Биссектриса в прямоугольном треугольнике является

Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.

Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.

Видео:биссектриса прямоугольного треугольника #SHORTSСкачать

Что такое биссектриса в геометрии

Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).

Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 90 0 .

Видео:Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?Скачать

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.

Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

Площадь описанного многоугольника равна:

где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;

6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Все формулы биссектрисы в треугольнике

В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, l_c, равна:

Видео:Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | МатематикаСкачать

Примеры решения задач

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.

Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.

Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.

Это означает, что CA : AB = 1 : 2.

Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.

Задача №2

Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.

По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:№411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точкуСкачать

Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:

Свойство 2

Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:

• l_a – биссектриса к катету;
• α – острый угол, из которого проведена биссектриса.

Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:

Примечания:

• Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным, и в этом случае к нему, в т.ч., применимы свойства биссектрисы равнобедренного треугольника.
• Общие свойства биссектрисы в любом треугольнике представлены в нашей публикации – “Определение и свойства биссектрисы угла треугольника”.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Примеры задач

Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.

Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).

Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, c = 15 см.

Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы:

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.

Доказательство

Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC) , (O) – точка пересечения (AD) и (BE) .

(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC) , тогда (DEparallel AB) , значит (angle ADE = angle BAD) , (angle BED = angle ABE) , следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников (ABO) и (DOE) : (dfrac = dfrac = dfrac) .

Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_ = 0,5cdot ACcdot h) .

Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC) , тогда (AD = DC) .

(S_ = 0,5cdot ADcdot h) ,

(S_ = 0,5cdot DCcdot h) .

Так как (AD = DC) , то (S_ = S_) , что и требовалось доказать.

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC) , где (M) – середина гипотенузы (AC) .

Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD) . Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M) , причем (AM=MC=BM=MD) , чтд.

2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC) , то (angle B=90^circ) .

Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta) .

Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ) , то для (triangle ABC) :

(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ) , чтд.

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac<S_><S_> = dfrac = dfrac]

В итоге (dfrac = dfrac<S_><S_> = dfrac) , откуда (dfrac = dfrac) , что и требовалось доказать.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

1) Докажем, что если (KA=KB) , то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK) : они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK) , чтд.

2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB) .
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB) , чтд.

💥 Видео

БИССЕКТРИСА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. Математику не обманешь!Скачать

Прямоугольный треугольник. Часть 3. Биссектриса | Борис Трушин #shortsСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Геометрия Найдите площадь прямоугольного треугольника если биссектриса прямого угла делит гипотенузуСкачать

Геометрия В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузыСкачать

Медиана, биссектриса и высота. Прямоугольный треугольник.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

ЕГЭ Математика. Угол между медианой и биссектрисой в прямоугольном треугольникеСкачать