Задача.
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.
Дано : ABCD — трапеция, AD∥BC, AB=CD,
треугольники ABC и ADC — равнобедренные.
Найти : углы трапеции.
I.
1) Если AB=BC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.
Если AC=AD, то треугольник ADC — равнобедренный с основанием CD.
2)∠DAC=∠BCA (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC).
3) Пусть ∠BAC=xº, тогда ∠BCA=xº, ∠DAC=xº.
Следовательно, ∠ACD=2xº, ∠BCD=∠BCA+∠ACD=3xº.
Значит, ∠BAD=2∙36=72º, ∠BCD=3∙36=108º.
Если AB=AC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC. Тогда у него углы при основании равны: ∠B=∠BCA. Но угол B — тупой, а два тупых угла в треугольнике быть не может. Следовательно, AB не может быть равным AC (отсюда и CD не может быть равным AC, так как AB=CD по условию).
- Диагональ трапеции делит треугольник
- Диагонали трапеции
- Свойства диагоналей трапеции
- Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
- Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
- Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
- Свойства трапеции, достроенной до треугольника
- Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
- Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
- Формулы для нахождения диагоналей трапеции
- Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании
- Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту
- 📹 Видео
Видео:Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Диагональ трапеции делит треугольник
Какое из следующих утверждений верно?
1) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
2) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.
3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Рассмотрим каждое из утверждений:
1) «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника» — неверно; верным будет утверждение: «Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника».
2) «Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету» — неверно; верным будет утверждение: «Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего к этому углу катета к гипотенузе».
3) «Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу» — верно по определению
Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
Диагонали трапеции
Видео:Основания трапеции равны 4 и 10 Найдите больший из отрезков на которые делит среднюю линию диагональСкачать
Свойства диагоналей трапеции
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
- Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
- Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
- Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
- Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции
Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции
Свойства трапеции, достроенной до треугольника
- Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
- Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции
Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции
- Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
- Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)
Видео:Геометрия Диагональ равнобокой трапеции разбивает ее на два равнобедренных треугольника. НайдитеСкачать
Формулы для нахождения диагоналей трапеции
Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании
Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту
Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.
Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.
Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.
Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.
Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть
AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b ( не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.
Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b
Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора
h 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2
Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2
Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2
Ответ: площадь трапеции равна 80 см 2 .
📹 Видео
Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать
Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать
Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать
8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать
КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапецииСкачать
Геометрия Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапецииСкачать
Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?Скачать
Как доказать У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равныСкачать
Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать
Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOCСкачать
В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.Скачать
ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать