Длина окружности эллипса формула

Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса

В астрономии, когда рассматривают движение космических тел по орбитам, часто применяют понятие «эллипс», поскольку их траектории характеризуются именно этой кривой. Рассмотрим в статье вопрос, что представляет собой отмеченная фигура, а также приведем формулу длины эллипса.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Что такое эллипс?

Согласно математическому определению, эллипс — это замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух других определенных точек, лежащих на главной оси, и носящих название фокусов, является постоянной величиной. Ниже приведен рисунок, который поясняет это определение.

Длина окружности эллипса формула Вам будет интересно: Возраст зрелости у ребенка. Признаки, психология, акселерация

Длина окружности эллипса формула

На рисунке сумма расстояний PF’ и PF равна 2 * a, то есть PF’ + PF = 2 * a, где F’ и F — фокусы эллипса, «a» — длина его большой полуоси. Отрезок BB’ называется малой полуосью, а расстояние CB = CB’ = b — длина малой полуоси. Здесь точка C определяет центр фигуры.

На рисунке выше также показан простой метод с веревкой и двумя гвоздиками, который широко используется для изображения эллиптических кривых. Другой способ получить эту фигуру заключается в выполнении сечения конуса под любым углом к его оси, который не равен 90o.

Длина окружности эллипса формула

Если эллипс вращать вдоль одной из его двух осей, то он образует объемную фигуру, которая зазывается сфероидом.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) — √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 — число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Длина окружности эллипса формула,

где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид Длина окружности эллипса формула, где Длина окружности эллипса формула, где Длина окружности эллипса формула– многочлен, состоящий из слагаемых вида Длина окружности эллипса формула( Длина окружности эллипса формула( Длина окружности эллипса формула– действительное число, Длина окружности эллипса формула– целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательныхстепенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости

Порядок линии равен максимальному значению Длина окружности эллипса формулавходящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах Длина окружности эллипса формула.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид Длина окружности эллипса формула, где Длина окружности эллипса формула, где Длина окружности эллипса формула– произвольные действительные числа ( Длина окружности эллипса формула принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Длина окружности эллипса формула принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Длина окружности эллипса формулане равны одновременно нулю.

Если Длина окружности эллипса формула, то уравнение упрощается до Длина окружности эллипса формула, то уравнение упрощается до Длина окружности эллипса формула, и если коэффициенты Длина окружности эллипса формулаодновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка.

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемыееё уравнения и у каждого из них найти сумму степенейвходящих переменных.

слагаемое Длина окружности эллипса формуласодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Длина окружности эллипса формуласодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Длина окружности эллипса формуласодержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом Длина окружности эллипса формулапеременные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.

Теперь разберёмся, почему уравнение Длина окружности эллипса формулазадаёт линию второго порядка:

слагаемое Длина окружности эллипса формуласодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Длина окружности эллипса формуласодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Длина окружности эллипса формуласумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое Длина окружности эллипса формуласодержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, Длина окружности эллипса формула, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Длина окружности эллипса формула, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Длина окружности эллипса формула, где коэффициенты Длина окружности эллипса формулане равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат Длина окружности эллипса формула, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению Длина окружности эллипса формулаи вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Длина окружности эллипса формулаи вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Длина окружности эллипса формула, уравнение которой легко привести к общему виду Длина окружности эллипса формула, и гипербола Длина окружности эллипса формула, и гипербола Длина окружности эллипса формулас эквивалентным уравнением Длина окружности эллипса формула. Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае Длина окружности эллипса формулане сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Определение эллипсa

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

Длина окружности эллипса формулаДлина окружности эллипса формула
Рис.1Рис.2

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Формула площади эллипса через каноническое уравнение

Формула для нахождения площади в этом случае такова:

a , b – большая и мала полуоси эллипса, соответственно.

Решим задачу этим способом.

Дано уравнение эллипса. Найти его площадь и округлить ответ до целого числа.

2 5 x 2 ​ + 9 y 2 ​ = 1

Решение

Для начала найдем длины наших полуосей:

a = a 2 ​ = 2 5 ​ = 5

S = π ⋅ a ⋅ b = π ⋅ 5 ⋅ 3 ≈ 4 7 (см. кв.)

Ответ: 47 см. кв.

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Соотношения между элементами эллипса

Длина окружности эллипса формула

  • Малая полуось: Длина окружности эллипса формула;
  • Расстояние от фокуса до ближней вершины : Длина окружности эллипса формула;
  • Расстояние от фокуса до дальней вершины : Длина окружности эллипса формула;
  • Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
    • Длина окружности эллипса формула;
    • Длина окружности эллипса формула;
    • Длина окружности эллипса формула;
    • Длина окружности эллипса формула;
  • Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
    • Длина окружности эллипса формула;
    • Длина окружности эллипса формула;

Видео:Как найти площадь эллипса, или почему современные дети не умеют думатьСкачать

Как найти площадь эллипса, или почему современные дети не умеют думать

Элементы эллипсa

А1А2 = 2 a – большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2 b – малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

O – центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a . Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

e =c
a

Радиус эллипсa R – отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =ab=b
√ a 2 sin 2 φ + b 2 cos 2 φ√ 1 – e 2 cos 2 φ

где e – эксцентриситет эллипсa, φ – угол между радиусом и большой осью A1A2.

p =b 2
a

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k – отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k =b
a

где e – эксцентриситет.

1 – k =a – b
a

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению Длина окружности эллипса формула «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Длина окружности эллипса формула «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Длина окружности эллипса формула и направляющий вектор Длина окружности эллипса формула.

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга

Связанные определения

  • Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние Длина окружности эллипса формуланазывается фокальным расстоянием.
  • Эксцентриситетом эллипса называется отношение Длина окружности эллипса формула. Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса изменяется. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Фокальным параметромДлина окружности эллипса формуланазывается половина длины хорды , проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Длина окружности эллипса формула. Величина, равная Длина окружности эллипса формуланазывается сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением Длина окружности эллипса формула

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Расчет площади

Длина окружности эллипса формула

  • Большая полуось эллипса является максимальным расстоянием от его центра до края. [1]

Длина окружности эллипса формула

  • Малая полуось эллипса расположена под прямым углом 90º к его большой полуоси, однако для нахождения площади нет необходимости определять углы.
  • Малая полуось эллипса является минимальным расстоянием от его центра до края.

Длина окружности эллипса формула

  • Например, если большая полуось эллипса равна 5 единицам, а малая 3 единицам длины, то получим площадь 5 x 3 x π, или около 47 квадратных единиц длины.
  • Если у вас нет под рукой калькулятора или на калькуляторе нет символа π, используйте вместо этого числа значение “3,14”.

Видео:Аналитическая геометрия: окружность и эллипсСкачать

Аналитическая геометрия: окружность и эллипс

Объяснение метода

Длина окружности эллипса формула

Длина окружности эллипса формула

Видео:§17 Определение эллипсаСкачать

§17 Определение эллипса

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Длина окружности эллипса формулаи Длина окружности эллипса формулаи Длина окружности эллипса формулана рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Длина окружности эллипса формула,

где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Длина окружности эллипса формула

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Длина окружности эллипса формула Длина окружности эллипса формула Длина окружности эллипса формулаперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Длина окружности эллипса формула. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Длина окружности эллипса формула, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Длина окружности эллипса формула

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Длина окружности эллипса формула.

Точки Длина окружности эллипса формулаи Длина окружности эллипса формулаи Длина окружности эллипса формула, обозначенные зелёным на большей оси, где

Длина окружности эллипса формула,

называются фокусами.

Длина окружности эллипса формула

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Длина окружности эллипса формула

Результат – каноническое уравнение эллипса:

Длина окружности эллипса формула.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Длина окружности эллипса формула.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Длина окружности эллипса формула.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Длина окружности эллипса формула

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Длина окружности эллипса формула

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Длина окружности эллипса формула.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Длина окружности эллипса формула.

Получаем фокусы эллипса:

Длина окружности эллипса формула

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( Длина окружности эллипса формулаи Длина окружности эллипса формулаи Длина окружности эллипса формула– положительные действительные числа)

1) Длина окружности эллипса формула– каноническое уравнение эллипса;

2) Длина окружности эллипса формула– каноническое уравнение гиперболы;

3) Длина окружности эллипса формула– каноническое уравнение параболы;

4) Длина окружности эллипса формуламнимый эллипс;

5) Длина окружности эллипса формула– пара пересекающихся прямых;

6) Длина окружности эллипса формула– пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) Длина окружности эллипса формула– пара параллельных прямых;

Длина окружности эллипса формула Длина окружности эллипса формула– пара мнимых параллельных прямых;

9) Длина окружности эллипса формула– пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение Длина окружности эллипса формулазадаёт пару прямых Длина окружности эллипса формулазадаёт пару прямых Длина окружности эллипса формула, параллельных оси Длина окружности эллипса формула, и возникает вопрос: а где же уравнение Длина окружности эллипса формула, и возникает вопрос: а где же уравнение Длина окружности эллипса формула, определяющее прямые Длина окружности эллипса формула, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Длина окружности эллипса формула, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Длина окружности эллипса формулапредставляют собой тот же самый стандартный случай Длина окружности эллипса формула, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Длина окружности эллипса формула, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Длина окружности эллипса формулав классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой , то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние = – фокусное расстояние.

Длина окружности эллипса формула

Длина окружности эллипса формула– половина расстояния между фокусами;

Длина окружности эллипса формула– большая полуось;

Длина окружности эллипса формула– малая полуось.

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка Длина окружности эллипса формуланаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка Длина окружности эллипса формуланаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Построить эллипс, заданный уравнением Длина окружности эллипса формула

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Длина окружности эллипса формула

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения Длина окружности эллипса формулазаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Длина окружности эллипса формулазаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Длина окружности эллипса формула. Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению Длина окружности эллипса формула.

В данном случае Длина окружности эллипса формула:
Длина окружности эллипса формула:
Длина окружности эллипса формула
Отрезок Длина окружности эллипса формуланазывают большой осью эллипса;
отрезок Длина окружности эллипса формуланазывают большой осью эллипса;
отрезок Длина окружности эллипса формуламалой осью;
число Длина окружности эллипса формуланазывают большой полуосью эллипса;
число Длина окружности эллипса формуланазывают большой полуосью эллипса;
число Длина окружности эллипса формуламалой полуосью.
в нашем примере: Длина окружности эллипса формула.

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями Длина окружности эллипса формула. Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса Длина окружности эллипса формулана черновике быстренько выражаем:
Длина окружности эллипса формулана черновике быстренько выражаем:
Длина окружности эллипса формула

Далее уравнение распадается на две функции:
Длина окружности эллипса формула– определяет верхнюю дугу эллипса;
Длина окружности эллипса формула– определяет верхнюю дугу эллипса;
Длина окружности эллипса формула– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция Длина окружности эллипса формула. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Длина окружности эллипса формула. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Длина окружности эллипса формула. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Длина окружности эллипса формула
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки Длина окружности эллипса формула(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Длина окружности эллипса формула(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Длина окружности эллипса формула
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Видео:Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромбСкачать

Как начертить овал. Эллипс вписанный в ромб

Свойства

  • Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X) .
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида .

Эллипс также можно описать как

  • фигуру, которую можно получить из окружности , применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость .
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Видео:Длина лемнискаты Бернулли и эллиптический интегралСкачать

Длина лемнискаты Бернулли и эллиптический интеграл

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) – √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 – число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Калькулятор периметра эллипса

Введите длину большой и малой полуосей эллипса, укажите точность расчета и нажмите «Посчитать». Калькулятор выполнит расчет периметра эллипса (расчет приблизительный).

Калькулятор

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости есть величина постоянная, больше расстояния между F1 и F2.

Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса, а расстояние между ними — фокусным расстоянием.

Проходящий через фокусы эллипса отрезок, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a.

Отрезок, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.

Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.

Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.

Формулу периметра эллипса нельзя выразить при помощи простейших функций.

Поделиться или сохранить к себе: