Диагональ трапеции делит треугольник

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника

Задача.

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.

Диагональ трапеции делит треугольникДано : ABCD — трапеция, AD∥BC, AB=CD,

треугольники ABC и ADC — равнобедренные.

Найти : углы трапеции.

Диагональ трапеции делит треугольникI.

1) Если AB=BC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Если AC=AD, то треугольник ADC — равнобедренный с основанием CD.

Диагональ трапеции делит треугольник2)∠DAC=∠BCA (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC).

3) Пусть ∠BAC=xº, тогда ∠BCA=xº, ∠DAC=xº.

Следовательно, ∠ACD=2xº, ∠BCD=∠BCA+∠ACD=3xº.

Значит, ∠BAD=2∙36=72º, ∠BCD=3∙36=108º.

Если AB=AC, то треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC. Тогда у него углы при основании равны: ∠B=∠BCA. Но угол B — тупой, а два тупых угла в треугольнике быть не может. Следовательно, AB не может быть равным AC (отсюда и CD не может быть равным AC, так как AB=CD по условию).

Видео:Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Диагональ трапеции делит треугольник

Какое из следующих утверждений верно?

1) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

2) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

3) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1) «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника» — неверно; верным будет утверждение: «Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника».

2) «Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету» — неверно; верным будет утверждение: «Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего к этому углу катета к гипотенузе».

3) «Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу» — верно по определению

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Диагонали трапеции

Видео:Основания трапеции равны 4 и 10 Найдите больший из отрезков на которые делит среднюю линию диагональСкачать

Основания трапеции равны 4 и 10 Найдите больший из отрезков на которые делит среднюю линию диагональ

Свойства диагоналей трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Диагональ трапеции делит треугольник

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Диагональ трапеции делит треугольник

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Диагональ трапеции делит треугольник

Свойства трапеции, достроенной до треугольника

Диагональ трапеции делит треугольник

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Диагональ трапеции делит треугольник

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Диагональ трапеции делит треугольник

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Видео:Геометрия Диагональ равнобокой трапеции разбивает ее на два равнобедренных треугольника. НайдитеСкачать

Геометрия Диагональ равнобокой трапеции разбивает ее на два равнобедренных треугольника. Найдите

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Диагональ трапеции делит треугольник

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Диагональ трапеции делит треугольник

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Диагональ трапеции делит треугольник

Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.

Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.
Диагональ трапеции делит треугольник

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b ( не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
Диагональ трапеции делит треугольник, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ: площадь трапеции равна 80 см 2 .

📹 Видео

Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать

Диагонали трапеции и точка их пересечения

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапецииСкачать

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Геометрия Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапецииСкачать

Геометрия Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции

Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?Скачать

Как выразить площадь трапеции через площади треугольников, ограниченных диагоналями и основаниями?

Как доказать У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равныСкачать

Как доказать У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны и диагонали равны

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать

Трапеция, решение задач. Вебинар | Математика

Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOCСкачать

Геометрия Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площади треугольников AOD и BOC

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.Скачать

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: