Знание — сила. Познавательная информация
- Подобные треугольники в трапеции
- Основания BC и AD трапеции
- Диагонали трапеции
- Свойства диагоналей трапеции
- Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
- Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
- Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
- Свойства трапеции, достроенной до треугольника
- Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
- Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
- Формулы для нахождения диагоналей трапеции
- Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании
- Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту
- 📺 Видео
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Подобные треугольники в трапеции
Рассмотрим базовые задачи на подобные треугольники в трапеции.
I. Точка пересечения диагоналей трапеции — вершина подобных треугольников.
Рассмотрим треугольники AOD и COB.
Визуализация облегчает решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.
1) ∠AOD= ∠ COB (как вертикальные);
2) ∠DAO= ∠ BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).
Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.
AO=9 см, CO=5 см, BD=28 см. BO =?, DO- ?
Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда
Выбираем нужные отношения:
Пусть BO=x см, тогда DO=28-x см. Следовательно,
BO=10 см, DO=28-10=18 см.
Ответ: 10 см, 18 см.
Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD ∥ BC). Найти длину отрезка BO, если AO:OC=7:6 и BD=39 см.
Аналогичн0, доказываем подобие треугольников AOD и COB и
Пусть BO=x см, тогда DO=39-x см. Таким образом,
II. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке.
Аналогично задаче I, рассмотрим треугольники AFD и BFC:
2) ∠ DAF= ∠ CBF (как соответственные углы при BC ∥ AD и секущей AF).
Следовательно, треугольники AFD и BFC подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Меньшее основание BC равно 4 см, BF=5 см, AB=15 см. Найти большее основание трапеции.
Доказываем, треугольники AFD и BFC — подобны.
В следующий раз рассмотрим задачи на отношение площадей подобных треугольников.
Видео:Задача 15 ОГЭ: подобные треугольники в трапецииСкачать
Основания BC и AD трапеции
Рассмотрим еще одну задачу на подобие треугольников.
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD=18. Доказать, что треугольники CBD и BDA подобны.
Дано : ABCD — трапеция, AD ∥ BC,
Рассмотрим треугольники и BDA.
1) ∠CBD=∠BDA (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BD)
Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать
Диагонали трапеции
Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать
Свойства диагоналей трапеции
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
- Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
- Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
Свойства трапеции, достроенной до треугольника
- Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
- Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
- Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
- Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)
Видео:Подобие треугольников. Трапеция.Скачать
Формулы для нахождения диагоналей трапеции
Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании
Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту
Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.
Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.
Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть
AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b ( не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.
Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b
Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора
h 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2
Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2
Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2
Ответ: площадь трапеции равна 80 см 2 .
📺 Видео
Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать
Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать
Задание 25 Первый признак подобия треугольников в равнобокой трапецииСкачать
Задание 25 Подобные треугольники в трапеции. Второй признак подобияСкачать
Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать
Вариант 5, № 7. Трапеция. Подобие треугольниковСкачать
Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать
Подобные треугольникиСкачать
ОГЭ Задание 24 Подобные треугольники в трапецииСкачать
Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобиеСкачать
Задание 24 Первый признак подобия треугольниковСкачать
8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать
Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?Скачать
Задание 25 Подобные треугольники, пропорцииСкачать
Трапеция. Отношение площадей треугольников. Свойства диагоналей трапецииСкачать