Длина окружности основания конуса это что

Конус

Конус — это объемное тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Возьмем прямоугольный треугольник АВС. Будем вращать этот треугольник вокруг катета АС.

Длина окружности основания конуса это что

Прямая АСось косинуса.

Отрезок АСвысота конуса.

Основание конусакруг, образованный при вращении катета ВС.

Коническая поверхность (или боковая поверхность конуса) — поверхность, образованная при вращении гипотенузы АВ и состоящая из отрезков с общим концом А.

Образующие конусаотрезки, из которых составлена боковая поверхность конуса (на рисунке выше указаны образующие АВ, АВ1 и АВ2).

Определение

Конус — это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

Объем конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство

Дано: конус с площадью основания S, высотой h и объемом V.

Доказать: V = Длина окружности основания конуса это чтоSh.

Доказательство:

Длина окружности основания конуса это что

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и пирамиду с площадями оснований S и высотами ЕН = h и РО = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости Длина окружности основания конуса это что.

Проведем секущую плоскость Длина окружности основания конуса это что, параллельную плоскости Длина окружности основания конуса это чтои пересекающую высоты ЕН и РО в точках Н1 и О1 соответственно. В сечении конуса плоскостью Длина окружности основания конуса это чтополучится круг радиуса Н1А1.

Длина окружности основания конуса это чтоЕН1А1 подобен Длина окружности основания конуса это чтоЕНА по двум углам (Длина окружности основания конуса это чтоЕ — общий, Длина окружности основания конуса это чтоЕН1А1 = Длина окружности основания конуса это чтоЕНА = 90 0 , т.к. в противном случае прямые НА и Н1А1, а значит, и плоскости Длина окружности основания конуса это чтои Длина окружности основания конуса это чтопересекались бы, что противоречит условию). Поэтому Длина окружности основания конуса это что, откуда Длина окружности основания конуса это чтои площадь сечения конуса равна Длина окружности основания конуса это что.

Площадь сечения пирамиды равна Длина окружности основания конуса это что. По условию ЕН = РО = h, значит, ЕН1 = РО1 (т.к. ЕН1 = hНН1 и РО1 = hОО1, параллельные плоскости отсекают одинаковые отрезки НН1 и ОО1 от отрезков ЕН и РО, т.е. НН1 = ОО1).

Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сечения пирамиды. Поэтому и его объем равен объему пирамиды, т.е. V = Длина окружности основания конуса это чтоSh. Что и требовалось доказать.

Площадь боковой поверхности конуса

Рассмотрим конус с радиусом основания Длина окружности основания конуса это чтои образующей Длина окружности основания конуса это что.

Длина окружности основания конуса это что

Представим, что его боковую поверхность разрезали по одной из образующих и развернули так, что получился круговой сектор.

Длина окружности основания конуса это что

Радиус этого сектора равен образующей конуса, т.е. равен Длина окружности основания конуса это что, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна 2Длина окружности основания конуса это чтоДлина окружности основания конуса это что, Длина окружности основания конуса это что— градусная мера дуги сектора, тогда площадь данного сектора: Длина окружности основания конуса это что. (1)

Длина дуги окружности с градусной мерой Длина окружности основания конуса это чтои радиусом Длина окружности основания конуса это чторавна Длина окружности основания конуса это что. С другой стороны, длина этой дуги равна 2Длина окружности основания конуса это чтоДлина окружности основания конуса это что, поэтому учитывая (1), получим: Длина окружности основания конуса это что.

Площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, т.е. Длина окружности основания конуса это что.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Конус. Площадь боковой поверхности конуса.Скачать

Конус. Площадь боковой поверхности конуса.

Длина окружности основания конуса это что

Длина окружности основания конуса это что

Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники . На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP ( АР = ВР ). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса .

Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP ).

Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).

Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением .

Длина окружности основания конуса это что

Длина окружности основания конуса это чтоЕсли сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a ), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171, б ), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в ), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г ), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д ). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками .

О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Проективная геометрия» в конце этой книги. Длина окружности основания конуса это что

 ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60 ° ; б) в 90 ° . Найти площадь сечения.

Длина окружности основания конуса это что

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.

Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60 ° , значит, △ AOB — правильный и АВ = R .

Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC — высота треугольника АВР. Поэтому S △ ABP = Длина окружности основания конуса это чтоАВ • РC. Имеем: ОР = R (по условию); в △ A OB : ОС = Длина окружности основания конуса это что; в △ ОСР : CP = Длина окружности основания конуса это что= Длина окружности основания конуса это что.

Тогда S △ ABP = Длина окружности основания конуса это чтоАВ • РС = Длина окружности основания конуса это что.

Ответ: а) Длина окружности основания конуса это что.

18.3. Касательная плоскость к конусу

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.

Длина окружности основания конуса это что

Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.

Длина окружности основания конуса это что

Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.

18.4. Изображение конуса

Длина окружности основания конуса это что

Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).

Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.

Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.

18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса

Пусть l — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р .

Длина окружности основания конуса это что

Длина окружности основания конуса это что

Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a ), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б ), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса ; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):

α = Длина окружности основания конуса это что.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.

Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l — вычисляется по формуле

S бок = Длина окружности основания конуса это чтоα • l 2 , (1)

где α — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α = Длина окружности основания конуса это что, получаем:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Длина окружности основания конуса это что

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.

S кон = π Rl + π R 2 . (3)

Длина окружности основания конуса это что

Следствие. Пусть конус образован вращением пря м оугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда S бок = π • BC • АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AB = 2 AD, поэтому

S бок = 2 π ВС • AD. (4)

Длина окружности основания конуса это что

Проведём DE ⟂ АB ( E ∈ l = AС ) . Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А ) имеем

Длина окружности основания конуса это что= Длина окружности основания конуса это что⇒ BC • AD = DE • АС. (5)

Тогда соотношение (4) принимает вид

S бок = (2 π • DE ) • AC, (6)

т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.

Это следствие будет использовано в п. 19.7.

18.6. Свойства параллельных сечений конуса

Длина окружности основания конуса это что Длина окружности основания конуса это что

Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Длина окружности основания конуса это что

Доказательств о. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечён плоскостью α , параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).

Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО ⟂ β , α || β , то α ⟂ РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O 1 = α ∩ РО. Обозначим этот круг F 1 .

Рассмотрим гомотетию Длина окружности основания конуса это чтос центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия Длина окружности основания конуса это чтоотображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F 1 , при этом центр О основания отображается на центр О 1 круга F 1 (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где Х — точка окружности основания, то при гомотетии Длина окружности основания конуса это чтоточка X отображается на точку X 1 = РX ∩ α . Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

Длина окружности основания конуса это что= Длина окружности основания конуса это что= k, (*)

где k — коэффициент гомотетии Длина окружности основания конуса это что, т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.

А поскольку гомотетия является подобием, то круг F 1 , являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.

Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k = PO 1 : Р О , где РO 1 и PO — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S сечен : S основ = k 2 = Длина окружности основания конуса это что: PO 2 .

18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.

Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:

— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;

— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;

— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.

На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:

— прямоугольный треугольник (см. рис. 179);

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Задание №3 Длина окружности основания конуса

Длина окружности основания конуса равна 18πсм, высота конуса равна 4,5см. Вычислить объём конуса.
Длина окружности основания конуса это чтоДано: С окружности= 18πсм Hконуса=4,5см Найти: Vконуса-?
Решение: Длину окружности основания конуса можно вычислить по формуле c=2πR. Вычислим радиус основания конуса R= Длина окружности основания конуса это что= Длина окружности основания конуса это что=9см Вычислим объём конуса V=πR 2 Длина окружности основания конуса это что= Длина окружности основания конуса это что=121,5πсм 3 Ответ: V(конуса)= 121,5πсм 3
Решить задание на ЯКласс№3 Длина окружности основания конуса

Задание №4 Высота усечённого конуса

Площади оснований усечённого конуса равны 4πсм 2 и 36π см2; объём равен Длина окружности основания конуса это чтосм 3 . Вычислить высоту усечённого конуса.
Дано: S1= 4πсм 2 S2= 36πсм 2 V усеч.конуса= Длина окружности основания конуса это чтосм 3 . Найти: Hконуса-?
Решение: Длина окружности основания конуса это чтоОтвет: Hконуса= 8 см
Решить задание на ЯКласс№4 Высота усечённого конуса

Задание № 5 Осевое сечение конуса

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, сторона которого равна 12мм. Вычисли объём конуса.
Длина окружности основания конуса это чтоДано: а=12мм Найти: Vконуса-?
Решение: На рисунке — осевое сечение конуса. V=πR 2 Длина окружности основания конуса это чтоR= Длина окружности основания конуса это что=6мм H=6 Длина окружности основания конуса это чтомм, по соотношению в прямоугольном треугольнике, угол в котором равен 30 o . V= Длина окружности основания конуса это чтоV= Длина окружности основания конуса это чтоπ мм 3 Длина окружности основания конуса это чтоОтвет: V= Длина окружности основания конуса это чтоπ мм 3
Решить задание на ЯКласс№5 Осевое сечение конуса

Содержание отчета

a) Записать дату, Тему занятия и его цель

b) Записать решение заданий в тетрадь.

c) Ответить на контрольные вопросы письменно.

Контрольные вопросы

Какую часть от объема цилиндра занимает объем конуса, если известно, что высота и основания у них одинаковы?.
Врашением какой фигуры и вокруг какой оси образуется усеченный конус?
Что такое осевое сечение конуса?
Какие фигуры могут иметь правильный треугольник в качестве осевого сечения?
5.По какой формуле вычисляется объем пирамиды?

Дата добавления: 2016-03-15 ; просмотров: 5860 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

📸 Видео

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Цилиндр, конус, шар, 6 класс

Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№7 - Конус.)

Усеченный конус. 11 класс.Скачать

Усеченный конус. 11 класс.

Конус. 11 класс.Скачать

Конус. 11 класс.

Егэ,11 кл. Длина окружности основания цилиндра равна 3 , высота равна 2. Найдите площадь боковой повСкачать

Егэ,11 кл. Длина окружности основания цилиндра равна 3 , высота равна 2. Найдите площадь боковой пов

Геометрия. 11 класс. Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конусаСкачать

Геометрия. 11 класс. Конус и его элементы. Развертка, площадь боковой и полной поверхности конуса

Конус. Урок 18. Геометрия 9 классСкачать

Конус. Урок 18. Геометрия 9 класс

ЗАДАНИЕ 8 из ЕГЭ_50Скачать

ЗАДАНИЕ 8 из ЕГЭ_50

№550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, еслиСкачать

№550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если

Диаметр основания конуса равенСкачать

Диаметр основания конуса равен

ЕГЭ. Математика. База . Задача 16. Диаметр основания конуса 10. Длина образующей 13. Найдите высоту.Скачать

ЕГЭ. Математика. База . Задача 16. Диаметр основания конуса 10. Длина образующей 13. Найдите высоту.

Простой расчёт развёртки конусаСкачать

Простой расчёт развёртки конуса

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Конус Площадь конуса. Усеченный конусСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Конус  Площадь конуса. Усеченный конус

КОНУС егэ по геометрии профильный уровень егэ по математикеСкачать

КОНУС егэ по геометрии профильный уровень егэ по математике

Конус | Геометрия 7-9 класс #125 | ИнфоурокСкачать

Конус | Геометрия 7-9 класс #125 | Инфоурок

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)Скачать

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания... (ЕГЭ)

КонусСкачать

Конус
Поделиться или сохранить к себе: