Диагонали трапеции подобие треугольников

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Подобные треугольники в трапеции

Рассмотрим базовые задачи на подобные треугольники в трапеции.

I. Точка пересечения диагоналей трапеции — вершина подобных треугольников.

Диагонали трапеции подобие треугольников

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

Диагонали трапеции подобие треугольников

Визуализация облегчает решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.

1) ∠AOD= ∠ COB (как вертикальные);

2) ∠DAO= ∠ BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Диагонали трапеции подобие треугольников

Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.

AO=9 см, CO=5 см, BD=28 см. BO =?, DO- ?

Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда

Диагонали трапеции подобие треугольников

Выбираем нужные отношения:

Диагонали трапеции подобие треугольников

Пусть BO=x см, тогда DO=28-x см. Следовательно,

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

BO=10 см, DO=28-10=18 см.

Ответ: 10 см, 18 см.

Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD ∥ BC). Найти длину отрезка BO, если AO:OC=7:6 и BD=39 см.

Аналогичн0, доказываем подобие треугольников AOD и COB и

Диагонали трапеции подобие треугольников

Пусть BO=x см, тогда DO=39-x см. Таким образом,

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

II. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке.

Диагонали трапеции подобие треугольников

Аналогично задаче I, рассмотрим треугольники AFD и BFC:

2) ∠ DAF= ∠ CBF (как соответственные углы при BC ∥ AD и секущей AF).

Следовательно, треугольники AFD и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Диагонали трапеции подобие треугольников

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Меньшее основание BC равно 4 см, BF=5 см, AB=15 см. Найти большее основание трапеции.

Доказываем, треугольники AFD и BFC — подобны.

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

Диагонали трапеции подобие треугольников

В следующий раз рассмотрим задачи на отношение площадей подобных треугольников.

Видео:Задача 15 ОГЭ: подобные треугольники в трапецииСкачать

Задача 15 ОГЭ: подобные треугольники в трапеции

Основания BC и AD трапеции

Рассмотрим еще одну задачу на подобие треугольников.

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD=18. Доказать, что треугольники CBD и BDA подобны.

Диагонали трапеции подобие треугольниковДано : ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

Диагонали трапеции подобие треугольниковРассмотрим треугольники и BDA.

1) ∠CBD=∠BDA (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BD)

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой Репетитор

Диагонали трапеции

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Свойства диагоналей трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Диагонали трапеции подобие треугольников

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Диагонали трапеции подобие треугольников

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Диагонали трапеции подобие треугольников

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Диагонали трапеции подобие треугольников

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Диагонали трапеции подобие треугольников

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Диагонали трапеции подобие треугольников

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Видео:Подобие треугольников. Трапеция.Скачать

Подобие треугольников.  Трапеция.

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Диагонали трапеции подобие треугольников

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Диагонали трапеции подобие треугольников

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Диагонали трапеции подобие треугольников

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.

Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
Диагонали трапеции подобие треугольников

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b ( не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
Диагонали трапеции подобие треугольников, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ: площадь трапеции равна 80 см 2 .

📺 Видео

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Задание 25 Первый признак подобия треугольников в равнобокой трапецииСкачать

Задание 25  Первый признак подобия треугольников в равнобокой трапеции

Задание 25 Подобные треугольники в трапеции. Второй признак подобияСкачать

Задание 25  Подобные треугольники в трапеции. Второй признак подобия

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 класс

Вариант 5, № 7. Трапеция. Подобие треугольниковСкачать

Вариант 5, № 7. Трапеция. Подобие треугольников

Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать

Диагонали трапеции и точка их пересечения

Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

ОГЭ Задание 24 Подобные треугольники в трапецииСкачать

ОГЭ Задание 24 Подобные треугольники в трапеции

Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобиеСкачать

Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобие

Задание 24 Первый признак подобия треугольниковСкачать

Задание 24 Первый признак подобия треугольников

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?Скачать

Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?

Задание 25 Подобные треугольники, пропорцииСкачать

Задание 25  Подобные треугольники, пропорции

Трапеция. Отношение площадей треугольников. Свойства диагоналей трапецииСкачать

Трапеция. Отношение площадей треугольников. Свойства диагоналей трапеции
Поделиться или сохранить к себе: