Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином Ньютона
Бином ньютона или треугольник паскаляФормула бинома Ньютона
Бином ньютона или треугольник паскаляСвязь бинома Ньютона с треугольником Паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаляСвойства биномиальных коэффициентов

Бином ньютона или треугольник паскаля

Видео:Бином Ньютона и его свойства. 9 класс.Скачать

Бином Ньютона и его свойства. 9 класс.

Формула бинома Ньютона

В Таблице 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения» приведены формулы для натуральных степеней бинома

в случаях, когда n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

В настоящем разделе рассматривается общий случай этой формулы, т.е. случай произвольного натурального значения n .

Утверждение . Для любого натурального числа n и любых чисел x и y справедлива формула бинома Ньютона :

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

– числа сочетаний из n элементов по k элементов.

В формуле (1) слагаемые

Бином ньютона или треугольник паскаля

называют членами разложения бинома Ньютона , а числа сочетаний Бином ньютона или треугольник паскаля– коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами .

Если в формуле (1) заменить y на – y , то мы получим формулу для n — ой степени разности:

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля

Связь бинома Ньютона с треугольником Паскаля

Напомним, что треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля
01
11 1
21 2 1
31 3 3 1
41 4 6 4 1
51 5 10 10 5 1
61 6 15 20 15 6 1

Поскольку числа, составляющие треугольник Паскаля, являются биномиальными коэффициентами, то треугольник Паскаля можно переписать в другом виде:

Треугольник Паскаля
0Бином ньютона или треугольник паскаля
1Бином ньютона или треугольник паскаля
2Бином ньютона или треугольник паскаля
3Бином ньютона или треугольник паскаля
4Бином ньютона или треугольник паскаля
5Бином ньютона или треугольник паскаля
6Бином ньютона или треугольник паскаля
Треугольник Паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Треугольник Паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля
Бином ньютона или треугольник паскаля

Видео:Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020Скачать

Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020

Свойства биномиальных коэффициентов

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

Докажем сначала равенство 1.

Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером 2 , между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

что и требовалось.

Для доказательства равенства 2 положим в формуле бинома Ньютона (1) x = 1, y = 1.

Если же в формуле бинома Ньютона (1) взять x = 1, y = –1, то получится равенство 3.

Перейдем к доказательству равенства 4. С этой целью положим в формуле бинома Ньютона (1) y = 1

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Воспользовавшись очевидным равенством

Бином ньютона или треугольник паскаля

перепишем формулу (3) в другом виде

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим равенство:

Бином ньютона или треугольник паскаля

Бином ньютона или треугольник паскаля

Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при x n в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

Видео:Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |Скачать

Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |

Конспект на тему «Бином Ньютона. Треугольник Паскаля» (для студентов)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля

Мы познакомимся с формулой бинома Ньютона. Выясним, что эта формула согласуется с формулами квадрата и куба суммы и разности. Рассмотрим, как использовать формулу бинома Ньютона при увеличении показателя степени , выясним, какое отношение имеет треугольник Паскаля к биному Ньютона. Рассмотрим примеры, с использованием бинома Ньютона и треугольника Паскаля.

Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена Бином ньютона или треугольник паскаляв многочлен. Каждый из нас изучал наизусть формулы «квадрата суммы» Бином ньютона или треугольник паскаляи «куба суммы» Бином ньютона или треугольник паскаля, но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности.

Чтобы не совершить ошибку и применяется формула бинома Ньютона и треугольник Паскаля.

Формула бинома Ньютона для натуральных n имеет вид:

Бином ньютона или треугольник паскаля

где числа Бином ньютона или треугольник паскаля– называют биномиальными коэффициентами.

Бином ньютона или треугольник паскаля– формула для числа сочетаний, Бином ньютона или треугольник паскаля .

К примеру, известная формула сокращенного умножения «квадрат суммы» вида:

Бином ньютона или треугольник паскаляесть частный случай бинома Ньютона при n=2.

Выражение, которое находится в правой части формулы бинома Ньютона, называют разложением выражения Бином ньютона или треугольник паскаля

Запомнить формулу действительно непросто. Но попытаемся её проанализировать.

Видно, что в любом многочлене присутствуют Бином ньютона или треугольник паскаляи Бином ньютона или треугольник паскаляс коэффициентами 1. Ясно также, что всякий иной член многочлена выглядит как произведение определённых степеней каждого из слагаемых двучлена Бином ньютона или треугольник паскаля ), причём сумма степеней всегда равна n.

Например, в выражении Бином ньютона или треугольник паскалясумма степеней сомножителей во всех членах равна трём (3, 2+1, 1+2, 3). То же самое справедливо и для любой другой степени. Вопрос лишь в том, какие коэффициенты следует ставить при членах.

Видимо, для того чтобы облегчить труд обучающихся, великий французский математик и физик Блез Паскаль триста пятьдесят лет назад придумал специальный инструмент для определения этих самых коэффициентов — «треугольник Паскаля»

Биномиальные коэффициенты для различных n удобно представлять в виде таблицы, которая называется арифметический треугольник Паскаля.

В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Видео:БИНОМ Ньютона | треугольник ПаскаляСкачать

БИНОМ Ньютона | треугольник Паскаля

Бином Ньютона

Видео:Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник ПаскаляСкачать

Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник Паскаля

Бином Ньютона — формула

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n , где имеем, что C n k = ( n ) ! ( k ) ! · ( n — k ) ! = n ( n — 1 ) · ( n — 2 ) · . . . · ( n — ( k — 1 ) ) ( k ) ! — биномиальные коэффициенты, где есть n по k , k = 0 , 1 , 2 , … , n , а » ! » является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a + b 2 = C 2 0 · a 2 + C 2 1 · a 1 · b + C 2 2 · b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n = 2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ( a + b ) n , а С n k · a n — k · b k — ( k + 1 ) -ым членом разложения, где k = 0 , 1 , 2 , … , n .

Видео:#219. БИНОМ НЬЮТОНА ДЛЯ ЧАЙНИКОВСкачать

#219. БИНОМ НЬЮТОНА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

1Бином ньютона или треугольник паскаля
2
Показатель степениБиноминальные коэффициенты
0C 0 0
1C 1 0C 1 1
2C 2 0C 2 1C 2 2
3C 3 0C 3 1C 3 2C 3 3
nC n 0C n 1C n n — 1C n n

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степениБиноминальные коэффициенты
01
111
2121
31331
414641
515101051
nC n 0C n 1C n n — 1C n n

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

  • коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле C n p = C n n — p , где р = 0 , 1 , 2 , … , n ;
  • C n p = C n p + 1 = C n + 1 p + 1 ;
  • биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . + C n n = 2 n ;
  • при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

  1. Проверка справедливости разложения при n = 3 . Имеем, что
    a + b 3 = a + b a + b a + b = a 2 + a b + b a + b 2 a + b = = a 2 + 2 a b + b 2 a + b = a 3 + 2 a 2 b + a b 2 + a 2 b + 2 a b + b 3 = = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 = C 3 0 a 3 + C 3 1 a 2 b + C 3 2 a b 2 + C 3 3 b 3
  2. Если неравенство верно при n — 1 , тогда выражение вида a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1
  1. Доказательство равенства a + b n — 1 = C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1 , основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

a + b n = a + b a + b n — 1 = = ( a + b ) C n — 1 0 · a n — 1 · C n — 1 1 · a n — 2 · b · C n — 1 2 · a n — 3 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 2 + C n — 1 n — 1 · b n — 1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим a + b n = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 · a n — 1 · b + C n — 1 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n — 1 n — 2 · a 2 · b n — 2 + + C n — 1 n — 1 · a · b n — 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + C n — 1 2 · a n — 3 · b 3 + . . . + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Производим группировку слагаемых

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 + C n — 1 n — 1 · b n

Имеем, что C n — 1 0 = 1 и C n 0 = 1 , тогда C n — 1 0 = C n 0 . Если C n — 1 n — 1 = 1 и C n n = 1 , тогда C n — 1 n — 1 = C n n . При применении свойства сочетаний C n p + C n p + 1 = C n + 1 p + 1 , получаем выражение вида

C n — 1 1 + C n — 1 0 = C n 1 C n — 1 2 + C n — 1 1 = C n 2 ⋮ C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 = C n n — 1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a + b n = = C n — 1 0 · a n + C n — 1 1 + C n — 1 0 · a n — 1 · b + C n — 1 2 + C n — 1 1 · a n — 2 · b 2 + . . . + + C n — 1 n — 1 + C n — 1 n — 2 · a · b n — 1 = C n — 1 n — 1 · b n

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n — 1 · b + C n 2 · a n — 2 · b 2 + . . . + C n n — 1 · a · b n — 1 + C n n · b n .

📹 Видео

✓ Бином Ньютона. Игра в слова. Числа сочетаний | Комбинаторика | Ботай со мной #057 | Борис ТрушинСкачать

✓ Бином Ньютона. Игра в слова. Числа сочетаний | Комбинаторика | Ботай со мной #057 | Борис Трушин

Бином Ньютона и треугольник ПаскаляСкачать

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022

Бином Ньютона максимально простым языкомСкачать

Бином Ньютона максимально простым языком

Применение формулы бинома Ньютона и треугольника ПаскаляСкачать

Применение формулы бинома Ньютона и треугольника Паскаля

Бином Ньютона. 10 класс.Скачать

Бином Ньютона. 10 класс.

Зачем нужен треугольник Паскаля (спойлер: для формул сокращённого умножения)Скачать

Зачем нужен треугольник Паскаля (спойлер: для формул сокращённого умножения)

Треугольник Паскаля Python. Коэффициенты для Бинома НьютонаСкачать

Треугольник Паскаля Python. Коэффициенты для Бинома Ньютона

Бином Ньютона.Треугольник Паскаля.Скачать

Бином Ньютона.Треугольник Паскаля.

Бином Ньютона. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Бином Ньютона. Практическая часть. 10 класс.

Урок 10. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Алгебра 11 класс.Скачать

Урок 10. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Алгебра 11 класс.

Бином Ньютона и треугольник ПаскаляСкачать

Бином Ньютона и треугольник Паскаля
Поделиться или сохранить к себе: