Аналогии треугольника и тетраэдра

Видео:10 класс, 12 урок, ТетраэдрСкачать

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хайнц Шуман

Геометрические построения в виртуальном пространстве, создаваемом программой Cabri 3D, открывают новые возможности для изучения классических вопросов стереометрии. В статье показано, как построения в треугольнике и тетраэдре помогают открывать аналогии с помощью системы 3-мерной динамической геометрии и делают их доступными для студентов.

Видео:Тетраэдр. 10 класс.Скачать

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Хайнц Шуман

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Текст научной работы на тему «Исследование аналогий с помощью Cabri 3D на примере пары треугольник-тетраэдр»

ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛОГИЙ С ПОМОЩЬЮ CABRI 3D НА ПРИМЕРЕ ПАРЫ ТРЕУГОЛЬНИК-ТЕТРАЭДР

Стереометрия является падчерицей школьной геометрии; в настоящее время она содержит простейшие представления и расчеты для некоторых стандартных тел. Другие темы пространственной геометрии затрагиваются в школе крайне редко: например, взаимное расположение пространственных объектов, конгруэнтные отображения или вопросы, связанные с эвристическими рассуждениями (например, аналогия между свойствами треугольника и тетраэдра).

Причина прежде всего в том, что для изучения этих тем имеются очень ограниченные средства. Соответствующие физические модели сложны и обычно дороги; они в большинстве своем имеют ограниченную функциональность и нединамичны. Правда, есть у них и одно достоинство — они дают целостное восприятие объекта.

Нехватка подходящих средств может быть частично компенсирована использованием манипулятивной графики. В статье [5] было показано, как с помощью программы «Korpergeometrie» [2] можно конструировать пространственные объекты. Но эта программа позволяет лишь в ограниченной степени модифицировать или строить новые тела. Также Klemenz (2001) создал независимую от платформы программу GeometerPRO (http://www.geosoft.ch/ geometer), которая лишь частично удовлет-

воряет требованиям, предъявляемым к таким программам.

Мы собираемся изучать пространственные аналоги некоторых линий и точек треугольника с помощью системы динамической геометрии Cabri 3D. Эта система позволяет:

— строить пространственные объекты «в глубине» экрана, надстраивая соответствующие плоские объекты,

— визуализировать пространственные конструкции, задавая их атрибуты и используя так называемую Виртуальную Сферу, в которую можно вкладывать изучаемый объект и рассматривать его со всех сторон,

— деформировать пространственные объекты так, как это мы привыкли делать с плоскими.

Мы ставим перед собой следующие

— применение эвристических и индуктивных методов [4]; исследование и анализ пространственных конфигураций,

— применение и расширение знаний в геометрии (теоремы, понятия, алгоритмы),

— тренировка наблюдательности, пространственного представления и его интерпретации, умения действовать в виртуальном пространстве,

— овладение соответствующим компьютерным устройством.

В процессе работы с задачами стереометрии компьютер и система Cabri 3D об-

Знания в области стереометрии Ч_у

разуют единый инструмент, с помощью которого объединяются три взаимосвязанные области (диаграмма 1).

Стрелки в диаграмме означают поддержку соответствующей области. Очевидно, знания и навыки, приобретенные в одной области, способствуют обучению в другой области.

Далее процесс выявления аналогий разделим на три части:

— перпендикуляры к серединам сторон и их точка пересечения,

— биссектрисы и их точка пересечения,

— медианы и их точка пересечения,

— высоты и их точка пересечения.

Метод обучения основан на исследованиях, совершаемых учеником в процессе конструирования. Этот метод удалось применить только благодаря конструктивным возможностям, предоставляемым программой Cabri 3D.

При нашем преимущественно феноменологическом подходе мы не приводим аналитических или векторных доказательств и их возможной визуализации; эти вопросы отражены в прилагаемом списке литературы.

2. ИЗУЧЕНИЕ АНАЛОГИЙ С ПОМОЩЬЮ КОНСТРУИРОВАНИЯ

Описание процесса изучения аналогий с помощью конструирования организовано в виде своего рода протокола.

При поиске пространственных аналогов для точек, прямых и отрезков важно учитывать, что

— точка соответствует точке или некоторой прямой,

— прямая — прямой или некоторой плоскости,

— стороны многоугольника — граням многогранника.

При этом сохраняются такие понятия, как «соединяют», «пересекаются», «ортогональны», «параллельны».

2.1. АНАЛОГИЯ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

Пространственным аналогом треугольника является тетраэдр (треугольная пирамида) (рисунок 1).

2.2. АНАЛОГИЯ ДЛЯ ЦЕНТРА ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ

На грани тетраэдра отмечаем точку пересечения перпендикуляров к серединам сторон (центр описанной окружности) и восстнавливаем перпендикуляр к плоскости грани (рисунок 2).

На этом перпендикуляре отмечаем подвижную точку. Она равноудалена от вершин треугольника, и поэтому можно построить сферу с центром в этой точке и проходящую через вершины треугольника (ри-

сунок 3). Двигаясь по перпендикуляру, получаем семейство сфер (рисунок 4).

Повторяя такое построение для каждой грани, получаем, что перпендикуляры к граням пересекаются в одной точке — центре описанной сферы (рисунок 5) — аналогично центру описанной окружности треугольника. Перемещая вершины тетраэдра, можно исследовать, какой вид имеет тетраэдр, когда центр сферы находится вне тетраэдра или на его грани.

Другой вариант построения получится, если через середины ребер провести плоскости, перпендикулярные к ребрам (рисунки 6, 7, 8). Эти шесть плоскостей пересекаются в центре описанной сферы.

2.3. АНАЛОГИ БИССЕКРИС

Попробуем найти в тетраэдре аналоги биссектрис треугольника. Рассмотрим один из трехгранных углов тетраэдра. Проведем три плоскости, перпендикулярные соответствующим граням этого угла и проходящие через биссектрисы его плоских углов (рисунок 9).

Эти плоскости пересекаются по одной прямой. Может ли на этой прямой находиться центр сферы, касающейся всех трех граней? К сожалению, в общем случае это не так (рисунок 10). Вместо описанных выше плоскостей, построим три плоскости, проходящие через биссект-

рисы граней трехгранного угла и противоположное ребро этого угла (рисунок 11), они тоже пересекаются по одной прямой. Однако и в этом случае сфера с центром на этой прямой касается только одной из граней (рисунок 12). Нужно подыскать другие аналоги. Таким аналогом является плоскость, проходящая через одно из ребер трехгранного угла и биссектрису соответствующего линейного угла (рисунок 13). Эту плоскость можно назвать биссектрисой двугранного угла.

Три таких биссектрисы при одной вершине тетраэдра пересекаются по одной прямой. На этой прямой находится центр вписанной в тетраэдр сферы (рисунок 14). Эту прямую можно назвать биссектрисой трехгранного угла (лучше: равноудаленной от граней). Четыре биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности (рисунок 15).

По аналогии с разбиением треугольника на три треугольника лучами, выходящими из центра вписанной окружности, тетраэдр можно разбить, на четыре тетраэдра с общей вершиной в центре вписанной окружности, ос-

Рисунок 16. Рисунок 17.

нования которых совпадают с гранями тетраэдра (рисунок 16). Из этого разбиения непосредственно следует, что объемы этих тетраэдров равны одной четверти от объема исходного тетраэдра, если это правильный тетраэдр.

2.4. АНАЛОГИ МЕДИАН

В треугольнике медианы соединяют середины, то есть центры тяжести, сторон треугольника с противоположными вершинами и пересекаются в одной точке. Аналогично этому в тетраэдре линии, соединяющие центры тяжести граней с его противоположными вершинами (рисунок 18), также пересекаются в одной точке — центре тяжести тетраэдра. Центр тяжести треугольника делит медианы в отношении 2:1. Имеется ли аналогичное отношение для тетраэдра? С помощью зеркальной симметрии можно установить, это отношение равно 3:1.

Также и для треугольника с вершинами в серединах сторон исходного треугольника, имеется аналог в тетраэдре. Этот треугольник получается из исходного с помощью преобразования подобия с коэффициентом 1/2. Тетраэдр с вершинами в цен-

трах тяжести граней исходного тетраэдра (рисунок 19) получается из исходного с помощью преобразования подобия с коэффициентом 1/3.

Линии другого типа — прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра. Они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Эта точка совпадает с центром тяжести тетраэдра (рисунок 20).

Через середины сторон треугольника можно провести окружность, центр Г которой лежит на прямой, соединяющей центр описанной окружности М и центр тяжести 5 (рисунок 21). Эта окружность известна как окружность Фойербаха, поэтому ее центр и обозначен через Г. Точка 5 лежит между Г и М; справедливо соотношение БГ: БЫ = 1:2 .

Аналогичным образом через центры тяжести граней проводится сфера и устанавливается, что ее центр Г находится на прямой, соединяющей центр описанной сферы М и центр тяжести 5 тетраэдра (рисунок 22), причем 5 делит отрезок ГМ в таком же отношении, как и в треугольнике. Однако сфера Фойербаха не во всем ана-

логична окружности Фойербаха: она не пересекает ни вписанной ни описанной сфер.

2.5. АНАЛОГИ ВЫСОТ

Опустим перпендикуляры из вершин тетраэдра на противоположные грани и обнаружим с удивлением, что они не пересекаются в одной точке. Попытка восставить перпендикуляры к граням из точек пересечения их высот также не дает результата.

Что делать? Может, мы сможем что-то обнаружить, связав оба типа перпендикуляров. Они параллельны по построению. Из рисунка 23 видно, что каждая из высот тетраэдра пересекается с теми тремя перпендикулярами второго типа, которые выходят из граней, соединяющихся в той же вершине, из которой выходит высота. Верно и аналогичное утверждение для каждого перпендикуляра второго типа по отношению к трем высотам тетраэдра, выходящим из вершин соответствующего треугольника. В качестве «золотой середины» вы-

бираем для каждой пары параллельных перпендикуляров прямую, лежащую в той же плоскости и равноудаленную от них; четыре таких прямых пересекаются в одной точке (рисунок 24). Эту точку обозначим через Н и примем ее в качестве заменителя несуществующей точки пересечения высот.

Кроме этого, мы обнаруживаем, что Н лежит на одной прямой с точками М, Б, Е, Н именно, в такой последовательности (рисунок 25), причем Б — середина МН и Е — середина БН. Поэтому прямая может называться прямой Эйлера тетраэдра по аналогии с прямой Эйлера треугольника.

Имеется ли в произвольном тетраэдре еще что-либо аналогичное высотам? Если провести плоскости через точку Н перпендикулярно ребрам тетраэдра, то оказывается, что они проходят через середины противоположных ребер. Точку Н можно определить и как точку пересечения плоскостей, проходящих через середины ребер перпендикулярно противоположным ребрам. Такое построение принадлежит Гаспару

Монжу (1746-1818), создателю начертательной геометрии. Поэтому точка Н называется также точкой Монжа.

Если вместо прямых, параллельных высотам провести плоскости через высоты тетраэдра и точки пересечения высот соответствующих граней, то и они пересекаются в Н.

Вернемся к рисунку 23. Изображенные там четыре пары точек, выбранные из двух троек точек, лежащих на параллельных прямых, образуют вместе с соответствующими внешними точками четыре параллелограмма (рисунок 26). Эти параллелограммы пересекаются в Н и поэтому их можно назвать параллелограммами Монжа.

Исследуем теперь, какие тетраэдры обладают «правильными» высотами, то есть пересекающимися в одной точке. С этой целью будем перемещать вершины тетраэдра (рисунок 27).

Будем поворачивать тетраэдр, пока «заднее» ребро не станет перпендикуляр-

ным плоскости экрана; тогда противоположное ребро будет параллельно этой плоскости и перпендикулярно заднему ребру (рисунок 28).

Итак, можно сформулировать следующее утверждение: Если высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, то противоположные ребра перпендикулярны друг другу.

Построение такого тетраэдра весьма просто. В произвольном треугольнике проводим плоскости, проходящие через высоты и перпендикулярные плоскости треугольника (рисунок 29). Эти плоскости пересекаются по одной прямой. Соединяя любую точку на этой прямой с вершинами треугольника, получаем требуемый тетраэдр (рисунок 30).

Верно также и утверждение, обратное к только что рассмотренному.

Продолжая исследование, можно было бы, например, выяснить, имеет ли для та-

Рисунок 30. Рисунок 31.

ких тетраэдров сфера Фойербаха все свойства, аналогичные свойствам окружности Фойербаха.

Ниже приводятся некоторые темы, связанные с исследованием аналогий. Они могут служить основой тем семинаров для способных учеников. (При этом возможностей, предоставляемых версией 1.0 программы Cabri 3D будет недостаточно.)

• Аналоги других линий и точек треугольника: Какие из многочисленных линий (включая окружности) точек треугольника [6] имеют аналоги в произвольном или специальном тетраэдре?

• Формы тетраэдра: Подобно классификации треугольников по их сторонам,

углам и симметрии, создать аналогичную классификацию для тетраэдров.

• Построение тетраэдров: Как строить тетраэдры, используя аналогию с построением треугольников? Каковы признаки подобия тетраэдров, аналогичные таковым для треугольников?

Конечно, этим не исчерпываются все возможности темы «треугольник-тетраэдр». Например, укажем на утверждение о постоянстве суммы расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон (рисунок 31). Каков его аналог для тетраэдра (рисунок 32)?

Замечание. Благодаря системе Cabri 3D мы можем в настоящее время эффективней проводить изучение аналогий плоскостью и пространством и впервые применять экспериментальный подход.

1. Bainville, E., Laborde, J.-M. (2004): Cabri 3D 1.0. (Software). Grenoble: Cabrilog.

2. Bauer, H. et al. (1999): Kurpergeometrie. (Software). Berlin: Cornelsen.

3. Donath, E. (1976): Die merkwbrdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks. Berlin: DVW.

4. Polya, G. (1962): Mathematik und plausibles SchlieHen. Band I, Induktion und Analogie in der Mathematik. Basel: Birkh4user.

5. Schumann, H. (2001): Raumgeometrie — Unterricht mit Computerwerkzeugen. Berlin: Cornelsen.

6. Schumann, H. (2005): Dynamische Raumgeometrie. In: Beitrflge zum Mathematikunterricht.

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

Реферат по математике «Геометрические аналогии» выполнили ученицы 10 класса МОУ СОШ №73 г. Саратова Хрыкина Анна и Елизарова Анна

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 73»

Кировского района города Саратова

По дисциплине: Математика

Тема: Геометрические аналогии

Выполнили ученицы 10 класса Хрыкина Анна и Елизарова Анна

Руководитель: Драгунова Светлана Николаевна

Видео:КАК ПОСТРОИТЬ СЕЧЕНИЕ ТЕТРАЭДРА? #математика #егэматематика #математикапрофильСкачать

Оглавление

Глава 1. Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра 6

Глава 2. Эмпирические исследования треугольника и тетраэдра 10

Список используемой литературы 14

На плоскости две прямые линии не могут образовать ограниченную фигуру, а три могут образовать треугольник. В пространстве три плоскости не могут образовать ограниченное тело, а четыре могут образовать тетраэдр. Отношение треугольника к плоскости такое же, как отношение тетраэдра к пространству, поскольку и треугольник, и тетраэдр ограничены минимальным числом простых ограничивающих элементов.

В 10 классе мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрия. Это один из интереснейших разделов, который позволяет нам мыслить более абстрактно, представлять заданные нам фигуры в пространстве. Ранее мы уже были знакомы с планиметрией (напомню, что в планиметрии мы рассматриваем фигуры, которые находятся в пределах одной плоскости). Мы заметили, что во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы, да и множество теорем, свойств и аксиом построены по аналогии с планиметрией. После сделанного нами такого замечания, мы задумались, можно ли провести аналогию между геометрическими телами пространства и фигурами плоскости.

Цель исследования – рассмотреть геометрические аналогии.

Изучение учебной, методической и энциклопедической литературы;

Определение сущности аналогии и ее видов;

Выделение признаков у сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости друг от друга, через доказательство различных теорем и решение задач.

Объект исследования – геометрические аналогии в учебниках геометрии 9, 10 и 11 классов на примере треугольника и тетраэдра.

Предмет исследования – треугольник и тетраэдр.

Методы исследования: анализ различных видов литературы, а так же проведение сравнительного анализа, выявление аналогий.

Актуальность темы исследования заключается в том, что традиционный курс геометрии для средней школы делится на две части: планиметрию и стереометрию.

Эти разделы остаются независимыми друг от друга, и представление о геометрии на плоскости и в пространстве как едином целом, формируется недостаточно полно.

Избежать этой односторонности в изучении геометрии может помочь широкое применение в курсе стереометрии метода аналогии.

Степень научной разработанности проблемы.

Аналогия – это некоторого рода сходство, но на более определенном и выражаемом с помощью различных понятий уровне. Различие между аналогией и другими видами сходства заключается в намерениях думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении, и если свести это отношение, то можно рассмотреть эти сходные предметы как аналогичные. Если удается добраться до ясных понятий, то выясняется аналогия. Аналогия (греч. analogia- соответствие, сходство), сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах. Аналогии могут быть двух видов: 1) простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках; 2) распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

Простая и распространенная аналогия могут быть: а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости; б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.

Строгая аналогия применяется в научных исследованиях, в математических доказательствах, а при решении задач используется либо алгоритм, либо нестрогая аналогия с уже решенными однотипными задачами.

Аналогия является одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

Некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналогии.

Сторона треугольника – грань тетраэдра;

Вписанная окружность – вписанная сфера;

Длина стороны – площадь грани и т.д.

Эта аналогия не только внешняя. Многие теоремы, если применить в их в формулировках планиметрические термины, соответствующие стереометрическим, превращаются в теоремы о тетраэдрах. Несколько таких теорем и задач мы рассмотрим в данной работе.

Теоретико-методологический аспект геометрических аналогий

Глава 1. Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра

Отметим какие-нибудь три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и соединим их между собой отрезками АВ, ЕС, АС (рис. 1)

Мы получили геометрическую фигуру, которая называется треугольником .

Точки А, В, С называются вершинами , отрезки АВ, ВС, АС — сторонами , три угла – САВ, АСВ, ВАС — углами треугольника .

Название «треугольник» происходит от греческого слова тригонон .

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D с вершинами треугольника АВС, получим треугольники ВАD, ВDС и DСА. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DАВ, DВС и DСА, называется тетраэдром и обозначается так: DАВС. (рис. 2)

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями , их стороны — ребрами , а вершины — вершинами тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рисунке 2 противоположными являются ребра АВ и DС, ВD и АС, АD и BC. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие — боковыми гранями.

Виды треугольников и тетраэдров.

Правильный треугольник – правильный тетраэдр;

Равносторонний треугольник – тетраэдр общего вида;

Равнобедренный треугольник – правильная треугольная пирамида;

Прямоугольный треугольник – тетраэдр, в котором при одной вершине все три плоских угла прямые.

Важно отметить следующий факт: не все свойства треугольника имеют аналогии среди свойств тетраэдра. Например, все высоты любого треугольника пересекаются в одной точке, но не в каждом тетраэдре можно сказать, то же самое.

Те тетраэдры, для которых такое свойство, верно, составляют класс ортоцентрических тетраэдров.

Признаки равенства треугольников и тетраэдров.

Признаки равенства треугольников — одна из тем, которая остается актуальной на протяжении всего курса планиметрии. В сте­реометрии признаки равенства тетраэдров не рассматриваются. И тем не менее, на мой взгляд для того, чтобы выявить аналогии необходимо рассмотреть признаки равенства тетраэдров.

Равенство треугольников и тетраэдров определяются на основе понятия наложения:

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Две пирамиды называются равными, если они при наложении одной в другую могут быть совмещены.

Для доказательства признаков равенства тетраэдров необходимо знать признаки равенства трехгранных углов, а именно:

два трехгранных угла равны, если все три плоские угла одного из них равны плоским углам другого и одинаково с ними расположены;

два трехгранных угла равны, если они имеют по равному двугранному углу, заключенному между двумя двугранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными;

два трехгранных угла равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя двугранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными.

Глава 2. Эмпирические исследования треугольника и тетраэдра

Так же мы решили рассмотреть теоремы о замечательных точках треугольника и провести стереометрические аналогии. Представленная ниже таблица требуется для решения более трудных задач.

Теперь попробуем провести аналогию на примере задач.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС.

Медианы , и пересекаются в одной точке (пусть эта точка будет точкой О).

— средняя линия треугольника. || АВ, треугольнику (по двум углам).

= = = .

АО = 2 , ВО + 2 .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан и делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Все три медианы в треугольнике АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершин.

Отрезки и принадлежат плоскости . Отрезки и пересекаются в точке О.

|| AD , треугольник треугольнику , значит, что = = .

Треугольник треугольнику DOA , значит, что = = .

Повторив рассуждения для треугольника и треугольника , мы получим, что и пересекают отрезок в точке, делящей его в отношении 3 : 1, считая от вершины, то есть в точке O .

: = 3 : 1.

Приступая к данному исследованию, мы ставили перед собой задачу вызвать интерес к геометрическим аналогиям. Для этого мы использовали различную литературу; выявляли признаки сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости друг от друга, через доказательства теорем и решения задач; определяли сущность аналогии и ее видов. Обнаружение сходства или различия между предметами значительно поднимает уровень нашего мышления на более высокий уровень. Существовавшие ранее без взаимосвязи знания приобрели для нас новые качества.

Список используемой литературы

Атанасян, Л. С. Геометрия. 10-11 классы [Текст] / Л. С. Атанасян. — М.: Просвещение, 2001.

Атанасян, Л. С. Геометрия. 7-9 классы [Текст] / Л. С. Атанасян. -М.: Просвещение, 2003.

Кучеров, В. Геометрические аналогии [Текст] / В. Кучеров. — М.:Бюро Квантум, 1995. — 128 с.

Эрдииев, О. П. Аналогия в теоремах о прямой Эйлера, окружности и сфере [Текст] / О. П. Эрдниев // Математика в школе. — 1998. — № 3

Никулин, А. В. Геометрия на плоскости (Планиметрия) [Текст]:учебное пособие / А. В. Никулин, А. Г. Кукуш, Ю. С. Татаренко. — Минск:ООО «Попурри», 1996. — 592 с.

Гетман, Э. Аналог формулы Герона в стереометрии [Текст] / Э. Гетман// Математика в школе. — 2000. — № 3.

Учебник – тетрадь для углубленного изучения геометрии, С. В. Алексеева, М. И. Зайкин, АГПИ им. А. П. Гайара, 2000 г.

Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1 [Текст] / В. В. Прасолов. -М.: Наука, 1991. -320 с.

Гангнус, Р. В. Геометрия: методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. 4.2. Стереометрия / Р. В. Гангнус, Ю. О. Гурвиц. — М.: Учпедгиз, 1936.

Энциклопедический словарь юного математика [Текст]. — М.: Педагогика, 1989. -352 с.

Краткое описание документа:

В 10 классе мы познакомились с новым разделом геометрии – стереометрия. Это один из интереснейших разделов, который позволяет нам мыслить более абстрактно, представлять заданные нам фигуры в пространстве. Ранее мы уже были знакомы с планиметрией (напомню, что в планиметрии мы рассматриваем фигуры, которые находятся в пределах одной плоскости). Мы заметили, что во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы, да и множество теорем, свойств и аксиом построены по аналогии с планиметрией. После сделанного нами такого замечания, мы задумались, можно ли провести аналогию между геометрическими телами пространства и фигурами плоскости.

Цель исследования – рассмотреть геометрические аналогии.

Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Трансформация некоторых теорем планиметрии в область стереометрии
творческая работа учащихся по алгебре на тему

некоторых теорем планиметрии

в область стереометрии

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№7 - Тетраэдр и параллелепипед.)Скачать

Скачать:

Видео:Сечение тетраэдра? Легко! (в помощь студенту)Скачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Математическое исследование на тему

некоторых теорем планиметрии

в область стереометрии»

учениц 10 «А» класса

МОУ «Хохольский лицей»

Хохольского района Воронежской области

Елфимовой Евгении Сергеевны,

Сабчук Яны Александровны,

Ярмоновой Татьяны Сергеевны

Руководитель Григорьева Л.А.

Определения треугольника и тетраэдра……………………………………………4

Виды треугольников и тетраэдров………………………………………………….5

Признаки равенства трехгранных углов и тетраэдров …………………………..6

Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Тетраэдр, вписанный в сферу и описанный около сферы……………9

Теоремы о замечательных точках треугольника и тетраэдра…………………. 10

Теорема косинусов для тетраэдра…………………………………………………11

Прямоугольный треугольник и прямоугольный тетраэдр.

Теорема Пифагора в пространстве………………………………………………..13

Формула Герона в планиметрии и ее аналог в стереометрии…………………. 15

Список использованной литературы …………………………………………… .27

Традиционный систематический курс геометрии средней школы делится на две части: планиметрию и стереометрию. Причем изучение планиметрии в основной школе и стереометрии в средней школе часто приводит к тому, что эти разделы рассматриваются как бы независимо друг от друга, что для них нет ничего общего. Однако внимательное рассмотрение каждого из разделов позволяет увидеть, что в указанных курсах имеются элементы, обладающие аналогичными свойствами.

Избежать односторонности в изучении геометрии может помочь широкое применение в курсе стереометрии метода аналогии. Например, при изучении тетраэдра можно заметить, что он имеет планиметрический аналог – треугольник. Подтверждением этого служат слова из замечательной книги Д. Пойи «Математика и правдоподобные рассуждения»: «На плоскости две прямые линии не могут образовать ограниченную фигуру, а три могут образовать треугольник. В пространстве три плоскости не могут образовать ограниченное тело, а четыре могут образовать тетраэдр. Отношение треугольника к плоскости такое же, как отношение тетраэдра к пространству, поскольку и треугольник, и тетраэдр ограничены минимальным числом простых ограничивающих элементов». Конечно, этим аналогия между треугольником и тетраэдром не исчерпывается: аналогичны многие теоремы и свойства, связанные с ними.

В данной работе сделаны попытки трансформировать некоторые теоремы планиметрии в область стереометрии.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТЕТРАЭДРА

Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается так: DABC (рисунок 1).

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями , их стороны — ребрами , а вершина – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными . На рисунке 1 противоположными являются ребра AD и BC, BD и AC, CD и AB. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием , а три другие – боковыми гранями.

Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 1 и 2, то есть в виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами.

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ТЕТРАЭДРОВ

Применим метод аналогии. Например, из истории треугольника: треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, и в школе Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о треугольниках было полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Среди «определений», которыми начинается эта книга, имеются и следующие: «Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же – имеющая только две равные стороны, разносторонний – имеющая три неравные стороны». Понятие о треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники.

Были получены следующие аналоги:

правильный треугольник – правильный тетраэдр;

равнобедренный треугольник – правильная треугольная пирамида;

разносторонний треугольник – тетраэдр общего вида.

Более сложной задачей, явился поиск стереометрического аналога для прямоугольного треугольника: тетраэдр, в котором при одной вершине все три плоских угла прямые.

Особое внимание, на наш взгляд, нужно уделить следующему факту: не все свойства треугольника имеют аналогии среди свойств тетраэдра. Например, все высоты любого треугольника пересекаются в одной точке, но не о каждом тетраэдре можно сказать то же самое. Те тетраэдры, для которых такое свойство верно, составляют отдельный класс ортоцентрических тетраэдров.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ

«Признаки равенства треугольников» – одна из тем, которая остается актуальной на протяжении всего курса планиметрии, и не требует дополнительных усилий со стороны учащихся для восстановления ее в памяти. Равенство треугольников и тетраэдров определяется на основе понятия наложения: два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением; две пирамиды называются равными, если они при вложении одной в другую могут быть совмещены.

Для доказательства признаков равенства тетраэдров необходимо ознакомиться с признаками равенства трехгранных углов , а именно:

• два трехгранных угла равны, если все три плоские угла одного из них равны плоским углам другого и одинаково с ними расположены;
• два трехгранных угла равны, если они имеют по равному двугранному углу, заключенному между двумя плоскими углами, соответственно равными и одинаково расположенными;
• два трехгранных угла равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя двугранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными.

Можно выделить следующие признаки равенства тетраэдров:

1. Если в двух тетраэдрах соответственно равны две грани и двугранный угол между ними, то такие тетраэдры равны или симметричны.

2. Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по равному ребру, прилежащему к соответственно равным трехгранным углам.

3. Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по шесть равных ребер, и в обоих тетраэдрах равные элементы располагаются в одном и том же порядке (так, что трем ребрам, лежащим в одной грани или выходящим из одной вершины, соответствуют три равных им ребра, также лежащие в одной грани или выходящие из одной вершины).

Поясним понятие «симметричные тетраэдры». Если ребра, плоские и двугранные углы двух тетраэдров равны, но расположены в «обратном» порядке, то они симметричны.

Так, на рисунке 3 дан тетраэдр ОАВС.

Его ребра АО, СО, ВО продолжены за вершину О так, что АО=ОА 1 , СО=ОС 1 , ВО=ОВ 1 .Очевидно, что в тетраэдрах ОАВС и ОА 1 В 1 С 1 равны ребра, плоские и двугранные углы, следовательно, они симметричны. Заметим, что симметричные тетраэдры, вообще говоря, не равны, то есть при вложении одного тетраэдра в другой они не совмещаются.

В качестве примера доказательства рассмотрим первый признак равенства тетраэдров:

Теорема: Если в двух тетраэдрах соответственно равны две грани и двугранный угол между ними, то такие тетраэдры равны или симметричны.

Доказательство. Пусть двугранный угол при ребре АВ тетраэдра АВСD равен двугранному углу при ребре А 1 В 1 тетраэдра А 1 В 1 С 1 D 1 и грани АВС и АDВ первого тетраэдра соответственно равны граням А 1 В 1 С 1 и А 1 D 1 B 1 второго.

Пусть обозначения выбраны так, что ребро АС первого тетраэдра равно ребру А 1 С 1 второго (рисунок 4).

Итак, мы имеем кроме равенства двугранных углов при ребрах АВ и А 1 В 1 еще равенство ребер

АВ=А 1 В 1 , АС=А 1 С 1 , ВС=В 1 С 1 , АD=A 1 D 1 , BD=B 1 D 1 .

Построим теперь точку D 2 , симметричную точке D 1 относительно плоскости А 1 В 1 С 1 так, что А 1 D 1 =A 1 D 2 , B 1 D 1 =B 1 D 2 .

Опустим перпендикуляр DH на ребро АВ тетраэдра АВСD, а из точек D 1 и D 2 опустим перпендикуляры D 1 H 1 и D 2 H 2 на ребро А 1 В 1 , в силу равенства треугольников А 1 В 1 D 1 и A 1 B 1 D 2 (3-й признак равенства треугольников) точки Н 1 и Н 2 совпадут, а отрезок АН будет равен А 1 Н 1 .

Переместим теперь тетраэдр АВСD так, чтобы его грань АВС совпала с равной ей гранью А 1 В 1 С 1 второго тетраэдра. В силу равенства двугранных углов при ребрах АВ и А 1 В 1 плоскость АВD совместится с плоскостью A 1 B 1 D 1 или А 1 В 1 D 2 . При этом луч АD совместится соответственно с А 1 D 1 или с A 1 D 2 (в силу равенства углов ВАD, B 1 A 1 D 1 , B 1 A 1 D 2 ), точка Н совпадет с точкой Н 1 , перпендикуляр НD совпадет с H 1 D 1 или с H 1 D 2 , а, следовательно, точка D с точкой D 1 или D 2 .

Итак, тетраэдр АВСD совместится либо с равным тетраэдром А 1 В 1 С 1 D 1 , либо с симметричным ему тетраэдром А 1 В 1 С 1 D 2 .

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК, И

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА.

ТЕТРАЭДР, ВПИСАННЫЙ В СФЕРУ

И ОПИСАННЫЙ ОКОЛО СФЕРЫ

Здесь рассматривается еще одна интересная аналогия между фигурами на плоскости и в пространстве: окружностью и сферой.

Из планиметрии известны факты:

1. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

2. Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Можно доказать следующие утверждения:

1. Существует не более одной сферы, описанной около данного многогранника.

2. Около произвольного тетраэдра можно описать сферу, и притом только одну.

3. В произвольный тетраэдр можно вписать сферу, и притом только одну.

(Эти утверждения сформулированы как задача № 638, учебник «Геометрия 10-11», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк)

ТЕОРЕМЫ О ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧКАХ

ТРЕУГОЛЬНИКА И ТЕТРАЭДРА

В таблице 1 приведены теоремы о замечательных точках треугольника и их стереометрические аналоги.

Теоремы о замечательных

Стереометрические аналоги теорем

о замечательных точках

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке

Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла перпендикулярно к противолежащей грани, пересекаются по одной прямой

Медианы треугольника пересекаются в одной точке

Плоскости, проходящие через биссектрисы плоских углов каждой грани трехгранного угла и противолежащего им ребра, пересекаются по одной прямой

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая удалена от сторон углов треугольника на одинаковое расстояние

Биссекторные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой, и каждая точка этой прямой удалена от граней трехгранного угла на одно и то же расстояние

Отрезки, соединяющие вершины треугольника с центром тяжести противолежащих им сторон, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 1:2, считая от вершины

Прямые, соединяющие вершины тетраэдра с центром тяжести противолежащей грани (соответственно), пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 1:3, считая от грани

Впервые закономерность в расположении трех замечательных точек треугольника – центра О описанной окружности, центроида G (точка пересечения медиан) и ортоцентра Н (точка пересечения высот) обнаружил и доказал с помощью метода координат знаменитый математик Леонард Эйлер (1703-1783).

Теоремы о замечательных

Теоремы о замечательных

Медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке G и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины, причем

где Р – любая точка пространства

Четыре медианы тетраэдра АВСD пересекаются в одной точке G, которая делит каждую из них в отношении3:1, считая от вершины тетраэдра, причем

где Р – любая точка пространства

Высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке Н, причем

где О – центр окружности, описанной около треугольника

Четыре высоты ортоцентрического тетраэдра АВСD пересекаются в одной точке Н, причем, если О – центр окружности, описанной около тетраэдра, то

Центр описанной окружности, центроид G и ортоцентр Н любого треугольника лежат на одной прямой, причем точка G лежит между точками О и Н и

Центр О описанной сферы, центроид G и ортоцентр Н ортоцентрического тетраэдра АВСD лежат на одной прямой, причем точки О и Н симметричны относительно точки G

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ ДЛЯ ТЕТРАЭДРА

Рассмотрим теорему косинусов для тетраэдров:

Теорема: Квадрат площади какой-либо грани тетраэдра равен сумме квадратов площадей трех других его граней без удвоенной суммы произведений площадей каждых двух из них на косинус двугранного угла между ними.

Проведем плоскость, проходящую через ребро СВ перпендикулярно АD. Пересечением данной плоскости с гранью АDС является отрезок СМ, а с гранью АDВ – отрезок ВМ, причем СМ АD, ВМ АD, следовательно линейным углом двухгранного угла САDВ является угол СМВ = α. Аналогично построим линейный угол ADH = α΄ двухгранного угла АВСD.

Обозначим площади граней S ADC = S 1 , S ABD = S 2 , S BCD = S 3 , S ABC =S 4 .

Из треугольника СМВ по теореме косинусов имеем:

СВ 2 = СМ 2 + ВМ 2 — 2· СМ · ВМ· cos α.

Умножим обе части равенства на АD 2 .

Получим CB 2 AD 2 = AD 2 · CM 2 + AD 2 · BM 2 — AD 2 ·2·СМ · ВМ· cos α,

CB 2 · AD 2 = (S 1 ) 2 + (S 2 ) 2 – 2 (S 1 ) · (S 2 ) · cos α. (1)

Из треугольника AHD по теореме косинусов имеем:

AD 2 = DH 2 + AH 2 — 2· DH · AH· cos α΄.

Умножим обе части равенства на CD 2 .

Получим CB 2 AD 2 = CB 2 · DH 2 + CB 2 · AH 2 — CB 2 · 2· DH · AH· cos α΄,

CB 2 · AD 2 = (S 3 ) 2 + (S 4 ) 2 – 2S 3 · S 4 · cos α΄. (2)

Сравнивая равенства (1) и (2) получаем:

(S 1 ) 2 + (S 2 ) 2 – 2 S 1 · S 2 · cos α = (S 3 ) 2 + (S 4 ) 2 – 2 S 3 · S 4 · cos α΄. (3)

Выполняя аналогичные преобразования для пар ребер AB и DC, AC и DB, получаем

(S 3 ) 2 + (S 1 ) 2 – 2 S 3 · S 1 · cos β = (S 2 ) 2 + (S 4 ) 2 – 2S 2 · S 4 · cos β΄, (4)

(S 3 ) 2 + (S 2 ) 2 – 2 S 3 · S 2 · cos γ = (S 1 ) 2 + (S 4 ) 2 – 2S 1 · S 4 ) · cos γ΄. (5)

Вычисляя сумму левой и правой частей равенств (3), (4), (5), получаем

(S 1 ) 2 + (S 2 ) 2 +(S 3 ) 2 – 2S 1 ·S 2 ·cosα – 2S 3 ·S 1 ·cosβ- 2S 3 ·S 2 ·cos γ =

= 2(S 4 ) 2 -S 4 (S 3 ·cos α΄+ S 2 ·cos β΄+ S 1 ·cos γ΄). (6)

Если основание высоты тетраэдра совпадает с точкой основания тетраэдра, то в этом случае двухгранные углы при основании являются острыми, значит сумма площадей ортогональных проекций боковых граней на основание равно площади основания, т.е. S 3 ·cos α΄+ S 2 ·cos β΄+ S 1 ·cos γ = S 4.

Если основание высоты тетраэдра не совпадает с точкой основания тетраэдра, то в этом случае хотя бы один из двухгранных углов при основании является тупым, в этом случае значение косинуса отрицательное, но сумма площадей ортогональных проекций боковых граней на основание равно площади основания, т.е. S 3 ·cos α΄+ S 2 ·cos β΄+ S 1 ·cos γ = S 4.

Учитывая этот факт, преобразуем равенство (6), получаем

(S 1 ) 2 + (S 2 ) 2 +(S 3 ) 2 – 2S 1 ·S 2 ·cosα – 2S 3 ·S 1 ·cosβ- 2S 3 ·S 2 ·cos γ = 2(S 4 ) 2 -S 4 2 ,

То есть S 4 2 = (S 1 ) 2 + (S 2 ) 2 +(S 3 ) 2 – 2S 1 ·S 2 ·cosα – 2S 3 ·S 1 ·cosβ- 2S 3 ·S 2 ·cos γ,

S 4 2 = (S 1 ) 2 + (S 2 ) 2 +(S 3 ) 2 – 2(S 1 ·S 2 ·cosα + 2S 3 ·S 1 ·cosβ+ 2S 3 ·S 2 ·cos γ).

Теорема косинусов доказана.

Следствие: Если все грани тетраэдра равновелики, то сумма косинусов его двугранных углов при всех трех ребрах, выходящих из одной вершины, равна 1.

Доказательство вытекает из теоремы косинусов: пусть площадь каждой грани равна S. Получаем равенство

S 2 =3 S 2 -2 S 2 cosα – 2S 2 ·cosβ- 2S 2 ·cos γ,

cosα + cosβ + cos γ=1.

И ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

С прямоугольным треугольником связана одна из важнейших теорем геометрии – теорема Пифагора. Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-видимому, нашел доказательство этого соотношения. На протяжении последующих веков были найдены различные другие доказательства теоремы Пифагора. Со многими из них можно ознакомиться в книге Литцмана В. «Теорема Пифагора».

Аналогом прямоугольного треугольника в пространстве является прямоугольный тетраэдр. Мы уже говорили о нем: тетраэдр, в котором при одной вершине все три плоских угла прямые, называют прямоугольным ; грань, лежащую против прямого угла, называют гранью-гипотенузой , а другие гранями-катетами.

Для прямоугольного тетраэдра верна теорема, которую называют аналогом теоремы Пифагора в пространстве:

Теорема: В прямоугольном тетраэдре сумма квадратов площадей граней-катетов равна квадрату площади грани-гипотенузы.

Пусть дан прямоугольный тетраэдр DABC: DС СА, DС СВ, СВ СА, причем DС= с, СВ = а, АС = b.

Найдем площади граней

Для вычисления площади грани АВD вычислим апофему DH.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:

Обозначим АН через х. Тогда НВ =

По теореме Пифагора: DН = ; DH = ;

Из уравнения = получаем, что . Вычислим DH = .

, то есть получили

. Что и требовалось доказать.

Эту теорему называют еще теоремой Фаульберга, который опубликовал ее в 1622 году для случая, когда DA=DB=DC в тетраэдре АВСD с прямым углом D. Для произвольного прямоугольного тетраэдра эту теорему доказал Де-Гюа.

Интересно заметить, что для прямоугольного тетраэдра верно также утверждение о том, что грань-гипотенуза имеет наибольшую площадь, так как грань-гипотенузу можем рассматривать как прямоугольную проекцию на каждую из граней-катетов. Это утверждение аналогично следствию из теоремы Пифагора: длина гипотенузы больше длины любого из катетов.

Рассмотренные теоремы применяются при решении следующих задач:

1. Докажите, что если в прямоугольном тетраэдре боковые ребра а, b, c взаимно перпендикулярны, а h – высота, опущенная из вершины на основание, то

h -2 = a -2 + b -2 + c -2 .

2. Докажите, что в прямоугольном тетраэдре площадь грани-катета есть среднее пропорциональное между площадью грани-гипотенузы и площадью проекции грани-катета на гипотенузу.

ФОРМУЛА ГЕРОНА В ПЛАНИМЕТРИИ

И ЕЕ АНАЛОГ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Выведем формулу Герона для площади треугольника. По теореме косинусов с 2 = а 2 + b 2 – 2abcos α ,

cos α = (a 2 + b 2 – c 2 )/2ab,

sin 2 α + cos 2 α = 1,

sin 2 α = 1-cos 2 α = (1-cos α )(1+cos α ).

Замечая, что a+b+c = 2p,

c+b-a = c+b+a-2a = 2p-2a = 2 (p-a),

c+a-b = c+a+b-2b = 2p-2b = 2 (p-b),

a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2 (p-c).

sin 2 α = (16p (p-a)(p-b)(p-c))/4a 2 b 2 = (4p (p-a)(p-b)(p-c)/a 2 b 2

Учащиеся старших классов хорошо знают формулу Герона для вычисления площади треугольника. Формула, хотя и громоздка, но легко и надолго запоминается. Ее аналог возникает в курсе стереометрии при вычислении объема тетраэдра. Однако в школе этот вопрос не рассматривается, хотя в учебных пособиях встречаются задания на вычисление объема тетраэдра по известным длинам его ребер. Обычно это частные случаи, например: найти объем тетраэдра, у которого все боковые ребра равны.

Формула для вычисления объема тетраэдра по данным длинам его ребер сложная, но ее вывод не представляет больших трудностей.

Рассмотрим несколько задач, содержащих числовые данные, причем подобраны они так, чтобы не тратить много времени на вычисления.

Задача 1. Найти объем тетраэдра АВСD, если DA=3, DB=4, DC=AB=5, BC= , AC= .

Решение: Основанием пирамиды удобно считать грань АВD (рисунок 6). Так как DA=3, DB=4 и AB=5, то треугольник ABD – прямоугольный ( ∠ ADB=90 0 ), а его площадь S равна 6. Для решения задачи необходимо найти высоту СН тетраэдра.

Сначала найдем плоские углы тетраэдра при вершине D. Это легко сделать, пользуясь теоремой косинусов: если ∠ BDC = α и ∠ ADC = β , то cos α = и α =60 0 . Аналогично найдем, что β =60 0 .

Проведем СМ ⊥ АD и СN ⊥ BD. Тогда НМ ⊥ AD и HN ⊥ BD (по теореме о трех перпендикулярах). Прямоугольные треугольники CDM и CDN равны по гипотенузе и острому углу, а значит, DM=DN=5/2 (по свойству катета, лежащего против угла в 30 0 ).

Треугольники DHM и DHN также равны, то есть DH – биссектриса угла ADB.

Далее находим, что

По формуле вычисляем объем:

Задача 2. Найти объем тетраэдра CABD, если DA=3, DB=4, DC=6, ∠ BDC=45 0 , ∠ ADC=60 0 , ∠ ADB=90 0 .

Решение. Обозначим высоту тетраэдра за CH (рисунок 6). Легко установить, что точка Н лежит внутри угла ADB. Как и при решении предыдущей задачи, проведем СМ ⊥ АD и CN ⊥ BD. Обозначим ∠ CDH = x, ∠ ADH = y. Тогда ∠ BDH=90 0 -y.

Для прямоугольных треугольников CDH, DHM и CDM выполняются равенства:

Перемножим первые два равенства почленно и, воспользовавшись третьим равенством, получим уравнение

cos x cos y = cos 60 0 , 0 0 0 . (1)

Аналогично для прямоугольных треугольников CDH, DHM и CDN получается уравнение

cos x cos (90 0 – y) = cos 45 0 ,

Возведем обе части уравнений (1) и (2) в квадрат и почленно сложим, получив простейшее уравнение

Теперь легко найти высоту СН, она равна 3. Площадь основания – 6 и объем соответственно равен 6.

Если плоские углы трехгранного угла равны α , β , γ и двугранный угол при ребре, противолежащем плоскому углу γ , равен ϕ , то

cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos ϕ .

Задача 3. Выразить объем тетраэдра CABD через длины ребер, исходящих из вершины D, и величины плоских углов при вершине D.

Решение. СН – высота тетраэдра CABD (рисунок 6),

обозначим DA=a, DB=b, DC=c, ∠ BDC= α , ∠ ADC= β , ∠ ADB= γ .

Как и в предыдущей задаче, обозначим ∠ CDH=x и ∠ ADH=y. Тогда ∠ BDH= γ -y.

Рассмотрим трехгранные углы DACH и DBCH (плоскость CDH перпендикулярна плоскости ABD). Применив к ним теорему косинусов для трехгранного угла, получим систему уравнений

cos α = cos ( γ -y) cos x,

cos β = cos y cos x.

Заменив в первом уравнении cos y cos x на cos β , получим

cos α = cos β cos γ + sin γ sin y cos x,

Обе части этого уравнения и уравнения cos y cos x = cos β возведем в квадрат, почленно сложим и, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получим уравнение

А поскольку cos 2 x = 1-sin 2 x, придем к следующему уравнению

Теперь можно выразить объем тетраэдра АВСD, используя формулу Известно, что поэтому при данных условиях окончательный вид формулы для вычисления объема тетраэдра АВСD будет выглядеть как:

Теперь уже ясно как решить основную задачу.

Задача 4. Выразить объем тетраэдра через длины всех его ребер.

Решение. Обозначим длины ребер тетраэдра CABD: DA=a, DB=b, DC=c, BC=a 1 , CA=b 1 , AB=c 1 . С помощью теоремы косинусов выразим из треугольников BCD, CAD и ABD (рисунок 6) значения косинусов плоских углов при вершине D:

Подставив эти значения в формулу (3), получим

144V 2 = 4a 2 b 2 c 2 – a 2 (b 2 + c 2 –a 1 2 ) — b 2 (a 2 + c 2 – b 1 2 ) – c 2 (a 2 + b 2 – c 1 2 ) + (b 2 + c 2 – a 1 2 )(a 2 + c 2 — b 1 2 )(a 2 + b 2 – c 1 2 ).

Полученную формулу можно преобразовать, и все же, пользоваться ею затруднительно. Важно то, что если известны длины всех ребер тетраэдра, то его объем можно вычислить. А при решении задач на вычисление объема тетраэдра учащимся можно рекомендовать пользоваться более простой формулой задачи 3.

Рассмотрим задачу, которую легко решить, применив указанную формулу.

Задача 5. Ребра трехгранного угла D пересечены двумя плоскостями соответственно в точках А, В, С и А 1 , В 1, С 1 . Доказать, что

где V – объем тетраэдра DABC и V 1 – DA 1 B 1 C 1 .

Решение. Тетраэдры DABC и DA 1 B 1 C 1 имеют общий трехгранный угол D. Выразив по формуле задачи 3 их объемы, увидим, что квадратные корни из одинаковых выражений при делении сокращаются. Поэтому их объемы относятся как произведения длин ребер, прилежащих к вершине D:

Заметим, что аналогичная теорема существует для треугольников:

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Если S и S 1 – площади треугольников, у которых углы А и А 1 равны, то

Джованни ЧЕВА (1648-1734) — выдающийся геометр, инженер-гидравлик, экономист. Автор работы «о прямых линиях», содержащей доказательство одной из важнейших теорем элементарной геометрии.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ. Если прямые, соединяющие вершины треугольника АBС с точкой К, лежащей в плоскости треугольника, пересекают противоположные стороны треугольника или их продолжения в точках A 1 , B 1 , C 1, то справедливо равенство

Отрезки прямых AA 1 , BB 1 , CC 1 — «чевианы» — названы по имени автора теоремы [2, 3]. Справедлива и обратная теорема Чевы:

«. если выполняется тождество (1), то прямые АА 1. ВB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке».

Известно также обобщение теоремы Чевы для многоугольника с нечетным числом вершин, а также теорема Чевы для трехгранного угла.

Как оказалось, возможны весьма интересные обобщения этой теоремы для наиболее простой пространственной фигуры — тетраэдра или треугольной пирамиды.

По аналогии с треугольником для тетраэдра можно ввести понятие чевианы тетраэдра. ЧТ (чевианами тетраэдра) условимся называть пересекающиеся в одной точке наклонные из вершин тетраэдра к противолежащим граням. Возникает вопрос: при каких условиях пересекаются в одной точке все четыре наклонные? Внимательное рассмотрение фигуры тетраэдра позволяет сформулировать условия такого пересечения.

Необходимым и достаточным условием пересечения наклонных тетраэдра в одной точке является сходимость на ребрах (то есть пересечение в одной точке общего ребра граней) чевиан граней (рис. 8), причем наборов чевиан граней, сходящихся на ребрах, бесчисленное множество и каждому набору отвечает четверка «чевиан тетраэдра».

Условия пересечения математически более строго можно представить в виде двух теорем — прямой и обратной.

Теорема . Для любого тетраэдра существует бесконечное множество наборов чевиан граней, сходящихся на ребрах. Наклонные из вершин тетраэдра к точкам пересечения этих чевиан пересекаются в одной точке.

Обратная теорема. Если наклонные из вершин тетраэдра к основаниям противолежащих граней пересекаются в одной точке, то чевианы граней, проведенные через основания наклонных, сходятся на ребрах тетраэдра.

Доказательство . Остановимся на одном из возможных доказательств теоремы для внутренней точки О тетраэдра.

В произвольном тетраэдре АВСВ (рис. 8) проведем чевианы грани ВСD через произвольно выбранную точку 4 внутри грани.

1. Основания чевиан Е, М, N соединим с точкой А. Получим отрезки АM, АN и АЕ.

2. Через некоторую точку 1 на отрезке АN проведем чевианы АN, ВG и СР грани АВС, Точку G соединим с вершиной D и через полученную точку 3 (пересечение АМ и DG) проведем СL.

3. Таким образом произвольный выбор точки 4 па грани ВСD и затем точки 1 на чевиане АN определил положение оснований наклонных — чевиан тетраэдра — на трех гранях: ВСD, АВС и АDС. Кроме того, однозначно определено положение точек Е, L, P на четвертой грани. Очевидно, если отрезки АЕ, ВL и DР пересекаются в одной точке, первую часть теоремы можно считать доказанной.

4. Докажем, что названные отрезки АЕ, ВL, и DР являются чевианами грани АВD.

1) Согласно теореме Чевы справедливы следующие равенства:

2) Учитывая (2), в соответствии с обратной теоремой Чевы отрезки АЕ, ВL и DР пересекаются в одной точке.

5. Так как точка 4 выбрана произвольно, то доказанное справедливо для любой (внутренней) точки тетраэдра. Следовательно, существует бесконечное множество наборов чевиан граней, сходящихся на ребрах. Первая часть теоремы доказана.

6. Докажем, что A4, ВЗ, С2, D1 пересекаются в одной точке.

1) Рассмотрим сечения пирамиды, образованные в ходе построений. В частности, сечения ADN, АВМ, АСЕ — пересечения тетраэдра с плоскостями, проходящими через ребра тетраэдра, сходящиеся в вершине A и чевианы противоположных граней. Аналогичные сечения показаны на рисунке для других вершин тетраэдра.

2) Отрезки D1 и ВЗ принадлежат одной плоскости и не параллельны, следовательно, они пересекаются:

(D1 BGD, B3 BGD, D ≠ B3) D1∙ B3.

Но поскольку прямые принадлежат плоскостям АВМ и ADN можно утверждать, что точка О пересечения прямых D1 и ВЗ принадлежит пересечению названных плоскостей — прямой А4. (D1∙ВЗ) (АВМ ∩ ADN) = А4 => ВЗ и D1 пересекаются в некоторой точке О на прямой A4.

3) В силу симметрии через точку О проходит и четвертая наклонная С2.

Теорема доказана для внутренних точек тетраэдра. Справедлива ли теорема для точек, не принадлежащих тетраэдру? Эта задача требует, конечно, отдельного рассмотрения.

Достаточно интересны следствия теоремы.

Следствие I. Теорема Чевы для тетраэдра. Назначим отношение отрезков Чевы по какому-нибудь замкнутому контуру при обходе по ребрам тетраэдра (направление обхода СВDАС показано на рис.9):

Грани ВDС и АDС пересекаются по ребру СD, следовательно, в соответствии с теоремой Чевы имеем

Уравнение (3) справедливо для любого замкнутого обхода тетраэдра по ребрам и может интерпретироваться как обобщенная «теорема Чевы для тетраэдра». Аналогия отчетливо прослеживается при совместном рассмотрении уравнений (1) и (3).

Зная условия пересечения чевиан тетраэдра, можно установить, в каком отношении они делятся при пересечении. Однако этого нельзя сделать, не установив зависимость между взаимным положением чевиан граней и «чевиан тетраэдра». Найти указанные зависимости можно с помощью последовательного рассмотрения подобных треугольников.

В результате можно получить формулы, позволяющие определить, как делятся «чевианы тетраэдра», если известны отношения отрезков Чевы для его граней. В частном случае, для медиан тетраэдра имеем

АО : 04 = ВО : ОЗ = СО : О2 = DО : О1 = 3 : 1,

что соответствует известной теореме: «. медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, где делятся в отношении 3:1».

Следствие 2. Если ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, то высоты тетраэдра пересекаются в одной точке, а их основания совпадают с ортоцентрами граней. Верно и обратное утверждение. (Тетраэдр с названными свойствами известен как ортоцентрический.)

Рассмотрим метод чевиан на примерах решения некоторых задач.

Задача 1. Определить положение внутренней точки О тетраэдра, при соединении которой с вершинами его объем делится в заданном отношении.

Решение. Очевидно, объемы составляющих тетраэдров относятся к объему исходного соответственно тому, как делятся «чевианы тетраэдра», проходящие через искомую точку. Действительно, объем каждого из четырех «малых» тетраэдров относится к объему «большого», как отрезок «чевианы тетраэдра» от пересечения до основания к полной ее длине. Пусть задано отношение объемов (a∙b∙c≠0). Четвертый объем определяется как разность:

Используя формулы, связывающие чевианы граней и чевианы тетраэдра, можно получить значения для отношений k, l, m, n, входящих в уравнение (3):

Система (4) имеет единственное решение, если

что не означает единственность решения самой задачи. Общее число решений определяется количеством возможных размещений (N) значений a, b, c, d по граням пирамиды: N = 24. Таким образом, внутри тетраэдра существуют 24 точки, разбивающие его объем в заданном отношении, если а ≠ b ≠ c ≠ d. Если какие-то из этих значений равны, количество размещений соответственно сокращается. В предельном случае — разбиение тетраэдра на 4 равновеликих тетраэдра а = b = с = d = 4- получаем единственное решение в точке пересечения медиан тетраэдра.

Последовательность построения точки О очевидна. Выбирается замкнутый контур пирамиды из четырех ребер в направлении обхода по часовой стрелке при взгляде «изнутри». Ребра последовательно делятся в отношении k, l, m, n. Затем вычерчивается набор чевиан граней и соответственных чевиан тетраэдра. Пересечение последних есть одна из искомых точек.

В работе приведены только некоторые из теорем, трансформированных из планиметрии в область стереометрии. Но эти теоремы, по нашему мнению, наиболее ярко показывают аналогию треугольника в планиметрии и тетраэдра в пространстве.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воейкова С.В. Геометрия тетраэдра в средней школе. – Казань: Дисс. канд. пед наук, 1964.

1. Гангнус Р.В., Гурвиц Ю.О. Геометрия / Методическое пособие для высших педагогических учебных заведений и преподавателей средней школы. Ч. 2 Стереометрия. – М.: Учпедгиз, 1936.

1. Глейзер Г.Д. История математики в школе. 4-6 классы / Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

1. Елина А.М. Ортоцентрический тетраэдр и его свойства. – М.: Математика в школе, № 3/87.

1. Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. – Одесса, 1902.

1. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. – М.: Учпедгиз, 1962.

1. Кучеров В. Геометрические аналогии. – М.: Квант, № 10/81.

1. Кушнир В.А. Полезные свойства тетраэдра. – М.: Математика в школе, № 6/88.

1. Литцман В. Теорема Пифагора. – М.: Физматгиз, 1960.

1. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: Учпедгиз, 1961.

1. Сефибеков С.Р. Невозможный тетраэдр. – М.: Квант, № 8/85.

1. Смирнова И.М. Идея фузионизма в преподавании школьного курса геометрии. – М.: Математика, № 17/98.

🎬 Видео

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ ТЕТРАЭДРА ПЛОСКОСТЬЮСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

10 класс, 22 урок, Двугранный уголСкачать

Два тетраэдраСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

ВСЕ О СЕЧЕНИЯХ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

№174. Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, ACСкачать

Удалили с экзамена ОГЭ Устное Собеседование shorts #shortsСкачать