой треугольника Док во теоремы площади треугольникапроведенной к стороне Док во теоремы площади треугольникаи высотой треугольника Док во теоремы площади треугольникапроведенной к стороне Док во теоремы площади треугольникаУчитывая равенство отрезков Док во теоремы площади треугольникаимеем:

Док во теоремы площади треугольника

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Как найти площадь треугольника

Док во теоремы площади треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

  • квадратный миллиметр (мм 2 );
  • квадратный сантиметр (см 2 );
  • квадратный дециметр (дм 2 );
  • квадратный метр (м 2 );
  • квадратный километр (км 2 );
  • гектар (га).

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теорема

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольникаСкачать

Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольника

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Основные свойства площадей треугольников

Факт 1.
(bullet) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника.
Соответственно, площади этих треугольников равны.

Док во теоремы площади треугольника

Факт 2.
(bullet) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).

Док во теоремы площади треугольника

Факт 3.
(bullet) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Док во теоремы площади треугольника

Факт 4.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Док во теоремы площади треугольника

Факт 5.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.

Док во теоремы площади треугольника

Факт 6.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.

Док во теоремы площади треугольника

Факт 7.
(bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то Док во теоремы площади треугольника

Факт 8.
(bullet) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
(bullet) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

💥 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольника

Теорема о площади треугольника.Скачать

Теорема о площади треугольника.

8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Теорема о площади треугольника. 9 классСкачать

Теорема о площади треугольника. 9 класс

9 класс. Геометрия. Площадь треугольника. Формулы для нахождения площади треугольника. Урок #3Скачать

9 класс. Геометрия. Площадь треугольника. Формулы для нахождения площади треугольника. Урок #3

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия Атанасян

Секретные формулы площади треугольникаСкачать

Секретные формулы площади треугольника

Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.Скачать

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.
Поделиться или сохранить к себе: