Задание 9. Биссектриса равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите его сторону.
В равностороннем треугольнике все стороны равны, а биссектриса является также медианой и высотой h (см. рисунок).
Из рисунка видно, что сторону 
равностороннего треугольника можно найти из прямоугольного треугольника, в котором один катет является высотой h, второй – половина основания, равная a/2, к которому проведена высота, а роль гипотенузы будет играть сторона треугольника, равная a. Таким образом, по теореме Пифагора, можно записать равенство:
,
откуда выразим сторону треугольника:
Подставим вместо h=12√3, получим квадрат стороны треугольника:
и сторона равна
.
Задание 10. В треугольнике ABC известно, что AC = 7, BC = 24, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника лежит в центре его гипотенузы. В задаче даны катеты прямоугольного треугольника с длинами 7 и 24 соответственно. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы, получим:
.
Таким образом, радиус описанной окружности равен
.
Биссектриса равностороннего треугольника равна 12 корней из 3 . Найдите сторону
Биссектриса равностороннего треугольника равна 12 корней из 3 . Найдите сторону этого треугольника.
- Valerij Lachevskij
- Геометрия 2019-01-21 09:23:40 3 1
В равностороннем треугольнике все стороны одинаковы меж собой, все углы одинаковы 60. а биссектриса является и медианой и вышиной. Поэтому она разделяет таковой треугольник на два одинаковых прямоугольных.
Примем сторону треугольника равной а. Тогда высота — один катет, половина стороны — другой катет, сторона — гипотенуза.
По т.Пифагора а=(a/2)+h
откуда а=4h/3
Заменив в этом выражение h на 123, получим
а =412*3/3=412 , откуда
а=(412*)=212=24 (ед. длины)
Биссектриса (медиана, вышина) равностороннего треугольника h=аsin60, откуда
a=h:sin60
a=123:(3/2)=24
Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.
Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.
Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
Свойство 1
Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.
BD – биссектриса угла ABC, которая также является:
- высотой, опущенной на сторону AC;
- медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);
Свойство 2
Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.
Свойство 3
Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойство 4
Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.
- r – радиус вписанной окружности;
- R – радиус описанной окружности;
- R = 2r.
Свойство 5
Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.
Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.
Свойство 6
Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.
- AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
- BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
- CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.
Свойство 7
Длину биссектрисы ( la ) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.
где a – сторона треугольника.
Пример задачи
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.
Решение
Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).
Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):