Диаметр окружности описанной около треугольника

Теорема синусов

Диаметр окружности описанной около треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Содержание
  1. Доказательство теоремы синусов
  2. Доказательство следствия из теоремы синусов
  3. Теорема о вписанном в окружность угле
  4. Примеры решения задач
  5. Запоминаем
  6. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  7. Описанная и вписанная окружности треугольника
  8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  9. Вписанные и описанные четырехугольники
  10. Окружность, вписанная в треугольник
  11. Описанная трапеция
  12. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  13. Обобщенная теорема Пифагора
  14. Формула Эйлера для окружностей
  15. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  16. Планиметрия. Страница 3
  17. 1.Окружность
  18. 2.Окружность, описанная около треугольника
  19. 3.Окружность, вписанная в треугольник
  20. 4.Геометрическое место точек
  21. Репетитор: Васильев Алексей Александрович
  22. Пример 1
  23. Пример 2
  24. Пример 3
  25. Пример 4
  26. Пример 5
  27. 🌟 Видео

Видео:Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из егоСкачать

Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Диаметр окружности описанной около треугольника

Формула теоремы синусов:

Диаметр окружности описанной около треугольника

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Диаметр окружности описанной около треугольника

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Диаметр окружности описанной около треугольника

Диаметр окружности описанной около треугольника
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Диаметр окружности описанной около треугольника

  • Диаметр окружности описанной около треугольника
    bc sinα = ca sinβ
    Диаметр окружности описанной около треугольника
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

    Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

    Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Нахождение диаметра описанной окружностиСкачать

    Нахождение диаметра описанной окружности

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Диаметр окружности описанной около треугольника
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

    Содержание:

    Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

    1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

    2. Диаметр окружности описанной около треугольникагде Диаметр окружности описанной около треугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

    3. Диаметр окружности описанной около треугольникагде R — радиус описанной окружности Диаметр окружности описанной около треугольника
    Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Найдем радиус Диаметр окружности описанной около треугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Диаметр окружности описанной около треугольникаПо свойству касательной Диаметр окружности описанной около треугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Диаметр окружности описанной около треугольника(по острому углу) следуетДиаметр окружности описанной около треугольникаТак как Диаметр окружности описанной около треугольникато Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пример:

    Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Диаметр окружности описанной около треугольника

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Описанная и вписанная окружности треугольника

    Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Диаметр окружности описанной около треугольникаописанная около треугольни ка АВС.

    Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

    Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

    Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
    Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

    Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

    Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Диаметр окружности описанной около треугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
    Так как Диаметр окружности описанной около треугольникаи по свойству касательной к окружности Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

    Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

    Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
    В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

    Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

    Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

    Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Диаметр окружности описанной около треугольникагде Диаметр окружности описанной около треугольника— полупериметр треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пусть дан треугольник АВС со сторонами Диаметр окружности описанной около треугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Диаметр окружности описанной около треугольникаРадиусы Диаметр окружности описанной около треугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Следствие:

    Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

    Пример:

    Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
    (рис. 95).

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Диаметр окружности описанной около треугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Диаметр окружности описанной около треугольника
    Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольника
    Способ 2 (тригонометрический метод). Из Диаметр окружности описанной около треугольника(см. рис. 95) Диаметр окружности описанной около треугольникаиз Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Диаметр окружности описанной около треугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольника
    Ответ: Диаметр окружности описанной около треугольникасм.
    Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

    Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
    Обратное утверждение докажите самостоятельно.

    Полезно запомнить!
    Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Диаметр окружности описанной около треугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Диаметр окружности описанной около треугольникато получится пропорция Диаметр окружности описанной около треугольника.
    Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пример:

    Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Диаметр окружности описанной около треугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Диаметр окружности описанной около треугольникапо теореме Пифагора Диаметр окружности описанной около треугольника(см), откуда Диаметр окружности описанной около треугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Диаметр окружности описанной около треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Диаметр окружности описанной около треугольника— общий) следует:Диаметр окружности описанной около треугольника. Тогда Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольника(см).
    Способ 2 (тригонометрический метод). Из Диаметр окружности описанной около треугольника(см. рис. 97) Диаметр окружности описанной около треугольника, из Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

    Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Диаметр окружности описанной около треугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Диаметр окружности описанной около треугольника‘ откуда Диаметр окружности описанной около треугольника= 3 (см).

    Способ 4 (формула Диаметр окружности описанной около треугольника). Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольникаИз формулы площади треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаследует: Диаметр окружности описанной около треугольника
    Ответ: 3 см.

    Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

    Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

    Обратное утверждение докажите самостоятельно.

    Пример:

    Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Диаметр окружности описанной около треугольникаего вписанной окружности.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

    Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Диаметр окружности описанной около треугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Диаметр окружности описанной около треугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Диаметр окружности описанной около треугольникаИз Диаметр окружности описанной около треугольника, откуда Диаметр окружности описанной около треугольника.
    В Диаметр окружности описанной около треугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника

    Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Диаметр окружности описанной около треугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Диаметр окружности описанной около треугольника. Откуда

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Ответ: Диаметр окружности описанной около треугольника

    Полезно запомнить!

    Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникато Диаметр окружности описанной около треугольникаЗначит, сторона равностороннего
    треугольника в Диаметр окружности описанной около треугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
    Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Диаметр окружности описанной около треугольникаразделить на Диаметр окружности описанной около треугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Диаметр окружности описанной около треугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Диаметр окружности описанной около треугольника

    Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

    Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Диаметр окружности описанной около треугольникагде с — гипотенуза.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
    Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Диаметр окружности описанной около треугольникагде с — гипотенуза.
    Теорема доказана.

    Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

    Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Диаметр окружности описанной около треугольника, где Диаметр окружности описанной около треугольника— искомый радиус, Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника— катеты, Диаметр окружности описанной около треугольника— гипотенуза треугольника.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Диаметр окружности описанной около треугольникаи гипотенузой Диаметр окружности описанной около треугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Диаметр окружности описанной около треугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
    Проведем радиусы в точки касания и получим: Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Диаметр окружности описанной около треугольника. Тогда Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Диаметр окружности описанной около треугольникаНо Диаметр окружности описанной около треугольника, т. е. Диаметр окружности описанной около треугольника, откуда Диаметр окружности описанной около треугольника

    Следствие: Диаметр окружности описанной около треугольника где р — полупериметр треугольника.

    Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Формула Диаметр окружности описанной около треугольникав сочетании с формулами Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

    Пример. Дан прямоугольный треугольник, Диаметр окружности описанной около треугольникаНайти Диаметр окружности описанной около треугольника.

    Решение:

    Так как Диаметр окружности описанной около треугольникато Диаметр окружности описанной около треугольника
    Из формулы Диаметр окружности описанной около треугольникаследует Диаметр окружности описанной около треугольника. По теореме Виета (обратной) Диаметр окружности описанной около треугольника— посторонний корень.
    Ответ: Диаметр окружности описанной около треугольника= 2.

    Пример:

    Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Диаметр окружности описанной около треугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Диаметр окружности описанной около треугольника— квадрат, то Диаметр окружности описанной около треугольника
    По свойству касательных Диаметр окружности описанной около треугольника
    Тогда Диаметр окружности описанной около треугольникаПо теореме Пифагора

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Следовательно, Диаметр окружности описанной около треугольника
    Радиус описанной окружности Диаметр окружности описанной около треугольника
    Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Диаметр окружности описанной около треугольниказначения Диаметр окружности описанной около треугольникаполучим Диаметр окружности описанной около треугольникаПо теореме Пифагора Диаметр окружности описанной около треугольника, т. е. Диаметр окружности описанной около треугольникаТогда Диаметр окружности описанной около треугольника
    Ответ: 5.

    Пример:

    Гипотенуза прямоугольного треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникарадиус вписанной в него окружности Диаметр окружности описанной около треугольникаНайти площадь треугольника.

    Решение:

    Способ 1 (геометрический). Пусть в Диаметр окружности описанной около треугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Диаметр окружности описанной около треугольникавписанной окружности, Диаметр окружности описанной около треугольника— высота Диаметр окружности описанной около треугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
    Отсюда Диаметр окружности описанной около треугольникапо катету и гипотенузе.
    Площадь Диаметр окружности описанной около треугольникаравна сумме удвоенной площади Диаметр окружности описанной около треугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Способ 2 (алгебраический). Из формулы Диаметр окружности описанной около треугольникаследует Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольникаВозведем части равенства в квадрат: Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаТак как Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольника

    Способ 3 (алгебраический). Из формулы Диаметр окружности описанной около треугольникаследует, что Диаметр окружности описанной около треугольникаИз формулы Диаметр окружности описанной около треугольникаследует, что Диаметр окружности описанной около треугольника
    Ответ: 40.

    Реальная геометрия:

    Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Видео:№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

    №694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

    Вписанные и описанные четырехугольники

    Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

    Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
    Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
    Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

    Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
    Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Диаметр окружности описанной около треугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольникаАналогично доказывается, что Диаметр окружности описанной около треугольника180°. Теорема доказана.

    Теорема (признак вписанного четырехугольника).
    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Диаметр окружности описанной около треугольникато около него можно описать окружность.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Диаметр окружности описанной около треугольникаили внутри нее в положении Диаметр окружности описанной около треугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
    Тогда сумма Диаметр окружности описанной около треугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

    Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

    Следствия.

    1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

    2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

    3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Докажите эти следствия самостоятельно.

    Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
    Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    откуда AD + ВС = AB + CD.
    Теорема доказана.

    Следствие:

    Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Теорема (признак описанного четырехугольника).
    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

    Диаметр окружности описанной около треугольника(1)
    Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Диаметр окружности описанной около треугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника(2)

    Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникачто противоречит неравенству треугольника.
    Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

    Следствия.

    1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

    2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

    3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
    Докажите эти следствия самостоятельно.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Для описанного многоугольника справедлива формула Диаметр окружности описанной около треугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Диаметр окружности описанной около треугольника— радиус вписанной окружности.

    Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пример:

    Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Диаметр окружности описанной около треугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Диаметр окружности описанной около треугольника(см).
    Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольникаИскомый радиус вписанной окружности Диаметр окружности описанной около треугольника(см).
    Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Диаметр окружности описанной около треугольниканайдем площадь данного ромба: Диаметр окружности описанной около треугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаПоскольку Диаметр окружности описанной около треугольника(см), то Диаметр окружности описанной около треугольникаОтсюда Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольника(см).

    Ответ: Диаметр окружности описанной около треугольникасм.

    Пример:

    Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Диаметр окружности описанной около треугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Диаметр окружности описанной около треугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Диаметр окружности описанной около треугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Диаметр окружности описанной около треугольникаТогда Диаметр окружности описанной около треугольникаПо свойству описанного четырехугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаОтсюда Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольникаТак как Диаметр окружности описанной около треугольникакак внутренние односторонние углы при Диаметр окружности описанной около треугольникаи секущей CD, то Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 131). Тогда Диаметр окружности описанной около треугольника— прямоугольный, радиус Диаметр окружности описанной около треугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Диаметр окружности описанной около треугольникаили Диаметр окружности описанной около треугольникаВысота Диаметр окружности описанной около треугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Диаметр окружности описанной около треугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Диаметр окружности описанной около треугольникато Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольника
    Ответ: 18.
    Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

    Пример:

    Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Диаметр окружности описанной около треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Диаметр окружности описанной около треугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Диаметр окружности описанной около треугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольника

    Окружность, вписанная в треугольник

    Пример:

    Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
    Тогда, если Диаметр окружности описанной около треугольникато Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольникат. е. Диаметр окружности описанной около треугольника. После преобразований получим: Диаметр окружности описанной около треугольникаАналогично: Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольника
    Ответ: Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Замечание. Если Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 141), то Диаметр окружности описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Диаметр окружности описанной около треугольника— частный случай результата задачи 1.

    Описанная трапеция

    Пример:

    Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    Площадь трапеции можно найти по формуле Диаметр окружности описанной около треугольникаПусть в трапеции ABCD основания Диаметр окружности описанной около треугольника— боковые стороны, Диаметр окружности описанной около треугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Диаметр окружности описанной около треугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Диаметр окружности описанной около треугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольникаОтсюда Диаметр окружности описанной около треугольникаОтвет: Диаметр окружности описанной около треугольника
    Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

    Полезно запомнить!

    Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Диаметр окружности описанной около треугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Диаметр окружности описанной около треугольникаи радиусом Диаметр окружности описанной около треугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

    Теорема.
    Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
    Рис. 143
    Диаметр окружности описанной около треугольника

    1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Диаметр окружности описанной около треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

    2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Диаметр окружности описанной около треугольникато около него можно описать окружность.
    Опишем около треугольника ABD окружность.
    В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

    «Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Диаметр окружности описанной около треугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

    Обобщенная теорема Пифагора

    В прямоугольном треугольнике Диаметр окружности описанной около треугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Диаметр окружности описанной около треугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Диаметр окружности описанной около треугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Диаметр окружности описанной около треугольника— соответствующие линейные элемен­ты Диаметр окружности описанной около треугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Действительно, из подобия указанных треугольников Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пример:

    Пусть Диаметр окружности описанной около треугольника(см. рис. 148). Найдем Диаметр окружности описанной около треугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Диаметр окружности описанной около треугольникаотсюда Диаметр окружности описанной около треугольника
    Ответ: Диаметр окружности описанной около треугольника= 39.

    Формула Эйлера для окружностей

    Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Диаметр окружности описанной около треугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

    Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Диаметр окружности описанной около треугольника, и Диаметр окружности описанной около треугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаДиаметр окружности описанной около треугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Диаметр окружности описанной около треугольникагде b — боковая сторона, Диаметр окружности описанной около треугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Диаметр окружности описанной около треугольникаРадиус вписанной окружности Диаметр окружности описанной около треугольникаТак как Диаметр окружности описанной около треугольникато Диаметр окружности описанной около треугольникаИскомое расстояние Диаметр окружности описанной около треугольника
    А теперь найдем d по формуле Эйлера: Диаметр окружности описанной около треугольника

    Диаметр окружности описанной около треугольникаоткуда Диаметр окружности описанной около треугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

    Запомнить:

    1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
    2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
    3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Диаметр окружности описанной около треугольника
    4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Диаметр окружности описанной около треугольника
    5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
    6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
    7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Диаметр окружности описанной около треугольникагде Диаметр окружности описанной около треугольника— полупериметр, Диаметр окружности описанной около треугольника— радиус вписанной окружности.

    Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

    Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Диаметр окружности описанной около треугольника— центр окружности, описанной около треугольника Диаметр окружности описанной около треугольника, поэтому Диаметр окружности описанной около треугольника.

    Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

    Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникасуществует точка Диаметр окружности описанной около треугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Диаметр окружности описанной около треугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника— ее радиусами.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Диаметр окружности описанной около треугольника. Проведем серединные перпендикуляры Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольникасторон Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольникасоответственно. Пусть точка Диаметр окружности описанной около треугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Диаметр окружности описанной около треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Диаметр окружности описанной около треугольника, то Диаметр окружности описанной около треугольника. Так как точка Диаметр окружности описанной около треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Диаметр окружности описанной около треугольника, то Диаметр окружности описанной около треугольника. Значит, Диаметр окружности описанной около треугольникаДиаметр окружности описанной около треугольника, т. е. точка Диаметр окружности описанной около треугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

    Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

    Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

    Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

    Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

    Точка Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Диаметр окружности описанной около треугольника, отрезки Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Диаметр окружности описанной около треугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

    Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

    Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Диаметр окружности описанной около треугольникасуществует точка Диаметр окружности описанной около треугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Диаметр окружности описанной около треугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Диаметр окружности описанной около треугольника.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Диаметр окружности описанной около треугольника. Проведем биссектрисы углов Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника— точка их пересечения. Так как точка Диаметр окружности описанной около треугольникапринадлежит биссектрисе угла Диаметр окружности описанной около треугольника, то она равноудалена от сторон Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Диаметр окружности описанной около треугольникапринадлежит биссектрисе угла Диаметр окружности описанной около треугольника, то она равноудалена от сторон Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника. Следовательно, точка Диаметр окружности описанной около треугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

    Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

    Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

    Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

    Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Диаметр окружности описанной около треугольника, где Диаметр окружности описанной около треугольника— радиус вписанной окружности, Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника— катеты, Диаметр окружности описанной около треугольника— гипотенуза.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Решение:

    В треугольнике Диаметр окружности описанной около треугольника(рис. 302) Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольника, точка Диаметр окружности описанной около треугольника— центр вписанной окружности, Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Диаметр окружности описанной около треугольника, Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольникасоответственно.

    Отрезок Диаметр окружности описанной около треугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Диаметр окружности описанной около треугольника.

    Так как точка Диаметр окружности описанной около треугольника— центр вписанной окружности, то Диаметр окружности описанной около треугольника— биссектриса угла Диаметр окружности описанной около треугольникаи Диаметр окружности описанной около треугольника. Тогда Диаметр окружности описанной около треугольника— равнобедренный прямоугольный, Диаметр окружности описанной около треугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рекомендую подробно изучить предметы:
    • Геометрия
    • Аналитическая геометрия
    • Начертательная геометрия
    Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
    • Плоские и пространственные фигуры
    • Взаимное расположение точек и прямых
    • Сравнение и измерение отрезков и углов
    • Первый признак равенства треугольников
    • Треугольники и окружность
    • Площадь треугольника
    • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
    • Окружность и круг

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Планиметрия. Страница 3

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Диаметр окружности описанной около треугольника

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    1.Окружность

    Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек на плоскости, равноудаленных от данной точки.

    Эта данная точка называется центром окружности. Расстояние от центра окружности до ее точек называется радиусом окружности.

    Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

    Если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. (Рис.1)

    ОА — радиус
    ВС — диаметр
    DE — хорда

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.1 Окружность, радиус, диаметр, хорда.

    Видео:ЕГЭ 6 номер. Нахождение диаметра описанной окружности около равнобедренного треугольникаСкачать

    ЕГЭ 6 номер. Нахождение диаметра описанной окружности около равнобедренного треугольника

    2.Окружность, описанная около треугольника

    Теорема: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных на середины сторон данного треугольника.

    Доказательство. Пусть АВС данный треугольник и точка О является центром окружности, описанной около данного треугольника. (Рис.2) Тогда отрезки ОА, ОВ, ОС равны как радиусы. Следовательно, треугольники Δ АОВ, Δ ВОС, Δ АОС — равнобедренные. А следовательно, и медианы, проведенные к серединам сторон ОК, ОЕ, ОD, являются одновременно биссектрисой и высотой. Поэтому предположение, что центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения высот, верно.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.2 Теорема. Окружность, описанная около треугольника.

    Видео:Радиус и диаметрСкачать

    Радиус и диаметр

    3.Окружность, вписанная в треугольник

    Теорема. центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

    Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Точка О — центр вписанной окружности. (Рис. 3)

    Тогда треугольник Δ АОЕ равен треугольнику Δ АОТ,
    Δ СОЕ = Δ СОК,
    Δ ВОК = Δ ВОТ.
    Так как стороны ОА, ОВ, ОС у них общие. А ОК, ОЕ, ОТ как радиусы.
    Следовательно:
    ∠ ЕАО = ∠ ТАО,
    ∠ ЕСО = ∠ КСО,
    ∠ КВО = ∠ ТВО.

    Это значит, что точка О лежит на пересечении биссектрис АО, ВО, СО.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.3 Теорема. Окружность, вписанная в треугольник.

    Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

    Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

    4.Геометрическое место точек

    Геометрическое место точек это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, подчиняющихся определенному закону или обладающих определенным свойством.

    Теорема. Геометрическим местом точек называется прямая, все точки которой равноудалены от двух данных точек, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину.

    Доказательство. Пусть дан отрезок АС. Прямая А проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему.(Рис. 4).

    Тогда треугольники Δ АМВ и Δ СМВ равны. Так как сторона ВМ у них обшая, а стороны АМ и МС равны по условию. Следовательно точка В равноудалена от точек А и С.
    Возьмем другую точку, например D, не лежащую на прямой а. Тогда сторона MD не принадлежит прямой а. А следовательно, углы AMD и DMC не равны т.к. не равны треугольники. Данное утверждение основано на том, что через точку, лежащую на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. И следовательно, расстояния от точки D до точек А и С не равны. Поэтому, для того чтобы расстояния от некой точки Х до двух данных точек были равны, необходимо чтобы она лежала на прямой а, которая перпендикулярна отрезку, соединяющего эти точки, и которая проходит через его середину.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.4 Теорема. Геометрическое место точек.

    Репетитор: Васильев Алексей Александрович

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

    Диаметр окружности описанной около треугольника2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

    Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Пример 1

    Дана окружность с центром О. И проведена касательная а из точки С к этой окружности. Доказать, что точка К лежит на основании равнобедренного треугольника ОВС, если OB = 2R. (рис.5)

    По условию прямая а есть касательная к окружности, следовательно радиус, проведенный к точке касания ОК, и который лежит на прямой с, составляет прямой угол с касательной. Так как ОВ = 2R и KB = R, то прямая а будет представлять собой геометрическое место точек, так как она перпендикулярна отрезку ОВ и проходит через его середину. А следовательно, треугольники ВКС и ОКС равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда можно сделать вывод, что точка К будет лежать на основании равнобедренного треугольника ВОС.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.5 Задача. Дана окружность с центром О.

    Пример 2

    Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания. (Рис.6)

    Доказательство:

    Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, которая касается окружности в точке А. Допустим, что прямая а имеет еще одну точку касаная — точку В. Тогда радиус окружности, проведенный к точкам А и В образует угол с прямой а равный 90°.

    Таким образом, в равнобедренном треугольнике АОВ углы при вершинах А и В равны 90°. А это невозможно. Следовательно, мы пришли к противоречию и прямая а не может касаться окружности в двух точках.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.6 Задача. Касательная к окружности.

    Пример 3

    Точки А,В,С лежат на одной прямой, а точка О лежит вне этой прямой. Докажите, что треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС. (Рис.7)

    Доказательство:

    Допустим, что треугольники АОВ и ВОС равнобедренные с основаниями АВ и ВС. Тогда Стороны АО, ВО и СО равны. Отсюда следует, что углы ОАВ, АВО, ОВС и ОСВ равны. И ∠АВО = ∠ОВС = 90°, так как эти углы являются смежными, а их сумма равна 180°.

    Таким образом, в равнобедренных треугольниках АОВ и ВОС углы при вершинах А и С равны 90°. А это невозможно, потому, что тогда стороны АО, ВО и СО были бы параллельны, так как они перпендикулярны одной прямой АС. Следовательно, мы пришли к противоречию, и треугольники АОВ и ВОС не могут быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.7 Задача. Даны три точки на прямой.

    Пример 4

    Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1 (Рис.8)

    Доказательство:

    Так как окружности пересекаются в точках А и В, то эти две точки принадлежат обеим окружностям. Следовательно, отрезок ОА = ОВ, как радиусы окружности с центром в точке О. А отрезок О1А = О1В, как радиусы окружности с центром в точке О1.

    Таким образом, треугольники ОАО1 и ОВО1 равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). А следовательно отрезки АС и ВС равны. И прямая ОО1 является геометрическим местом точек для двух данных точек А и В. Т.е. любая точка прямой ОО1 равноудалена от двух данных точек А и В. Следовательно, треугольники ОАС и ОВС равны, также как и треугольники АСО1 и ВСО1 по трем сторонам. А отсюда следует равенство углов при вершине С. Т.е. ∠ОСА = ∠ОСВ = ∠АСО1 = ∠ВСО1 = 90°.

    Следовательно, можно сделать вывод, что прямая АВ перпендикулярна прямой ОО1.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.8 Задача. Окружности с центрами О и О1.

    Пример 5

    Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояние от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка О является серединой отрезка ВС (Рис.9)

    Доказательство:

    По условию задачи, расстояния от точек В и С до прямой а равны. Т.е. РС = BQ. Так как расстояние от точки до прямой представляет собой перпендикуляр, то два треугольника РОС и ВОQ, образованные двумя пересекающимися прямыми ВС и а, и перпендикулярами, опущенными на одну из них, равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и двум прилегающим к ней углам: РС = BQ, углы при вершинах В и С равны как внутренние накрест лежащие, а углы при вершинах Р и Q прямые).

    Из равенства треугольников РОС и ВОQ следует, что ВО = ОС.

    Диаметр окружности описанной около треугольника

    Рис.9 Задача. Отрезок ВС пересекает прямую а .

    🌟 Видео

    Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать

    Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него

    Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

    Задание 24 ОГЭ по математике #7

    №707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторонаСкачать

    №707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона

    ОГЭ Задание 16 Описанная окружность ДиаметрСкачать

    ОГЭ Задание 16 Описанная окружность Диаметр

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

    ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

    ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

    №702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углыСкачать

    №702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы
    Поделиться или сохранить к себе: