C равна радиусу описанной около него окружности

Сторона AB тупоугольного треугольника ABC

27922. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

C равна радиусу описанной около него окружности

Построим эскиз, обозначим центр окружности, центральный и вписанный угол опирающиеся на хорду АВ:

C равна радиусу описанной около него окружности

Так как АВ равна радиусу описанной окружности, то треугольник АОВ равносторонний и центральный угол АОВ равен 60 градусам. Значит вписанный угол

C равна радиусу описанной около него окружности

По свойству четырёхугольника вписанного в окружность

Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)

C равна радиусу описанной около него окружности

Сторона AB треугольника ABC c тупым углом C равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов:

C равна радиусу описанной около него окружности

Поскольку угол C тупой, а его синус равен C равна радиусу описанной около него окружностиэто угол 150°.

Приведём другое решение.

Пусть точка О — центр окружности, тогда ОА и ОВ — ее радиусы. Треугольник АОВ равносторонний, поэтому угол АОВ равен 60°. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, поэтому дуга АСВ равна 60°. Следовательно, вписанный угол АСВ опирается на дугу 360° − 60° = 300°. Тем самым угол АСВ равен 150°.

Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

Теорема синусов

C равна радиусу описанной около него окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

C равна радиусу описанной около него окружности

Формула теоремы синусов:

C равна радиусу описанной около него окружности

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

C равна радиусу описанной около него окружности

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    C равна радиусу описанной около него окружности

C равна радиусу описанной около него окружности
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
C равна радиусу описанной около него окружности

  • C равна радиусу описанной около него окружности
    bc sinα = ca sinβ
    C равна радиусу описанной около него окружности
  • Из этих двух соотношений получаем:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

    №706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    C равна радиусу описанной около него окружности

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140Скачать

    Задача 6 №27923 ЕГЭ по математике. Урок 140

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    C равна радиусу описанной около него окружности
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    C равна радиусу описанной около него окружности

    C равна радиусу описанной около него окружности

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

    Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    C равна радиусу описанной около него окружности

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    🎬 Видео

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Как решить задачу 324868 ОГЭ по математике 2023Скачать

    Как решить задачу 324868 ОГЭ по математике 2023

    Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

    Задание 24 ОГЭ по математике #7

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

    Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133Скачать

    Задача 6 №27916 ЕГЭ по математике. Урок 133

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Радиус описанной около треугольника окружностиСкачать

    Радиус описанной около треугольника окружности

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать

    Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него

    Задание 16 ЕГЭ по математике #9Скачать

    Задание 16 ЕГЭ по математике #9

    ✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Радиус описанной окружности | ЕГЭ. Задание 1. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин

    2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

    2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB
    Поделиться или сохранить к себе: