Что такое невырожденный треугольник

Что такое Невырожденный треугольник?
Содержание
  1. Что значит Невырожденный треугольник?
  2. Как определить вырожденный треугольник?
  3. Какие бывают углы в треугольнике?
  4. Как появилась фигура треугольник?
  5. Какие треугольники бывают по сторонам?
  6. Как узнать существует ли треугольник?
  7. Как узнать существует ли треугольник со сторонами?
  8. Как определить вид треугольника по его сторонам?
  9. Как определить существует ли треугольник с такими сторонами?
  10. Как правильно обозначать углы в треугольнике?
  11. Какие виды треугольников бывают по углам и сторонам?
  12. Как доказать что фигура треугольник?
  13. Как доказать что это равнобедренный треугольник?
  14. Как найти угол треугольника если известны 2 стороны?
  15. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  16. Что такое треугольник
  17. Определение треугольника
  18. Сумма углов треугольника
  19. Пример №1
  20. Пример №2
  21. О равенстве геометрических фигур
  22. Пример №3
  23. Пример №4
  24. Признаки равенства треугольников
  25. Пример №5
  26. Пример №6
  27. Равнобедренный треугольник
  28. Пример №7
  29. Пример №10
  30. Прямоугольный треугольник
  31. Первый признак равенства треугольников и его применение
  32. Пример №14
  33. Опровержение утверждений. Контрпример
  34. Перпендикуляр к прямой
  35. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  36. Пример №15
  37. Второй признак равенства треугольников и его применение
  38. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  39. Пример №16
  40. Пример №17
  41. Признак равнобедренного треугольника
  42. Пример №18
  43. Прямая и обратная теоремы
  44. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  45. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  46. Пример №19
  47. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  48. Пример №20
  49. Третий признак равенства треугольников и его применение
  50. Пример №21
  51. Свойства и признаки
  52. Признаки параллельности прямых
  53. Пример №22
  54. О существовании прямой, параллельной данной
  55. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  56. Пример №23
  57. Расстояние между параллельными прямыми
  58. Сумма углов треугольника
  59. Пример №24
  60. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  61. Внешний угол треугольника
  62. Прямоугольные треугольники
  63. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  64. Сравнение сторон и углов треугольника
  65. Неравенство треугольника
  66. Пример №25
  67. Справочный материал по треугольнику
  68. Треугольники
  69. Средняя линия треугольника и ее свойства
  70. Пример №26
  71. Треугольник и его элементы
  72. Признаки равенства треугольников
  73. Виды треугольников
  74. Внешний угол треугольника
  75. Прямоугольные треугольники
  76. Всё о треугольнике
  77. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  78. Первый и второй признаки равенства треугольников
  79. Пример №27
  80. Равнобедренный треугольник и его свойства
  81. Пример №28
  82. Признаки равнобедренного треугольника
  83. Пример №29
  84. Третий признак равенства треугольников
  85. Теоремы
  86. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  87. Параллельные прямые
  88. Пример №30
  89. Признаки параллельности двух прямых
  90. Пример №31
  91. Пятый постулат Евклида
  92. Пример №34
  93. Прямоугольный треугольник
  94. Пример №35
  95. Свойства прямоугольного треугольника
  96. Пример №36
  97. Пример №37
  98. Please wait.
  99. We are checking your browser. mathvox.ru
  100. Why do I have to complete a CAPTCHA?
  101. What can I do to prevent this in the future?

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Что значит Невырожденный треугольник?

Вырожденный треугольник – это треугольник у которого все три вершины лежат на одной прямой. Все остальные треугольники – невырожденные.

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

7 класс, 34 урок, Неравенство треугольника

Как определить вырожденный треугольник?

Когда у вас есть три длины сторон, a ≤ b ≤ c , треугольник вырождается, когда a + b = c . (Другие треугольники имеют a + b > c и треугольники с a + b вырожденный треугольник.

Видео:4.2 Неравенство треугольника. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс StepikСкачать

4.2 Неравенство треугольника. "Поколение Python": курс для начинающих. Курс Stepik

Какие бывают углы в треугольнике?

Треугольник имеет следующие углы:

  • угол — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне ;
  • угол — угол, образованный сторонами и и противолежащий стороне .

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Как появилась фигура треугольник?

В нашей стране, треугольник появился около 1775 года, благодаря своему экзотическому, восточному колориту. Впервые он прозвучал в опере Грэтри «Тайная магия». Известно, что в оркестрах военной музыки он возник гораздо раньше. Так, в России, в дореволюционные времена, он был популярен в войсках Елизаветы Петровны.

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Какие треугольники бывают по сторонам?

Виды треугольников по сторонам:

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Как узнать существует ли треугольник?

У треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Иначе две стороны просто «лягут» на третью и треугольника не получится. Пользователь вводит длины трех сторон.

Видео:Что скрывает фрактальный треугольник? // Vital MathСкачать

Что скрывает фрактальный треугольник? // Vital Math

Как узнать существует ли треугольник со сторонами?

Чтобы треугольник существовал, сумма двух сторон треугольника всегда должна быть больше третей стороны. a + b > c, b + c > a, a + c > b.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Как определить вид треугольника по его сторонам?

Если выполняется теорема Пифагора: с²=a²+b² , где с — наибольшая сторона, а и b две других, – треугольник прямоугольный. Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон: с² треугольник остроугольный.

Видео:Что такое Треугольник Карпмана?Скачать

Что такое Треугольник Карпмана?

Как определить существует ли треугольник с такими сторонами?

Треугольник существует только тогда, когда сумма двух его сторон больше третьей. Требуется сравнить каждую сторону с суммой двух других. Если хотя бы в одном случае сторона окажется больше либо равна сумме двух других, то треугольника с такими сторонами не существует.

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис Трушин

Как правильно обозначать углы в треугольнике?

Часто углы треугольника обозначаются только одной буквой: ∠A, ∠B, ∠C. Треугольник обычно обозначается тремя буквами, стоящими при его вершинах. Например, треугольник ABC, или BCA, или CBA. Вместо слова треугольник часто используется знак .

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.

Какие виды треугольников бывают по углам и сторонам?

Виды треугольников

  • Существует три вида треугольников по углам:
  • Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. .
  • Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. .
  • Виды треугольников по сторонам:
  • Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны.

Видео:Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.

Как доказать что фигура треугольник?

Чтобы проверить, могут ли заданные три отрезка a, b и c образовать треугольник, достаточно проверить будет ли самый длинный отрезок меньше суммы длин двух других отрезков. Сумма углов любого треугольника равна 180∘. Подробнее в теореме о сумме углов треугольника.

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Треугольники. 7 класс.

Как доказать что это равнобедренный треугольник?

Признаки равнобедренного треугольника

  1. Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;
  2. Если в некотором треугольнике совпадают: а) высота и биссектриса или б) высота и медиана или в) медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Как найти угол треугольника если известны 2 стороны?

Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.

Видео:✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис ТрушинСкачать

✓ Свойства и признаки равнобедренного треугольника | Ботай со мной #008 | Борис Трушин

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Что такое невырожденный треугольникЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Что такое невырожденный треугольникАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Что такое невырожденный треугольникBСА или Что такое невырожденный треугольникCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Что такое невырожденный треугольник

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Что такое невырожденный треугольникA, Что такое невырожденный треугольникB, Что такое невырожденный треугольникC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Что такое невырожденный треугольникACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Что такое невырожденный треугольник

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Что такое невырожденный треугольникABC = Что такое невырожденный треугольникA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Видео:7 класс, 14 урок, ТреугольникСкачать

7 класс, 14 урок, Треугольник

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиЧто такое невырожденный треугольник, тоЧто такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Что такое невырожденный треугольник). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Что такое невырожденный треугольник

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Что такое невырожденный треугольник

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Что такое невырожденный треугольник, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Что такое невырожденный треугольник

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Что такое невырожденный треугольник. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Что такое невырожденный треугольник

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Что такое невырожденный треугольник

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Что такое невырожденный треугольник

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Что такое невырожденный треугольник

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаЧто такое невырожденный треугольниккак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Что такое невырожденный треугольник

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Что такое невырожденный треугольник

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольникВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Что такое невырожденный треугольник

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Что такое невырожденный треугольник

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Что такое невырожденный треугольник

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Что такое невырожденный треугольник. Например, Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Что такое невырожденный треугольники т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Что такое невырожденный треугольник, то подразумевают, что Что такое невырожденный треугольникАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Что такое невырожденный треугольник. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Что такое невырожденный треугольник. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Что такое невырожденный треугольник

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Что такое невырожденный треугольниквины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Что такое невырожденный треугольники то совместятся и стороны:Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникЗначит, если Что такое невырожденный треугольникто Что такое невырожденный треугольник,Что такое невырожденный треугольникЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Что такое невырожденный треугольник— два треугольника, у которыхЧто такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник(рис. 1;46). Докажем, что Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Наложим Что такое невырожденный треугольниктаким образом, чтобы вершина Что такое невырожденный треугольниксовместилась А, вершина Что такое невырожденный треугольник— с В, а сторона Что такое невырожденный треугольникналожилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюЧто такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник. Поскольку Что такое невырожденный треугольник, то при таком положении точка Что такое невырожденный треугольниксовместится с С. В результате все вершины Что такое невырожденный треугольниксовместятся с соответствующими вершинами

Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольникСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Что такое невырожденный треугольник

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

Пусть у Что такое невырожденный треугольниксторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Что такое невырожденный треугольник, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Что такое невырожденный треугольник

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник, то по двум сторонам и углу между ними Что такое невырожденный треугольник. Из равенства этих треугольников следует:

а) Что такое невырожденный треугольник, то есть углы при основании Что такое невырожденный треугольникравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Что такое невырожденный треугольник

в) Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Что такое невырожденный треугольник(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Что такое невырожденный треугольникУ нихЧто такое невырожденный треугольник, Поэтому Что такое невырожденный треугольник. По стороне AL и прилежащим к ней углам Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Что такое невырожденный треугольник

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольник(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Что такое невырожденный треугольник

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Что такое невырожденный треугольник

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Что такое невырожденный треугольник

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Что такое невырожденный треугольник

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Что такое невырожденный треугольник. Если представить, что фигура Что такое невырожденный треугольникизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Что такое невырожденный треугольник(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. В таком случае фигуры Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпо определению равны.

Что такое невырожденный треугольник

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Что такое невырожденный треугольникЗапись Что такое невырожденный треугольникозначает «фигура Что такое невырожденный треугольникравна фигуре Что такое невырожденный треугольник »

Рассмотрим равные треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Что такое невырожденный треугольникбудет соответствовать равный элемент треугольника Что такое невырожденный треугольник. Условимся, что в записи Что такое невырожденный треугольникмы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Что такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Что такое невырожденный треугольник

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, у которых Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник(рис. 58). Докажем, что Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Поскольку Что такое невырожденный треугольникто треугольник Что такое невырожденный треугольникможно наложить на треугольник Что такое невырожденный треугольниктак, чтобы точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксовместились, а стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникналожились на лучи Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксоответственно. По условию Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, следовательно, сторона Что такое невырожденный треугольниксовместится со стороной Что такое невырожденный треугольник, а сторона Что такое невырожденный треугольник— со стороной Что такое невырожденный треугольник. Таким образом, точка Что такое невырожденный треугольниксовместится с точкой Что такое невырожденный треугольник, а точка Что такое невырожденный треугольник— с точкой Что такое невырожденный треугольник, то есть стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниктакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Что такое невырожденный треугольник, совместятся полностью. Итак, Что такое невырожденный треугольникпо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Что такое невырожденный треугольникпо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Что такое невырожденный треугольник

Тогда, согласно предыдущей задаче, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниклежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Что такое невырожденный треугольник

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Что такое невырожденный треугольники точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Что такое невырожденный треугольникточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Что такое невырожденный треугольник

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Что такое невырожденный треугольник. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Что такое невырожденный треугольник, с прямой Что такое невырожденный треугольник.

Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Они имеют общую сторону BD, a Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпо построению. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Что такое невырожденный треугольникНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник. Итак, прямая Что такое невырожденный треугольникперпендикулярна прямой Что такое невырожденный треугольник.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникперпендикулярные прямой Что такое невырожденный треугольник(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Что такое невырожденный треугольник. Но это невозможно, поскольку прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Что такое невырожденный треугольник, единственна.

Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Что такое невырожденный треугольник. От любой полупрямой прямой Что такое невырожденный треугольникс начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Что такое невырожденный треугольник

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Что такое невырожденный треугольникТогда Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, у которых Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник(рис. 72). Докажем, что Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Поскольку Что такое невырожденный треугольник, то треугольник Что такое невырожденный треугольникможно наложить на треугольник Что такое невырожденный треугольниктак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Что такое невырожденный треугольник, а точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниклежали по одну сторону от прямой Что такое невырожденный треугольник. По условию Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, поэтому сторона Что такое невырожденный треугольникналожится на луч Что такое невырожденный треугольник, а сторона Что такое невырожденный треугольник— на луч Что такое невырожденный треугольник. Тогда точка Что такое невырожденный треугольник— общая точка сторон Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— будет лежать как на луче Что такое невырожденный треугольник, так и на луче Что такое невырожденный треугольник, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, а также Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Значит, при наложении треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, совместятся полностью, то есть по определению Что такое невырожденный треугольник. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Что такое невырожденный треугольникНайдите угол D если Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Что такое невырожденный треугольник. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Что такое невырожденный треугольник. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Что такое невырожденный треугольникпо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникпо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Что такое невырожденный треугольник

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Что такое невырожденный треугольниккак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Что такое невырожденный треугольник

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Что такое невырожденный треугольник(рис. 85). Соединим точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольники рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольник. У них сторона Что такое невырожденный треугольникобщая, Что такое невырожденный треугольники AD = CD по построению. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку. Отсюда Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Поскольку по построению точка Что такое невырожденный треугольниклежит на луче АВ, угол Что такое невырожденный треугольниксовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Что такое невырожденный треугольник. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксовпадают, то есть точка Что такое невырожденный треугольниклежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Что такое невырожденный треугольник

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Что такое невырожденный треугольник

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Что такое невырожденный треугольниктогда Что такое невырожденный треугольниккак углы, смежные с равными углами. Значит, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Что такое невырожденный треугольникто Что такое невырожденный треугольникТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Что такое невырожденный треугольникто Что такое невырожденный треугольникТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Что такое невырожденный треугольник

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Что такое невырожденный треугольниккак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Что такое невырожденный треугольник, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Что такое невырожденный треугольника поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Что такое невырожденный треугольникно второму признаку Что такое невырожденный треугольникОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Что такое невырожденный треугольник, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Что такое невырожденный треугольники биссектриса Что такое невырожденный треугольник, не совпадающие с Что такое невырожденный треугольник— Тогда по доказанному выше отрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниктакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— данные равнобедренные треугольники с основаниями Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— Медианы этих треугольников, причем Что такое невырожденный треугольник(рис. 102). Докажем, что Что такое невырожденный треугольник

Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольник. По условию Что такое невырожденный треугольник. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникявляются также биссектрисами равных углов Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольникотрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Что такое невырожденный треугольник90°. Таким образом,Что такое невырожденный треугольник, по второму признаку равенства треугольников, откуда Что такое невырожденный треугольниктогда и Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникЗначит, треугольники Что такое невырожденный треугольникравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Что такое невырожденный треугольник

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Что такое невырожденный треугольник

На луче ВD от точки D отложим отрезок Что такое невырожденный треугольникравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольникУ них АD = СD по определению медианы, Что такое невырожденный треугольникпо построению, Что такое невырожденный треугольниккак вертикальные. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольник. Рассмотрим теперь треугольник Что такое невырожденный треугольникС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Что такое невырожденный треугольниктогда Что такое невырожденный треугольникПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Что такое невырожденный треугольникравнобедренный с основанием Что такое невырожденный треугольникОтсюда Что такое невырожденный треугольника поскольку по доказанному Что такое невырожденный треугольникТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Что такое невырожденный треугольник. Доказав его равенство с треугольником Что такое невырожденный треугольник, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, у которых Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольник.

Приложим треугольник Что такое невырожденный треугольникк треугольнику Что такое невырожденный треугольниктак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Что такое невырожденный треугольник, вершина Что такое невырожденный треугольник— с вершиной В, а точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниклежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Что такое невырожденный треугольникпроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Что такое невырожденный треугольникпроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Что такое невырожденный треугольниксовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Рис. Прикладывание треугольника Что такое невырожденный треугольникк треугольнику Что такое невырожденный треугольник

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, то треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравнобедренные с основанием Что такое невырожденный треугольник. По свойству равнобедренного треугольника Что такое невырожденный треугольник. Тогда Что такое невырожденный треугольниккак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемЧто такое невырожденный треугольник, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— данные треугольники с медианами Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, соответственно, причем Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникВ них Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, по условию, Что такое невырожденный треугольниккак половины равных сторон Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникто есть Что такое невырожденный треугольникпо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Что такое невырожденный треугольникТогда Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку Что такое невырожденный треугольникпо условию, Что такое невырожденный треугольникпо доказанному).

Что такое невырожденный треугольник

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Что такое невырожденный треугольник

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Что такое невырожденный треугольник(рис. 119). Докажем, что Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Если углы 1 и 2 прямые, то Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Тогда Что такое невырожденный треугольникпо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Что такое невырожденный треугольник, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Что такое невырожденный треугольник

Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. У них Что такое невырожденный треугольникпо условию, Что такое невырожденный треугольниккак вертикальные и Что такое невырожденный треугольникпо построению. Итак, Что такое невырожденный треугольникпо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Что такое невырожденный треугольникто есть прямая Что такое невырожденный треугольникперпендикулярна прямым а и b. Тогда Что такое невырожденный треугольникпо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Что такое невырожденный треугольник, то прямые параллельны.

Действительно, если Что такое невырожденный треугольник(рис. 120) и по теореме о смежных углах Что такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольникТогда по доказанной теореме Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Что такое невырожденный треугольник(рис. 121), a Что такое невырожденный треугольниккак вертикальные, то Что такое невырожденный треугольникТогда но доказанной теореме Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Что такое невырожденный треугольник— биссектриса угла Что такое невырожденный треугольникДокажите, что Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

По условию задачи треугольник Что такое невырожденный треугольникравнобедренный с основанием Что такое невырожденный треугольникПо свойству углов равнобедренного треугольника Что такое невырожденный треугольникВместе с тем Что такое невырожденный треугольниктак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Что такое невырожденный треугольники секущей Что такое невырожденный треугольникПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Что такое невырожденный треугольникчто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Что такое невырожденный треугольник

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Что такое невырожденный треугольник

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Что такое невырожденный треугольниктак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Что такое невырожденный треугольники b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Что такое невырожденный треугольникНо Что такое невырожденный треугольникпо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Что такое невырожденный треугольник

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Что такое невырожденный треугольник(рис. 134). Поскольку Что такое невырожденный треугольникто Что такое невырожденный треугольникТогда:

Что такое невырожденный треугольник°, так как углы 1 и 5 соответственные; Что такое невырожденный треугольник, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Что такое невырожденный треугольниктак как углы 2 и 3 вертикальные; Что такое невырожденный треугольниктак как углы 5 и 6 смежные; Что такое невырожденный треугольниктак как углы 7 и 3 соответственные; Что такое невырожденный треугольниктак как углы 8 и 4 соответственные.

Что такое невырожденный треугольник

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Что такое невырожденный треугольник— расстояния от точек Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпрямой Что такое невырожденный треугольникдо прямой Что такое невырожденный треугольник(рис. 135). Докажем, что

Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Что такое невырожденный треугольник

Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникУ них сторона Что такое невырожденный треугольникобщая, Что такое невырожденный треугольниккак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольники секущей Что такое невырожденный треугольниккак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольники секущей Что такое невырожденный треугольник. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникпо второму признаку равенства треугольников, откуда Что такое невырожденный треугольникТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Что такое невырожденный треугольникто есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Что такое невырожденный треугольник, то есть Что такое невырожденный треугольник— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Что такое невырожденный треугольник

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольникПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Что такое невырожденный треугольниккак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Что такое невырожденный треугольникТеорема доказана.

Что такое невырожденный треугольник

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Что такое невырожденный треугольник.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Что такое невырожденный треугольник(рис. 142, а). Тогда Что такое невырожденный треугольниккак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольникЗначит, Что такое невырожденный треугольникто есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Что такое невырожденный треугольник(рис. 142, б). Тогда Что такое невырожденный треугольниккак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Что такое невырожденный треугольник

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Что такое невырожденный треугольник

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Что такое невырожденный треугольник

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Что такое невырожденный треугольник— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Что такое невырожденный треугольникС другой стороны, по теореме о смежных углах Что такое невырожденный треугольникОтсюда, Что такое невырожденный треугольникчто и требовалось доказать.

Что такое невырожденный треугольник

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Что такое невырожденный треугольникТогда для их суммы имеем: Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Что такое невырожденный треугольник, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Что такое невырожденный треугольник

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Что такое невырожденный треугольник, то другие острые углы этих треугольников равны Что такое невырожденный треугольник, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Что такое невырожденный треугольник— данные прямоугольные треугольники, в которых Что такое невырожденный треугольник90° , Что такое невырожденный треугольник(рис. 152). Докажем, что Что такое невырожденный треугольник

На продолжениях сторон Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникотложим отрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, равные катетам Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксоответственно. Тогда Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, по двум катетам. Таким образом, Что такое невырожденный треугольник. Это значит, что Что такое невырожденный треугольникпо трем сторонам. Отсюда Что такое невырожденный треугольникИ наконец, Что такое невырожденный треугольник, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Что такое невырожденный треугольникравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольникОчевидно, что в треугольнике Что такое невырожденный треугольникОтложим на продолжении стороны Что такое невырожденный треугольникотрезок Что такое невырожденный треугольник, равный Что такое невырожденный треугольник(рис. 153). Прямоугольные треугольники Что такое невырожденный треугольникравны по двум катетам. Отсюда следует, что Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникТаким образом, треугольник Что такое невырожденный треугольникравносторонний, а отрезок Что такое невырожденный треугольник— его медиана, то есть Что такое невырожденный треугольникчто и требовалось доказать.

Что такое невырожденный треугольник

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольник. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Что такое невырожденный треугольникто точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Что такое невырожденный треугольникОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Что такое невырожденный треугольникКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Что такое невырожденный треугольник, поэтому Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, имеем: Что такое невырожденный треугольникоткуда Что такое невырожденный треугольник

2. Пусть в треугольнике Что такое невырожденный треугольникДокажем от противного, что Что такое невырожденный треугольник. Если это не так, то Что такое невырожденный треугольникили Что такое невырожденный треугольник. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Что такое невырожденный треугольник. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Что такое невырожденный треугольник. В обоих случаях имеем противоречие условию Что такое невырожденный треугольник. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Что такое невырожденный треугольник. Теорема доказана.

Что такое невырожденный треугольник

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Что такое невырожденный треугольник. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Что такое невырожденный треугольникНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Что такое невырожденный треугольникТаким образом, в треугольнике Что такое невырожденный треугольник. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Что такое невырожденный треугольникТеорема доказана.

Что такое невырожденный треугольник

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Что такое невырожденный треугольник АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Что такое невырожденный треугольникравный Что такое невырожденный треугольникДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Что такое невырожденный треугольникравны по двум катетам, откуда Что такое невырожденный треугольникОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Что такое невырожденный треугольникбудет наименьшей в случае, когда точки Что такое невырожденный треугольниклежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Что такое невырожденный треугольникс прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Что такое невырожденный треугольник

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Что такое невырожденный треугольник

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой Репетитор

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Что такое невырожденный треугольник— средняя линия треугольника Что такое невырожденный треугольник

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Что такое невырожденный треугольник— средняя линия треугольника Что такое невырожденный треугольник(рис. 105). Докажем, что Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник

1) Проведем через точку Что такое невырожденный треугольникпрямую, параллельную Что такое невырожденный треугольникПо теореме Фалеса она пересекает сторону Что такое невырожденный треугольникв ее середине, то есть в точке Что такое невырожденный треугольникСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Что такое невырожденный треугольникПоэтому Что такое невырожденный треугольник

2) Проведем через точку Что такое невырожденный треугольникпрямую, параллельную Что такое невырожденный треугольниккоторая пересекает Что такое невырожденный треугольникв точке Что такое невырожденный треугольникТогда Что такое невырожденный треугольник(по теореме Фалеса). Четырехугольник Что такое невырожденный треугольник— параллелограмм.

Что такое невырожденный треугольник(по свойству параллелограмма), но Что такое невырожденный треугольник

Поэтому Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Что такое невырожденный треугольник— данный четырехугольник, а точки Что такое невырожденный треугольник— середины его сторон (рис. 106). Что такое невырожденный треугольник— средняя линия треугольника Что такое невырожденный треугольникпоэтому Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникАналогично Что такое невырожденный треугольник

Таким образом, Что такое невырожденный треугольникТогда Что такое невырожденный треугольник— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Что такое невырожденный треугольник— средняя линия треугольника Что такое невырожденный треугольникПоэтому Что такое невырожденный треугольникСледовательно, Что такое невырожденный треугольник— также параллелограмм, откуда: Что такое невырожденный треугольник

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство:

Пусть Что такое невырожденный треугольник— точка пересечения медиан Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниктреугольника Что такое невырожденный треугольник(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Что такое невырожденный треугольникгде Что такое невырожденный треугольник— середина Что такое невырожденный треугольник— середина Что такое невырожденный треугольник

2) Что такое невырожденный треугольник— средняя линия треугольника

Что такое невырожденный треугольникпоэтому Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник

3) Что такое невырожденный треугольник— средняя линия треугольника Что такое невырожденный треугольникпоэтому Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник

4) Следовательно, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникЗначит, Что такое невырожденный треугольник— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Что такое невырожденный треугольник— точка пересечения диагоналей Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпараллелограмма Что такое невырожденный треугольникпоэтому Что такое невырожденный треугольникНо Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникТогда Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникСледовательно, точка Что такое невырожденный треугольникделит каждую из медиан Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникв отношении 2:1, считая от вершин Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксоответственно.

6) Точка пересечения медиан Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникдолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Что такое невырожденный треугольниккоторая в таком отношении делит медиану Что такое невырожденный треугольникто медиана Что такое невырожденный треугольниктакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Что такое невырожденный треугольниквершины треугольника; отрезки Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникстороны треугольника; Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникуглы треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Что такое невырожденный треугольник

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Что такое невырожденный треугольник— медиана треугольника Что такое невырожденный треугольник

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Что такое невырожденный треугольник— биссектриса треугольника Что такое невырожденный треугольник

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 270 Что такое невырожденный треугольник— высота Что такое невырожденный треугольникСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Что такое невырожденный треугольник

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Что такое невырожденный треугольник

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Что такое невырожденный треугольник

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Что такое невырожденный треугольник— равнобедренный, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— его боковые стороны, Что такое невырожденный треугольникоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Что такое невырожденный треугольник

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Что такое невырожденный треугольник— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Что такое невырожденный треугольникпроведенная к основанию Что такое невырожденный треугольникравнобедренного треугольника Что такое невырожденный треугольникявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Что такое невырожденный треугольник

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Что такое невырожденный треугольник— внешний угол треугольника Что такое невырожденный треугольник

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

Прямоугольные треугольники

Если Что такое невырожденный треугольникто Что такое невырожденный треугольник— прямоугольный (рис. 281). Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниккатеты прямоугольного треугольника; Что такое невырожденный треугольникгипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникназывают треугольником. Точки Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольникназывают вершинами, а отрезки Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольниксторонами треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Что такое невырожденный треугольник, или Что такое невырожденный треугольник, или Что такое невырожденный треугольники т. д. (читают: «треугольник Что такое невырожденный треугольник, треугольник Что такое невырожденный треугольник» и т. д.). Углы Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник(рис. 110) называют углами треугольника Что такое невырожденный треугольник.

В треугольнике Что такое невырожденный треугольник, например, угол Что такое невырожденный треугольникназывают углом, противолежащим стороне Что такое невырожденный треугольник, углы Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— углами, прилежащими к стороне Что такое невырожденный треугольник, сторону Что такое невырожденный треугольникстороной, противолежащей углу Что такое невырожденный треугольник, стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксторонами, прилежащими к углу Что такое невырожденный треугольник(рис. 110).

Что такое невырожденный треугольник

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Что такое невырожденный треугольникиспользуют обозначение Что такое невырожденный треугольник.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Что такое невырожденный треугольник

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Что такое невырожденный треугольник(рис. 109). Точка Что такое невырожденный треугольникне принадлежит отрезку Что такое невырожденный треугольник. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Что такое невырожденный треугольник. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Что такое невырожденный треугольник

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 113 изображены равные треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Записывают: Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксовпадут. Тогда можно записать: Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Что такое невырожденный треугольники луча Что такое невырожденный треугольниксуществует треугольник Что такое невырожденный треугольникравный треугольнику Что такое невырожденный треугольник, такой, что Что такое невырожденный треугольники сторона Что такое невырожденный треугольникпринадлежит лучу Что такое невырожденный треугольник, а вершина Что такое невырожденный треугольниклежит в заданной полуплоскости относительно прямой Что такое невырожденный треугольник(рис. 114).

Что такое невырожденный треугольник

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Что такое невырожденный треугольники не принадлежащую ей точку Что такое невырожденный треугольник(рис. 115). Предположим, что через точку Что такое невырожденный треугольникпроходят две прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, перпендикулярные прямой Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Что такое невырожденный треугольник, равный треугольнику Что такое невырожденный треугольник(рис. 116). Тогда Что такое невырожденный треугольник. Отсюда Что такое невырожденный треугольник, а значит, точки Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Что такое невырожденный треугольниктакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникимеют две точки пересечения: Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Что такое невырожденный треугольник

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 117 изображены равные фигуры Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Пишут: Что такое невырожденный треугольник. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 118 отрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— высоты треугольника Что такое невырожденный треугольник. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 119 отрезок Что такое невырожденный треугольник— медиана треугольника Что такое невырожденный треугольник.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 120 отрезок Что такое невырожденный треугольник— биссектриса треугольника Что такое невырожденный треугольник.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Что такое невырожденный треугольник, обозначают соответственно Что такое невырожденный треугольник. Длины высот обозначают Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, медиан — Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, биссектрис — Что такое невырожденный треугольник. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Что такое невырожденный треугольник

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниквыполняются шесть условий Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник,Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольникто очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Что такое невырожденный треугольник

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольнику которых Что такое невырожденный треугольник(рис. 128). Докажем, что Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник

Наложим Что такое невырожденный треугольникна Что такое невырожденный треугольниктак, чтобы луч Что такое невырожденный треугольниксовместился с лучом Что такое невырожденный треугольник, а луч Что такое невырожденный треугольниксовместился с лучом Что такое невырожденный треугольник. Это можно сделать, так как по условию Что такое невырожденный треугольникПоскольку по условию Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, то при таком наложении сторона Что такое невырожденный треугольниксовместится со стороной Что такое невырожденный треугольник, а сторона Что такое невырожденный треугольник— со стороной Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Что такое невырожденный треугольник.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Пусть Что такое невырожденный треугольник— произвольная точка серединного перпендикуляра Что такое невырожденный треугольникотрезка Что такое невырожденный треугольник, точка Что такое невырожденный треугольник— середина отрезка Что такое невырожденный треугольник. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник. Если точка Что такое невырожденный треугольниксовпадает с точкой Что такое невырожденный треугольник(а это возможно, так как Что такое невырожденный треугольник— произвольная точка прямой а), то Что такое невырожденный треугольник. Если точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникне совпадают, то рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник(рис. 130).

В этих треугольниках Что такое невырожденный треугольник, так как Что такое невырожденный треугольник— середина отрезка Что такое невырожденный треугольник. Сторона Что такое невырожденный треугольник— общая, Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, у которых Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, (рис. 131). Докажем, что Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник.

Наложим Что такое невырожденный треугольникна Что такое невырожденный треугольниктак, чтобы точка Что такое невырожденный треугольниксовместилась с точкой Что такое невырожденный треугольник, отрезок Что такое невырожденный треугольник— с отрезком Что такое невырожденный треугольник(это возможно, так как Что такое невырожденный треугольник) и точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниклежали в одной полуплоскости относительно прямой Что такое невырожденный треугольник. Поскольку Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникто луч Что такое невырожденный треугольниксовместится с лучом Что такое невырожденный треугольник, а луч Что такое невырожденный треугольник— с лучом Что такое невырожденный треугольник. Тогда точка Что такое невырожденный треугольник— общая точка лучей Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— совместится с точкой Что такое невырожденный треугольник— общей точкой лучей Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Значит, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Что такое невырожденный треугольник

Пример №27

На рисунке 132 точка Что такое невырожденный треугольник— середина отрезка Что такое невырожденный треугольник. Докажите, что Что такое невырожденный треугольник.

Решение:

Рассмотрим Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Что такое невырожденный треугольник, так как точка Что такое невырожденный треугольник— середина отрезка Что такое невырожденный треугольник. Что такое невырожденный треугольникпо условию. Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как вертикальные. Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, так как Что такое невырожденный треугольник. Что такое невырожденный треугольник— общая сторона. Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо двум сторонам и углу между ними. Тогда Что такое невырожденный треугольник.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого Что такое невырожденный треугольник.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Что такое невырожденный треугольникна рисунке 155). При этом угол Что такое невырожденный треугольникназывают углом при вершине, а углы Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникуглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Что такое невырожденный треугольник. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого Что такое невырожденный треугольник, отрезок Что такое невырожденный треугольник— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник.

В треугольниках Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксторона Что такое невырожденный треугольник— общая, Что такое невырожденный треугольник, так как по условию Что такое невырожденный треугольник— биссектриса угла Что такое невырожденный треугольник, стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Что такое невырожденный треугольник— медиана;
  3. Что такое невырожденный треугольник. Но Что такое невырожденный треугольник. Отсюда следует, что Что такое невырожденный треугольник, значит, Что такое невырожденный треугольник— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Что такое невырожденный треугольник

Пример №28

Отрезок Что такое невырожденный треугольник— медиана равнобедренного треугольника Что такое невырожденный треугольник, проведенная к основанию. На сторонах Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникотмечены соответственно точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниктак, что Что такое невырожденный треугольник. Докажите равенство треугольников Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник.

Решение:

Имеем:Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник(рис. 158). Так как Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольник. Что такое невырожденный треугольник, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Что такое невырожденный треугольник— общая сторона треугольников Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого отрезок Что такое невырожденный треугольник— медиана и высота. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Что такое невырожденный треугольник— серединный перпендикуляр отрезка Что такое невырожденный треугольник.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Что такое невырожденный треугольник.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого отрезок Что такое невырожденный треугольник— биссектриса и высота. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник(рис. 169). В треугольниках Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниксторона Что такое невырожденный треугольник— общая, Что такое невырожденный треугольник, так как по условию Что такое невырожденный треугольник— биссектриса угла Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, так как по условию Что такое невырожденный треугольник— высота. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникпо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которогоЧто такое невырожденный треугольник. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник.

Проведем серединный перпендикуляр Что такое невырожденный треугольникстороны Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что прямая Что такое невырожденный треугольникпроходит через вершину Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Предположим, что это не так. Тогда прямая Что такое невырожденный треугольникпересекает или сторону Что такое невырожденный треугольник(рис. 170), или сторону Что такое невырожденный треугольник(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Что такое невырожденный треугольник— точка пересечения прямой Что такое невырожденный треугольниксо стороной Что такое невырожденный треугольник. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник— равнобедренный, а значит Что такое невырожденный треугольник. Но по условиюЧто такое невырожденный треугольник. Тогда имеем: Что такое невырожденный треугольник, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Что такое невырожденный треугольник

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Что такое невырожденный треугольникпроходит через точку Что такое невырожденный треугольник(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Что такое невырожденный треугольник.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого отрезок Что такое невырожденный треугольник— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник. На луче Что такое невырожденный треугольникотложим отрезок Что такое невырожденный треугольник, равный отрезку Что такое невырожденный треугольник(рис. 173). В треугольниках Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, так как по условию Что такое невырожденный треугольник— медиана, Что такое невырожденный треугольникпо построению, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как вертикальные. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Что такое невырожденный треугольник— биссектриса угла Что такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник. С учетом доказанного получаем, что Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник. Тогда по теореме 10.3 Что такое невырожденный треугольник— равнобедренный, откуда Что такое невырожденный треугольник. Но уже доказано, что Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Пример №29

В треугольнике Что такое невырожденный треугольникпроведена биссектриса Что такое невырожденный треугольник(рис. 174), Что такое невырожденный треугольник,Что такое невырожденный треугольник. Докажите, что Что такое невырожденный треугольник.

Решение:

Так как Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— смежные, то Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник. Следовательно, в треугольнике Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник.

Тогда Что такое невырожденный треугольник— равнобедренный с основанием Что такое невырожденный треугольник, и его биссектриса Что такое невырожденный треугольник( Что такое невырожденный треугольник— точка пересечения Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник) является также высотой, т. е. Что такое невырожденный треугольник.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник(рис. 177), у которых Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольник(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Расположим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, так, чтобы вершина Что такое невырожденный треугольниксовместилась с вершиной Что такое невырожденный треугольниквершина Что такое невырожденный треугольник— с Что такое невырожденный треугольника вершины Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниклежали в разных полуплоскостях относительно прямой Что такое невырожденный треугольник(рис. 178). Проведем отрезок Что такое невырожденный треугольник. Поскольку Что такое невырожденный треугольник, то треугольник Что такое невырожденный треугольник— равнобедренный, значит, Что такое невырожденный треугольник. Аналогично можно доказать, что Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник. Тогда Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникпо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Что такое невырожденный треугольникпересекает отрезок Что такое невырожденный треугольникво внутренней точке. На самом деле отрезок Что такое невырожденный треугольникможет проходить через один из концов отрезка Что такое невырожденный треугольник, например, через точку Что такое невырожденный треугольник(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Что такое невырожденный треугольник(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Что такое невырожденный треугольник

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Что такое невырожденный треугольник

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Что такое невырожденный треугольник

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Пусть точка Что такое невырожденный треугольникравноудалена от концов отрезка Что такое невырожденный треугольник, т. е. Что такое невырожденный треугольник(рис. 183). Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, где Что такое невырожденный треугольник— середина отрезка Что такое невырожденный треугольник. Тогда Что такое невырожденный треугольникпо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Что такое невырожденный треугольник. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Что такое невырожденный треугольник— серединный перпендикуляр отрезка Что такое невырожденный треугольник.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Что такое невырожденный треугольникне принадлежит прямой Что такое невырожденный треугольник. Если точка Что такое невырожденный треугольникпринадлежит прямой Что такое невырожденный треугольник, то она совпадает с серединой отрезка Что такое невырожденный треугольник, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Что такое невырожденный треугольникявляется серединой отрезка Что такое невырожденный треугольник, то обращение к треугольникам Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникбыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Пишут: Что такое невырожденный треугольник(читают: «прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпараллельны» или «прямая а параллельна прямой Что такое невырожденный треугольник»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 193 отрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпараллельны. Пишут: Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: На рисунке 195 Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Надо доказать, чтоЧто такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Предположим, что прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпересекаются в некоторой точке Что такое невырожденный треугольник(рис. 196). Тогда через точку Что такое невырожденный треугольник, не принадлежащую прямой Что такое невырожденный треугольник, проходят две прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, перпендикулярные прямой Что такое невырожденный треугольник. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Что такое невырожденный треугольник

Следствие. Через данную точку Что такое невырожденный треугольник, не принадлежащую прямой Что такое невырожденный треугольник, можно провести прямую Что такое невырожденный треугольник, параллельную прямой Что такое невырожденный треугольник.

Доказательство: Пусть точка Что такое невырожденный треугольник не принадлежит прямой Что такое невырожденный треугольник (рис. 198).

Что такое невырожденный треугольник

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Что такое невырожденный треугольник прямую Что такое невырожденный треугольник, перпендикулярную прямой Что такое невырожденный треугольник. Теперь через точку Что такое невырожденный треугольник проведем прямую Что такое невырожденный треугольник, перпендикулярную прямой Что такое невырожденный треугольник. В силу теоремы 13.1 Что такое невырожденный треугольник.

Можно ли через точку Что такое невырожденный треугольник(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Что такое невырожденный треугольник? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Что такое невырожденный треугольникиЧто такое невырожденный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Предположим, что прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникне параллельны, а пересекаются в некоторой точке Что такое невырожденный треугольник(рис. 199). Получается, что через точку Что такое невырожденный треугольникпроходят две прямые, параллельные прямой Что такое невырожденный треугольник, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

Пусть прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпараллельны, прямая Что такое невырожденный треугольникпересекает прямую Что такое невырожденный треугольникв точке Что такое невырожденный треугольник(рис. 200). Предположим, что прямая Что такое невырожденный треугольникне пересекает прямую Что такое невырожденный треугольник, тогда Что такое невырожденный треугольник. Но в этом случае через точку Что такое невырожденный треугольникпроходят две прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, параллельные прямой Что такое невырожденный треугольник, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Что такое невырожденный треугольникпересекает прямую Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникпересечь третьей прямой Что такое невырожденный треугольник, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Что такое невырожденный треугольника и Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: На рисунке 205 прямая Что такое невырожденный треугольникявляется секущей прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Если Что такое невырожденный треугольник(рис. 206), то параллельность прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникследует из теоремы 13.1.

Что такое невырожденный треугольник

Пусть теперь прямая Что такое невырожденный треугольникне перпендикулярна ни прямой Что такое невырожденный треугольник, ни прямой Что такое невырожденный треугольник. Отметим точку Что такое невырожденный треугольник— середину отрезка Что такое невырожденный треугольник(рис. 207). Через точку Что такое невырожденный треугольникпроведем перпендикуляр Что такое невырожденный треугольникк прямой Что такое невырожденный треугольник. Пусть прямая Что такое невырожденный треугольникпересекает прямую Что такое невырожденный треугольникв точке Что такое невырожденный треугольник. Имеем: Что такое невырожденный треугольникпо условию; Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как вертикальные.

Следовательно, Что такое невырожденный треугольникпо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Что такое невырожденный треугольник. Мы показали, что прямые Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникперпендикулярны прямой Что такое невырожденный треугольник, значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: На рисунке 208 прямая Что такое невырожденный треугольникявляется секущей прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольник.

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Что такое невырожденный треугольник. Тогда Что такое невырожденный треугольник. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Что такое невырожденный треугольник.

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: На рисунке 209 прямая Что такое невырожденный треугольникявляется секущей прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Докажем, что Что такое невырожденный треугольник.

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Что такое невырожденный треугольник. ▲

Что такое невырожденный треугольник

Пример №31

На рисунке 210 Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Докажите, что Что такое невырожденный треугольник.

Решение:

Рассмотрим Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник. Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник— по условию. Что такое невырожденный треугольник— общая сторона. Значит, Что такое невырожденный треугольникпо двум сторонам и углу между ними. Тогда Что такое невырожденный треугольник. Кроме того, Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— накрест лежащие при прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольники секущей Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник.

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

Что такое невырожденный треугольник

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник Что такое невырожденный треугольник. Требуется доказать, что Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Через вершину Что такое невырожденный треугольникпроведем прямую Что такое невырожденный треугольник, параллельную прямой Что такое невырожденный треугольник(рис. 245). Имеем: Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны как накрест лежащие при параллельных прямых Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольники секущей Что такое невырожденный треугольник. Аналогично доказываем, что Что такое невырожденный треугольник. Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольник.

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Что такое невырожденный треугольник.

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 Что такое невырожденный треугольник— внешний. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник.

Очевидно, что Что такое невырожденный треугольник. Та как Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольник, отсюда Что такое невырожденный треугольник.

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого Что такое невырожденный треугольник. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник(рис. 247).

Поскольку Что такое невырожденный треугольник, то на стороне Что такое невырожденный треугольникнайдется такая точка Что такое невырожденный треугольник, что Что такое невырожденный треугольник. Получили равнобедренный треугольник Что такое невырожденный треугольник, в котором Что такое невырожденный треугольник.

Так как Что такое невырожденный треугольник— внешний угол треугольника Что такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольник. Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Что такое невырожденный треугольник

Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого Что такое невырожденный треугольник. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

Поскольку Что такое невырожденный треугольник, то угол Что такое невырожденный треугольникможно разделить на два угла Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниктак, что Что такое невырожденный треугольник(рис. 248). Тогда Что такое невырожденный треугольник— равнобедренный с равными сторонами Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник.

Используя неравенство треугольника, получим: Что такое невырожденный треугольник.

Пример №34

Медиана Что такое невырожденный треугольниктреугольника Что такое невырожденный треугольникравна половине стороны Что такое невырожденный треугольник. Докажите, что Что такое невырожденный треугольник— прямоугольный.

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

По условию Что такое невырожденный треугольник(рис. 249). Тогда в треугольнике Что такое невырожденный треугольник. Аналогично Что такое невырожденный треугольник, и в треугольнике Что такое невырожденный треугольник. В Что такое невырожденный треугольник: Что такое невырожденный треугольник. Учитывая, что Что такое невырожденный треугольникЧто такое невырожденный треугольник, имеем:

Что такое невырожденный треугольник.

Следовательно, Что такое невырожденный треугольник— прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник Что такое невырожденный треугольник, у которого Что такое невырожденный треугольник.

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Что такое невырожденный треугольник

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Что такое невырожденный треугольник

Доказательство: Рассмотрим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, у которых Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник(рис. 256). Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник.

Расположим треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниктак, чтобы вершина Что такое невырожденный треугольниксовместилась Что такое невырожденный треугольниквершиной Что такое невырожденный треугольниквершина Что такое невырожденный треугольник— с вершиной Что такое невырожденный треугольник, а точки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольниклежали в разных полуплоскостях относительно прямой Что такое невырожденный треугольник(рис. 257).

Что такое невырожденный треугольник

Имеем: Что такое невырожденный треугольник. Значит, угол Что такое невырожденный треугольник— развернутый, и тогда точки Что такое невырожденный треугольниклежат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник Что такое невырожденный треугольникс боковыми сторонами Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник, и высотой Что такое невырожденный треугольник(рис. 257). Тогда Что такое невырожденный треугольник— медиана этого треугольника, и Что такое невырожденный треугольник Что такое невырожденный треугольникСледовательно, Что такое невырожденный треугольникпо третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Что такое невырожденный треугольник

Решение:

В треугольниках Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник(рис. 258) Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольникотрезки Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольник— биссектрисы, Что такое невырожденный треугольник.

Так как Что такое невырожденный треугольник

Что такое невырожденный треугольник

то прямоугольные треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны по гипотенузе и острому углу. Тогда Что такое невырожденный треугольники прямоугольные треугольники Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

Что такое невырожденный треугольник

На рисунке 267 отрезок Что такое невырожденный треугольник— перпендикуляр, отрезок Что такое невырожденный треугольник— наклонная, Что такое невырожденный треугольник. Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, в котором Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник.

Что такое невырожденный треугольник

На прямой Что такое невырожденный треугольникотложим отрезок Что такое невырожденный треугольник, равный отрезку Что такое невырожденный треугольник(рис. 268). Тогда Что такое невырожденный треугольникпо двум катетам. Действительно, стороны Что такое невырожденный треугольники Что такое невырожденный треугольникравны по построению, Что такое невырожденный треугольник— общая сторона этих треугольников и Что такое невырожденный треугольник. Тогда Что такое невырожденный треугольник. Отсюда Что такое невырожденный треугольник. Следовательно, Что такое невырожденный треугольники треугольник Что такое невырожденный треугольник— равносторонний. Значит,

Что такое невырожденный треугольник

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник Что такое невырожденный треугольник, в котором Что такое невырожденный треугольник, Что такое невырожденный треугольник. Надо доказать, что Что такое невырожденный треугольник. На прямой Что такое невырожденный треугольникотложим отрезок Что такое невырожденный треугольник, равный отрезку Что такое невырожденный треугольник(рис. 268). Тогда Что такое невырожденный треугольник. Кроме того, отрезок Что такое невырожденный треугольникявляется медианой и высотой треугольника Что такое невырожденный треугольник, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника Что такое невырожденный треугольник. Теперь ясно, что Что такое невырожденный треугольники треугольник Что такое невырожденный треугольник— равносторонний. Так как отрезок Что такое невырожденный треугольник— биссектриса треугольника Что такое невырожденный треугольник, то Что такое невырожденный треугольник.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Геометрические фигуры и их свойства
  • Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d2e3a075e9f5aae • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Поделиться или сохранить к себе: