Длина и ширина прямоугольного треугольника

Видео:2 класс. Математика. Длина, ширина и высота параллелепипедаСкачать

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• для гипотенузы (с):
  • длины катетов a и b
  • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• для катета:
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
  • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула

Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

Видео:КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ОБЪЕМ, ДЛИНА И ШИРИНА? Пример 5 классСкачать

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Длина прямоугольника — формулы и правила вычисления

Видео:Длина, ширина и высотаСкачать

Общие сведения

Фигуру с четырьмя прямыми углами, то есть равными 90 градусов, называют прямоугольником. Он состоит из четырёх отрезков, каждый из которых соединяется с двумя другими. Впервые упоминание о прямоугольнике встречается в манускриптах Древнего Египта. Но подробные признаки фигуры в III веке до н. э. дал математик Евклид.

В евклидовой геометрии достаточным условием для прямоугольника является существование трёх прямых углов в замкнутой фигуре. Если этот признак выполняется, оставшийся будет прямой в силу правила о сумме углов в простейших многоугольниках: если она не равняется 360 градусам, тело не может называться прямоугольным.

Современное правило, позволяющее отнести фигуру к прямоугольному объекту — параллелограмм называется прямоугольником, когда его 4 угла прямые. Исходя из этого определения, сюда относятся:

Эти фигуры являются частным видом не только параллелограмма, но и прямоугольника. Для них действуют одинаковые правила и формулы. Единственно, для производных четырёхугольников существует ряд упрощений.

Углы многоугольника называют вершинами, а прямые линии, соединяющие их — гранями или сторонами. Для обозначения первых используют большие буквы латинского алфавита, чаще всего — А, B, C, D. Проставляют их по часовой стрелке начиная с нижнего левого угла. Соответственно, отрезки, соединяющие вершины, подписывают так: AB, BC, CD, AD.

Грани фигуры формируют ширину и длину. Эти названия условны для квадрата и ромба, так как их 4 стороны между собой равны.

В классической прямоугольной фигуре нижнюю грань принимают за ширину, а боковую считают длиной. Узнать их можно, просто измерив размеры или рассчитав по формулам.

В повседневности термины «длина» и «ширина» фактически обозначают пространственные оси координат, расположенные параллельно поверхности земли. За первую принимают более длинную сторону фигуры, вне зависимости от её пространственного расположения. Другими словами, это «размер по оси X» или «размер по оси Y», поэтому понятия о длине и ширине — довольно абстрактные.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Свойства и линии

Из-за того, что прямоугольник — это параллелограмм, все свойства последнего справедливы и к нему. В первую очередь для него характерно, что противоположные стороны являются параллельными, то есть лежат на непересекающихся прямых. Отсюда следует, что фигуры отличаются друг от друга только размерами двух граней.

К основным свойствам прямоугольника относят:

• противолежащие стороны имеют равную длину: AB = CD, BC = AD;
• все углы равны 90 градусов;
• отрезки, обозначающие ширину и длину, всегда перпендикулярные друг другу: AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB;
• сумма любых двух углов фигуры равняется 180 градусов, соответственно всех четырёх — 360;
• в четырёхугольном теле можно провести 2 диагонали, длины которых будут совпадать по величине: AB = BC;
• сумма квадратов диагональных отрезков равняется удвоенной сумме квадратов сторон фигуры: AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + BC 2 );
• построенная диагональ разделяет прямоугольник на 2 одинаковые фигуры — прямоугольные треугольники;
• точка пересечения прямых линий, соединяющая попарно противоположные углы, является центром фигуры и описанной окружности;
• диагонали в месте пересечения разделяются на 4 равных отрезка;
• в многоугольник, у которого длина не равна ширине, вписать окружность нельзя, поэтому её можно построить только для частных случаев прямоугольника.

На свойстве, что сложенные квадраты диагоналей можно найти как сумму квадратов всех его сторон, построено решение многих геометрических задач. Нелишним будет доказательство теоремы. Пусть имеется прямоугольник, у которого линии AC и BD — диагонали. Если изобразить многоугольник на рисунке и построить отрезки, можно увидеть, что каждая диагональ делит фигуру на 2 треугольника: ABC и BDC.

Используя теорему косинусов, можно записать: AC 2 = AB 2 + BC 2 — 2 * AB * BC * cos (ABC); BD 2 = CD 2 + BC 2 — 2 * CD * BC * cos (BCD). После сложения полученных выражений получится запись: AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 — 2 * AB * BC * cos (ABC) + CD 2 + BC 2 — 2 * CD * BC * cos (BCD).

Так как по свойству прямоугольной фигуры противоположные стороны равны, уравнение примет вид: AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2 — 2 * AB * BC * cos (ABC) — 2 * AB * BC * cos (BCD). Учитывая, что сумма двух углов равняется 180 0 , полученное выражение можно переписать так: AC 2 + BD 2 = 2 (AB 2 + BC 2 ). Что и следовало доказать.

Видео:Математика как найти ширину и длину прямаугольникаСкачать

Формулы нахождения длины

Существует несколько способов, позволяющих найти длину. Как лучше это сделать и какой алгоритм использовать, зависит от известных данных и личных предпочтений решающего. Как показывает практика, найти величину достаточно просто, если есть значение ширины и ещё одного из параметров многоугольника.

Найти длину (BC) прямоугольника можно следующим образом:

1. Зная площадь и ширину. Так как первая величина находится из произведения сторон S = AB * BC, длина будет равняться отношению размера замкнутой плоскости к ширине: BC = S/AB.
2. По известному периметру и примыкающей стороне. Периметр прямоугольника равен сумме всех его граней: P = AB + BC + CD + AD. Так как противолежащие стороны равны, равенство можно переписать так: P = 2AB + 2BC. Отсюда следует, что BC = (P — 2AB)/2.
3. Если известна диагональ и ширина. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, делит многоугольник на 2 прямоугольных треугольника, поэтому можно воспользоваться теоремой Пифагора: a = √ (‎ b 2 + c 2 ), где: a — гипотенуза (диагональ); b, с — катеты (ширина и длина). Отсюда: b = √ (c 2 — a 2 ) = ВС = √ CA 2 — AB 2 .
4. Используя формулу радиуса описанной окружности: R = √ (AB 2 — BC2)/2. Для квадрата или ромба формула выглядит проще: R = a / √2 = d / 2, где d — диаметр описанного круга.

При решении задач может случиться, что исходные данные не позволяют напрямую воспользоваться формулами для нахождения длины. В этом случае приходится использовать переходные выражения.

Диагональ прямоугольника можно вычислить через радиус описанной окружности d = 2 R или используя синус угла: d = a / sin (a), то есть найти из отношения прилегающей функции к ширине. Исходя из этого, можно вывести ещё одну формулу для поиска длины: BC = CA * cos (a).

Площадь фигуры можно найти не только как произведение сторон, но и зная размер диагонали с величиной синуса острого угла: S = d 2 * sin (b) / 2, где b — угол между диагоналями. Приведённых формул будет достаточно для нахождения длины прямоугольника. При этом следует отметить важное свойство фигуры — высота многоугольника является шириной. Это свойство необходимо знать, так как в примерах нередко даётся размер не стороны, а именно высоты.

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Решение примеров

Несмотря на то что формулы довольно простые, запомнить их простой зубрёжкой сложно. Чтобы материал закрепился, нужно научиться их применять на практике. Если понять принцип нахождения длины, многие из этих выражений можно будет вывести самостоятельно.

Вот некоторые задачи, рассчитанные на учащихся седьмых классов, рекомендуемые к самостоятельной проработке:

1. Определить длину прямоугольного многоугольника, у которого длина в 4 раза больше ширины. Периметр тела равен 20 см. Для решения задачи нужно принять сторону фигуры за х. Тогда длина будет составлять 4х. Согласно формуле, периметр равен: P = 2AB + 2 BC = 2* x + 2 * 4x. После подстановки значения P и выражения неизвестного, должно получиться следующее равенство: x = 20 / 10 = 2. Отсюда следует, что искомая длина равняется: BC = 4 * x = 4 * 2 = 8 см. Задача решена.
2. Длина прямоугольной фигуры больше её ширины на 2. Если ширина увеличится на 3 см, а длина на 8, площадь фигуры возрастёт в 3 раза. Найти длину. Чтобы решить задачу, нужно рассуждать следующим образом: пусть x ширина для первого состояния фигуры. Значит, длина этой фигуры будет x + 2. Соответственно, площадь равна: S = x * (x + 2). После трансформации ширина изменилась до значения x + 3, а длина — х + 2 + 8 = х + 10. Площадь новой фигуры равна: S = (х + 3) * (х + 10). После раскрытия скобок получится уравнение: 2 * х 2 — 7* х — 30 = 0. После его решения должно получиться, что x = 6 см. Отсюда длина будет равняться: 6 + 2 = 8 см.
3. Определить длину и ширину прямоугольника ABCD, в который вписаны 3 круга, если радиус каждой описанной окружности равен 5 см. Для решения примера нужно вспомнить, что ширина многоугольника равна двум радиусам круга или его диаметру. Значит, AB = 2 * 5 = 10 см. Соответственно, длина будет составлять 3 диаметра или 6 радиусов: BC = 6 * 5 = 30 см. Ответ найден.

В процессе изучения материала совсем не зазорно пользоваться так называемыми онлайн-калькуляторами. Это сайты, предлагающие своим пользователям рассчитать различные математические величины по исходным данным. Их интересность не только в том, что можно получить готовый ответ, но и в появлении возможности просмотреть подробное решение. Это как раз и позволит устранить пробелы в знании на стадии обучения.

🔍 Видео

Математика 5 Объем Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

Урок. Как найти ширину прямоугольника, по его площади и длине. Математика 2 класс. #учусьсамСкачать

Длина / Ширина / Высота / Глубина / ТолщинаСкачать

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда (для 3В)Скачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Определение длины гипотенузыСкачать

Нахождение натуральной величины отрезка методом прямоугольного треугольникаСкачать