Арифметический треугольник еще называют треугольником (6 видео)

Треугольник Паскаля. Свойства треугольника Паскаля

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями. Одним из них является Блез Паскаль. Его творческая биография еще раз подтверждает истинность выражения Лиона Фейхтвангера «Талантливый человек, талантлив во всем». Все научные достижения этого великого ученого трудно перечесть. К их числу относится одно из самых элегантных изобретений в мире математики — треугольник Паскаля.

Содержание

Несколько слов о гении
Арифметический треугольник Паскаля
Немного истории
Описание
Основные свойства
Связь с биномом Ньютона
Математические чудеса
Треугольник Серпинского
Несколько интересных задач
Вариации на тему «Треугольник Паскаля»
Вариации на тему «Треугольник Паскаля»
Треугольник Паскаля
🔥 Видео

Видео:Виды треугольниковСкачать

Несколько слов о гении

Блез Паскаль по современным меркам умер рано, в возрасте 39 лет. Однако за свою короткую жизнь он проявил себя как выдающийся физик, математик, философ и писатель. Благодарные потомки назвали в его честь единицу давления и популярный язык программирования Pascal. Он уже почти 60 лет используется для обучения написания различных кодов. Например, с его помощью каждый школьник может написать программу для вычисления площади треугольника на «Паскале», а также исследовать свойства схемы, о которой речь пойдет ниже.

Деятельность этого ученого с экстраординарным мышлением охватывает самые разные области науки. В частности, Блез Паскаль является одним из основателей гидростатики математического анализа, некоторых направлений геометрии и теории вероятностей. Кроме того, он:

создал механический калькулятор, известный под названием Паскалева колеса;
представил экспериментальное доказательство того, что воздух обладает упругостью и имеет вес;
установил, что барометр можно использовать для предсказания погоды;
изобрел тачку;
придумал омнибус — конные экипажи с фиксированными маршрутами, ставшие впоследствии первым видом регулярного общественного транспорта и пр.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Арифметический треугольник Паскаля

Как уже было сказано, этот великий французский ученый внес огромный вклад в математическую науку. Одним из его безусловных научных шедевров является «Трактат об арифметическом треугольнике», который состоит из биномиальных коэффициентов, расставленных в определенном порядке. Свойства этой схемы поражают своим разнообразием, а сама она подтверждает пословицу «Все гениальное — просто!».

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Немного истории

Справедливости ради нужно сказать, что на самом деле треугольник Паскаля был известен в Европе еще в начале 16 века. В частности, его изображение можно увидеть на обложке учебника арифметики известного астронома Петра Апиана из Ингольтштадского университета. Похожий треугольник представлен и в качестве иллюстрации в книге китайского математика Ян Хуэй, изданной в 1303 году. О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

Видео:Что скрывает фрактальный треугольник? // Vital MathСкачать

Описание

Прежде чем исследовать интереснейшие свойства треугольника Паскаля, прекрасного в своем совершенстве и простоте, стоит узнать, что он из себя представляет.

Говоря научным языком, эта числовая схема — бесконечная таблица треугольной формы, образованная из биномиальных коэффициентов, расположенных в определенном порядке. В его вершине и по бокам находятся цифры 1. Остальные позиции занимают числа, равные сумме двух чисел, расположенных над ними рядом выше. При этом все строки треугольника Паскаля симметричны относительно его вертикальной оси.

Видео:Виды треугольниковСкачать

Основные свойства

Треугольник Паскаля поражает своим совершенством. Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

первое и последнее числа — 1;
второе и предпоследнее — n;
третье число равно треугольному числу (количеству кружков, которые можно расставить в виде равностороннего треугольника, т. е. 1, 3, 6, 10): T_n_-1 = n (n — 1) / 2.
четвертое число является тетраэдрическим, т. е. представляет собой пирамиду с треугольником в основании.

Кроме того, сравнительно недавно, в 1972 году, было установлено еще одно свойство треугольника Паскаля. Для того чтобы его обнаружить, нужно записать элементы этой схемы в виде таблицы со сдвигом строк на 2 позиции. Затем отмечают числа, делящиеся на номер строки. Оказывается, что номер столбца, в котором выделены все числа, является простым числом.

Тот же трюк можно осуществить и по-другому. Для этого в треугольнике Паскаля заменяют числа на остатки от их деления на номер строки в таблице. Затем располагают строки в полученном треугольнике так, чтобы следующая из них начиналась правее на 2 колонки от первого элемента предыдущей. Тогда столбцы, имеющие номера, являющиеся простыми числами, будут состоять только из нулей, а в тех, у которых они составные, будет присутствовать хотя бы один ноль.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Связь с биномом Ньютона

Как известно, так называется формула для разложения на слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, которая имеет вид:

Присутствующие в них коэффициенты равны C_n m = n! / (m! (n — m)!), где m, представляет собой порядковый номер числа в строке n треугольника Паскаля. Иными словами, имея под рукой эту таблицу, можно легко возводить в степень любые числа, предварительно разложив их на два слагаемых.

Таким образом, треугольник Паскаля и бином Ньютона взаимосвязаны самым тесным образом.

Видео:Применение треугольника Паскаля #shortsСкачать

Математические чудеса

При внимательном изучении треугольника Паскаля можно обнаружить, что:

сумма всех чисел в строке с порядковым номером n (отсчет ведется с 0) равна 2 n ;
если строки выровнять по левому краю, то суммы чисел, которые расположены вдоль диагоналей треугольника Паскаля, идущих снизу вверх и слева направо, равны числам Фибоначчи;
первая «диагональ» состоит из натуральных чисел, идущих по порядку;
любой элемент из треугольника Паскаля, уменьшенный на единицу, равен сумме всех чисел, расположенных внутри параллелограмма, который ограничен левыми и правыми диагоналями, пересекающимися на этом числе;
в каждой строке схемы сумма чисел на четных местах равна сумме элементов на нечетных местах.

Видео:ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

Треугольник Серпинского

Такая интересная математическая схема, достаточно перспективная с точки зрения решения сложных задач, получается, если раскрасить четные числа Паскалевого изображения в один цвет, а нечетные — в другой.

Треугольник Серпинского можно выстроить и другим образом:

в закрашенной схеме Паскаля перекрашивают в другой цвет серединный треугольник, который образован путем соединения середин сторон исходного;
точно также поступают с тремя незакрашенными, расположеными в углах;
если процедуру продолжать бесконечно, то в итоге должна получиться двухцветная фигура.

Самое интересное свойство треугольника Серпинского — его самоподобие, так как он состоит из 3-х своих копий, которые уменьшены в 2 раза. Оно позволяет отнести эту схему к фрактальным кривым, а они, как показывают новейшие исследования лучше всего подходят для математического моделирования облаков, растений, дельт рек, да и самой Вселенной.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Несколько интересных задач

Где используется треугольник Паскаля? Примеры задач, которые можно решать с его помощью, достаточно разнообразны и относятся к различным областям науки. Рассмотрим некоторые, наиболее интересные из них.

Задача 1. У некоторого большого города, обнесенного крепостной стеной, только одни входные ворота. На первом перекрестке основная дорога расходится на две. То же происходит и на любом другом. В город заходят 210 человек. На каждом из встречающихся перекрестков они делятся пополам. Сколько человек будет находить на каждом перекрестке, когда делиться будет уже невозможно. Ее ответом является 10 строка треугольника Паскаля (формула коэффициентов представлена выше), где по обе стороны от вертикальной оси расположены числа 210.

Задача 2. Имеется 7 наименований цветов. Нужно составить букет из 3 цветков. Требуется выяснить, сколькими различными способами это можно сделать. Эта задача из области комбинаторики. Для ее решения опять же используем треугольник Паскаля и получаем на 7 строке на третьей позиции (нумерация в обоих случаях с 0) число 35.

Теперь вы знаете, что изобрел великий французский философ и ученый Блез Паскаль. Его знаменитый треугольник при правильном использовании может стать настоящей палочкой-выручалочкой для решения множества задач, особенно из области комбинаторики. Кроме того, его возможно использовать для разгадывания многочисленных загадок, связанных с фракталами.

Видео:Как треугольник Паскаля поможет умножать без калькулятораСкачать

Вариации на тему «Треугольник Паскаля»

Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный «Трактат об арифметическом треугольнике».

Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года — даты выхода в свет трактата.

Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.

Изображен треугольник и на иллюстрации книги «Яшмовое зеркало четырех элементов» китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.

Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Свойства треугольника Паскаля

Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1) Все строки Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична) Каждый член строки Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда т — простое число, а n — степень этого простого числа

Треугольные числа
Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные, тетраэдрические и другие числа. Треугольные числа указывают количество шаров или других предметов, уложенных в виде треугольника (эти числа образуют следующую последовательность: 1,3,6,10,15,21. в которой 1- первое треугольное число, 3- второе треугольное число, 6-третье и т. д. до m-ro, которое показывает, сколько членов треугольника Паскаля содержится в первых m его строках — от нулевой до (m-1)-й).

Тетраэдрические числа
Члены последовательности 1,4, 10, 20, 36, 56. называются пирамидальными, или, более точно, тетраэдрическими числами: 1- первое тетраэдрическое число, 4- второе, 10- третье и т. д. до m-ro. Эти числа показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

Числа Фибоначчи
В 1228 году выдающийся итальянский математик Леонардо из Пизы, более известный сейчас под именем Фибоначчи, написал свою знаменитую «Книгу об абаке». Одна из задач этой книги — задача о размножении кроликов — приводила к последовательности чисел 1,1,2,3,5,8,13,21. в которой каждый член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи, члены ряда Фибоначчи называют числами Фибоначчи. Обозначая n-е число Фибоначчи через

Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи. Для доказательства интересующего нас предложения достаточно показать, что сумма всех чисел, составляющих n-ю и (n+1) диоганали треугольника Паскаля равна сумме чисел, составляющих его т+2-ю диагональ.

Биномиальные коэффициенты
Числа, стоящие по горизонтальным строкам, являются биномиальными коэффициентами. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома (1+n)n. Покажем это при помощи операции Паскаля. Но сначала представим, как биномиальные коэффициенты определяются.

Возьмем бином 1+х и начнем возводить его в степени 0, 1, 2, 3 и т. д., располагая получающиеся при этом многочлены по возрастающим степеням буквы х. Мы получим

Вообще, для любого целого неотрицательного числа n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+. +apxp,
где a0,a1. ap

Последнее соотношение можно переписать в виде а из соотношений 1-4 получаем

Образовался треугольник Паскаля, каждый элемент которого

Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.

Решение задач с применением треугольника Паскаля

Старинные задачи о случайном
Еще в глубокой древности появились различные азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы, когда игроки бросали кости животных. Также пользовались популярностью игральные кости — кубики с нанесенными на гранях точками. Позднее азартные игры распространились в средневековой Европе.

Эти игры подарили математикам массу интересных задач, которые потом легли в основу теории вероятностей. Очень популярны были задачи о дележе ставки. Ведь, как правило, игра велась на деньги: игроки делали ставки, а победитель забирал всю сумму. Однако игра иногда прерывалась раньше финала, и возникал вопрос: как разделить деньги.

Многие математики занимались решением этой проблемы, но до середины XVII века так и не нашли его. В 1654 году между французскими математиками Блезом Паскалем, уже хорошо известным нам, и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда комбинаторных задач, в том числе и задач о дележе ставки. Оба ученых, хотя и несколько разными путями, пришли к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выигрыша всей суммы при продолжении игры.

Следует отметить, что до них никто из математиков вероятность событий не вычислял, в их переписке теория вероятностей и комбинаторика впервые были научно обоснованы, и поэтому Паскаль и Ферма считаются основателями теории вероятностей.

Рассмотрим одну из задач Ферма, решенную Паскалем с помощью своей числовой таблицы.

Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В — трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?

Паскаль складывает количество партий, недостающих игрокам, и берет строку таблицы, в которой количество членов равно найденной сумме, т. е. 5. Тогда доля игрока А будет равна сумме трех (по количеству партий, недостающих игроку В) первых членов пятой строки, а доля игрока В — сумме оставшихся двух чисел. Выпишем эту строку: 1,4,6,4, 1. Доля игрока А равна 1+4+6=11, а доля В -1+4=5.

Другие арифметические треугольники

Рассмотрим треугольники, построение которых связано с известными однопараметрическими комбинаторными числами. Создание таких треугольников основано на принципе построения рассматриваемого выше треугольника Паскаля.

Рассмотрим построенный арифметический треугольник. Данный треугольник носит название треугольника Люка, так как суммы чисел, стоящих на восходящих диагоналях, дают последовательность чисел Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / которые могут быть определены как

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Каждый элемент треугольника определяется по правилу Паскаля Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k при начальных условиях L1,0=1, L1,1=2 и L0,k=0

т. е. n-я строка треугольника люка может быть получена сложением n-й и (n-1)-й строк треугольника Паскаля.

Из чисел (fm, n), удовлетворяющих уравнениям
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, где с начальными условиями f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 строится следующий треугольник.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, где fn — n — е число Фибоначчи. Построенный треугольник назван треугольником Фибоначчи.

Рассмотрим еще один треугольник, создание которого основано на методе построения треугольника Паскаля. Это треугольник Трибоначчи. Он назван так потому, что суммы элементов, стоящих на восходящих диагоналях, образуют последовательность чисел Трибоначчи: 1,1,2,4,7,13,24,44. которая может быть определена следующим рекуррентным соотношением: tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn с начальными условиями t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

Построение «знакового треугольника»

Перед нами треугольник, составленный из одних знаков, плюсов и минусов, по принципу образования треугольника Паскаля. В отличие от последнего, он расположен основанием вверх.

Сначала задается первая строка, состоящая из произвольного количества знаков и их расположения. Каждый знак следующей строки получается путем перемножения двух вышестоящих знаков.

Одной из наших задач является установить, при каком количестве знаков первой строки число минусов и плюсов будет одинаковым. Общее количество знаков в таблице можно определить формулой

где n — число знаков в первой строке.

Образуется последовательность чисел, при которых количество минусов и плюсов может быть равным: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16. каждое из которых показывает количество знаков в первой строке. Однако не установлено, при каком расположении знаков число минусов и плюсов будет однозначно одинаковым.

Второй нашей задачей, касающейся треугольника произведения знаков, является установление наименьшего количества плюсов, которое может иметь «знаковый треугольник».

Существует интересная последовательность знаков первой строки: +, -, -, +, -, -, . (или -, -, + ,- ,- ,+ , . ), при которой число плюсов, как до сих пор считается, будет наименьшим и равным 1/3 от общего числа знаков, т. е. равным

Важно заметить, что если постепенно обходить треугольник, то последовательность знаков +, -, -, . сохранится.

Обратим внимание на тот факт, что наименьшее количество плюсов, равное 1/3 от общего числа знаков, можно увидеть и в треугольнике при n = 2.

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Треугольник Паскаля

Каждый из нас с раннего детства прекрасно знаком с такой простой и, на первый взгляд, понятной фигурой, как треугольник. Однако не все знают, что существует еще и совершенно удивительный треугольник, не похожий на все, что нам доводилось видеть раньше, — треугольник Паскаля, названный так в честь великого французского математика и философа Блеза Паскаля, описавшего его в 1653 году в своем «Трактате об арифметическом треугольнике». Несмотря на то, что первые сведения о треугольнике Паскаля относятся к незапамятным временам (Омар Хайам, занимавшийся не только философией, но и математикой, описал его в начале XII века со ссылкой на заимствование из источников, датированных более ранним временем), именно Б. Паскаль был первым, кто смог научно описать его свойства.

Треугольник Паскаля — иными словами, бесконечная числовая таблица, выполненная в форме треугольника, — прост, изящен и велик, как все гениальное: каждое число его равно сумме двух чисел, которые расположены над ним. Нетрудно догадаться, что этот треугольник может быть каким угодно большим — его можно продолжать беспредельно.

Первый ряд чисел (если считать своеобразные «диагонали» от вершины) — это единицы, второй ряд содержит натуральные числа, соответствующие номеру строки расположения числа. Все числа третьего ряда — 1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45 и т.д. представляют собой треугольные числа, которые показывают, какое именно количество предметов (подобно шарам в бильярде) могут в совокупности образовать треугольник. Этот ряд замечателен еще и тем, что каждое его число является суммой натурального ряда чисел, например: 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 или 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 и т.д. Четвертый ряд чисел треугольника Паскаля (1, 4, 10, 20, 35, 56 и т.д.) содержит тетраэдрические (пирамидальные) числа, которые участвуют в воображаемом «строительстве» тетраэдра: на три уже имеющихся шара кладется еще один шар и получается — 4 и т.д. Пятый ряд треугольника, образованный гипертетраэдрическими числами 1, 5, 15, 35, 70 и т.д., поможет получить в воображении (поскольку возможен только в четырехмерном пространстве) гипертетраэдр: один шар объединяется с четырьмя, а те — с десятью и т.д. Еще более невообразимый пятимерный тетраэдр «выстраивается» с помощью чисел шестого ряда треугольника Паскаля: 1, 6, 21, 56, 126 и т.д.

Что касается горизонтальных линий, то все числа этих строк являются биномиальными коэффициентами, имеющими бесценное значение для комбинаторики, теории вероятностей, родоначальником которой в «соавторстве» с Ферма стал Б. Паскаль, и иных математических областей.

Одним из загадочных свойств треугольника Паскаля является быстрота нахождения суммы чисел ряда от начала до нужного нам числа. Для этого необходимо, найдя последнее слагаемое, обратить внимание на число, которое записано снизу и слева (если нумеровать ряды с правой стороны) или справа (если нумеровать ряды с левой стороны) от последнего слагаемого. Например, чтобы узнать, что в сумме дадут нам все числа четвертого ряда от 1 до 56, достаточно, найдя 56, взглянуть, что написано слева внизу: это число 126. Удивительно верно!

Кроме того, не догадываясь о собственном открытии (это было обнаружено только в XIX веке), Паскаль «зашифровал» в треугольнике известные числа последовательности Фибоначчи: 1, 6, 10, 4; 1, 5, 6, 1 и т.д.