Чему равна хорда стягивающая окружность

Как посчитать хорду окружности

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Онлайн калькулятор

Чему равна хорда стягивающая окружность

Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)

Как посчитать длину хорды (градусы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Как посчитать длину хорды (радианы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Теория

Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?

Формула

Пример

Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства

Чему равна хорда стягивающая окружностьХорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Видео:Геометрия Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающиеСкачать

Геометрия Докажите, что если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. Чему равна хорда стягивающая окружностьЕсли расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. Чему равна хорда стягивающая окружностьЕсли описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. Чему равна хорда стягивающая окружностьЕсли стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. Чему равна хорда стягивающая окружностьЕсли углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. Чему равна хорда стягивающая окружностьДве равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Видео:Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Чему равна хорда стягивающая окружностьОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Чему равна хорда стягивающая окружностьСвойства хорд и дуг окружности
Чему равна хорда стягивающая окружностьТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Чему равна хорда стягивающая окружностьДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Чему равна хорда стягивающая окружностьТеорема о бабочке

Чему равна хорда стягивающая окружность

Видео:Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЧему равна хорда стягивающая окружность
КругЧему равна хорда стягивающая окружность
РадиусЧему равна хорда стягивающая окружность
ХордаЧему равна хорда стягивающая окружность
ДиаметрЧему равна хорда стягивающая окружность
КасательнаяЧему равна хорда стягивающая окружность
СекущаяЧему равна хорда стягивающая окружность
Окружность
Чему равна хорда стягивающая окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЧему равна хорда стягивающая окружность

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЧему равна хорда стягивающая окружность

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЧему равна хорда стягивающая окружность

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЧему равна хорда стягивающая окружность

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЧему равна хорда стягивающая окружность

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЧему равна хорда стягивающая окружность

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЧему равна хорда стягивающая окружностьДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЧему равна хорда стягивающая окружностьЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЧему равна хорда стягивающая окружностьБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЧему равна хорда стягивающая окружностьУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЧему равна хорда стягивающая окружностьДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Чему равна хорда стягивающая окружность

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЧему равна хорда стягивающая окружность

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЧему равна хорда стягивающая окружность

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЧему равна хорда стягивающая окружность

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЧему равна хорда стягивающая окружность

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЧему равна хорда стягивающая окружность

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЧему равна хорда стягивающая окружность

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Чему равна хорда стягивающая окружность

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЧему равна хорда стягивающая окружность
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЧему равна хорда стягивающая окружность
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЧему равна хорда стягивающая окружность
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЧему равна хорда стягивающая окружность

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Чему равна хорда стягивающая окружность

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Пересекающиеся хорды
Чему равна хорда стягивающая окружность
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Чему равна хорда стягивающая окружность
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Чему равна хорда стягивающая окружность
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Чему равна хорда стягивающая окружность
Пересекающиеся хорды
Чему равна хорда стягивающая окружность

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Чему равна хорда стягивающая окружность

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Видео:Геометрия Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена касательная к окружностиСкачать

Геометрия Хорда окружности равна 10 см. Через один  конец хорды проведена касательная к окружности

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Тогда справедливо равенство

Чему равна хорда стягивающая окружность

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Чему равна хорда стягивающая окружность

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Чему равна хорда стягивающая окружность

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Чему равна хорда стягивающая окружность

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Чему равна хорда стягивающая окружность

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Чему равна хорда стягивающая окружность

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Чему равна хорда стягивающая окружность

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Чему равна хорда стягивающая окружность

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🔥 Видео

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Геометрия Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5Скачать

Геометрия Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: