Числовая окружность в егэ

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Числовая окружность в егэ

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

    Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, тригонометрический круг :

    Числовая окружность в егэ

    Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом + показать

    Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

    Числовая окружность в егэТригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

    Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

    Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

    Нас выручит тригонометрический круг ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

    К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, Числовая окружность в егэградусов, или Числовая окружность в егэ.

    Числовая окружность в егэ

    Никак. можно, конечно, подключить формулы приведения… А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

    А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.

    Знакомство с тригонометрическим кругом

    Давайте по порядку.

    Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

    Числовая окружность в егэ

    Числовая окружность в егэ

    И, наконец, такой:

    Числовая окружность в егэ

    Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит Числовая окружность в егэ, на втором месте стоит Числовая окружность в егэ, а на последнем – Числовая окружность в егэ. То есть нас будет больше интересовать цепочка Числовая окружность в егэ.

    Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

    И зачем оно нам?

    Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

    Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

    От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы Числовая окружность в егэ.

    Числовая окружность в егэПолучаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

    Это почему же, спросите вы?

    Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

    Числовая окружность в егэ

    Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем Числовая окружность в егэ. А мы знаем, что против угла в Числовая окружность в егэлежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть Числовая окружность в егэ).

    Значит, АВ= Числовая окружность в егэ(а следовательно, и ОМ=Числовая окружность в егэ). А по теореме Пифагора Числовая окружность в егэ

    Числовая окружность в егэ

    Надеюсь, уже что-то становится понятно?

    Числовая окружность в егэ

    Числовая окружность в егэ

    Так вот точка В и будет соответствовать значению Числовая окружность в егэ, а точка М – значению Числовая окружность в егэ

    Аналогично с остальными значениями первой четверти.

    Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . Про тангенс и котангенс позже.

    Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

    Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг , без которого никуда в тригонометрии.

    Числовая окружность в егэ

    А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Числовая окружность

    В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac, frac, frac, 10π, -frac)) разбирается в этой статье .

    Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

    1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

    2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

    3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

    4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

    Числовая окружность в егэ

    Почему окружность называется числовой?
    Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

    Числовая окружность в егэ Числовая окружность в егэ

    Зачем знать, что такое числовая окружность?
    С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

    Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
    Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

    Числовая окружность в егэ

    Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

    Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

    Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

    А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
    Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

    Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
    Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

    Числовая окружность в егэ

    Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

    Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

    Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

    Числовая окружность в егэ

    Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

    Числовая окружность в егэ

    При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
    1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
    Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

    Числовая окружность в егэ

    2. Где будут отрицательные числа?
    Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

    Числовая окружность в егэ

    К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac),(-frac),(frac), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

    Числовая окружность в егэ

    Видео:Тригонометрия с нуля до ЕГЭ за 6 часов | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

    Тригонометрия с нуля до ЕГЭ за 6 часов | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

    Главное свойство числовой окружности

    Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

    Числовая окружность в егэ

    Такая вот математическая полигамия.

    И следствие из этого правила:

    Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

    Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

    В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

    Что надо запомнить про числовую окружность:

    📹 Видео

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    Тригонометрическая окружность. Задание 13 | Математика ЕГЭ | УмскулСкачать

    Тригонометрическая окружность. Задание 13 | Математика ЕГЭ | Умскул

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

    Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1Скачать

    Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1

    Вся тригонометрия к ЕГЭ за 20 минут | Математика ЕГЭ — Эрик ЛегионСкачать

    Вся тригонометрия к ЕГЭ за 20 минут | Математика ЕГЭ — Эрик Легион

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

    Числовая окружность | Алгебра 10 класс #8 | ИнфоурокСкачать

    Числовая окружность | Алгебра 10 класс #8 | Инфоурок

    Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать

    Формулы приведения с нуля за 15 минут!

    10 класс - Алгебра - Числовая окружностьСкачать

    10 класс - Алгебра - Числовая окружность

    Числовая окружность на координатной плоскости | Алгебра 10 класс #10 | ИнфоурокСкачать

    Числовая окружность на координатной плоскости | Алгебра 10 класс #10 | Инфоурок

    Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать

    Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔

    Тригонометрия | Математика ЕГЭ 10 класс | УмскулСкачать

    Тригонометрия | Математика ЕГЭ 10 класс | Умскул

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности
    Поделиться или сохранить к себе: