Биссектриса медиана прямоугольного треугольника (5 видео)

Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов прямой ( ).

Для нахождения параметров прямоугольного треугольника можно пользоваться тем, что он остаётся треугольником. Т.е. все формульные зависимости, характеризующие произвольный треугольник, применимы и для прямоугольного, однако то, что наш объект именно прямоугольный треугольник, даёт несколько новых возможностей для расчёта (рис. 1).

У такого треугольника вводятся собственные обозначения: так стороны, содержащие (примыкающие) к прямому углу, называются катетами ( и ), а сторона, находящаяся против угла в , называется гипотенузой ( ). Наиболее часто используемым соотношением для прямоугольного треугольника является теорема Пифагора, связывающая катеты треугольника с гипотенузой.

Кроме того, в данном треугольнике можно по-другому найти высоты, биссектрисы и медианы.

биссектриса через гипотенузу и один из углов

биссектриса через катет и один из углов

биссектриса через катет и гипотенузу

медиана через катеты (следствие т. Пифагора)

медиана через катет и один из углов

высота через гипотенузу и углы

Рис. 2. Прямоугольный треугольник (тригонометрия)

Кроме того, на основании прямоугольного треугольника вводятся понятия ряда тригонометрических функций (рис. 2)

Синусом угла альфа ( ) называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинусом угла альфа ( ) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенсом угла альфа ( ) называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенсом угла альфа ( ) называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки на отрезок , зато можем опустить его на прямую — то есть на продолжение стороны .

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол равен ) пересекаются в точке .

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник — прямоугольный, то .

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть — высота, проведенная из вершины прямого угла , — биссектриса угла .

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника (угол — прямой) найдем угол . Он равен .

Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .

В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :

4. В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .

Из треугольника получим, что .

5. В треугольнике угол равен , угол равен . , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Найдем угол . Он равен .

Из треугольника найдем угол . Он равен .

6. В треугольнике , — медиана, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1) , считая от вершины.

Доказательство

Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC) , (O) – точка пересечения (AD) и (BE) .

(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC) , тогда (DEparallel AB) , значит (angle ADE = angle BAD) , (angle BED = angle ABE) , следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников (ABO) и (DOE) : (dfrac = dfrac = dfrac) .

Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_ = 0,5cdot ACcdot h) .

Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC) , тогда (AD = DC) .

(S_ = 0,5cdot ADcdot h) ,

(S_ = 0,5cdot DCcdot h) .

Так как (AD = DC) , то (S_ = S_) , что и требовалось доказать.

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

Доказательство

1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC) , где (M) – середина гипотенузы (AC) .

Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD) . Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M) , причем (AM=MC=BM=MD) , чтд.

2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC) , то (angle B=90^circ) .

Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta) .

Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ) , то для (triangle ABC) :

(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ) , чтд.

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac<S_><S_> = dfrac = dfrac]

В итоге (dfrac = dfrac<S_><S_> = dfrac) , откуда (dfrac = dfrac) , что и требовалось доказать.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

Доказательство

1) Докажем, что если (KA=KB) , то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK) : они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK) , чтд.

2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB) .
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB) , чтд.