4 окружности пересекающиеся в 4 точках

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

4 окружности пересекающиеся в 4 точках

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

В каком максимальном числе точек могут пересекаться 4 окружности?

В каком наивысшем числе точек могут пересекаться 4 окружности?

  • Валерий
  • Математика 2019-10-07 04:51:52 1 2

4 окружности пересекающиеся в 4 точках

Две окружности пересекаются в двух точках.

3-я окружность пересекает каждую из 2-ух пересекающихся окружностей.

Получим еще 4 точки скрещения: две точки скрещения с одной окружностью и две точки с иной окружностью.

Четвёртая окружность также пересекается с каждой из трёх окружностей.

Получим 6 точек скрещения: по две точки скрещения с каждой из трёх окружностей.

При этом точки скрещения ни в одном случае не совпадают.

Итого, получится 2 + 4 + 6 = 12 точек скрещения максимум.

4 окружности пересекающиеся в 4 точках

Нужно найти всё количество точек, когда пересекутся 4-е окружности. Для решения нужно поначалу осознать, сколько общих точек вероятно при скрещении 2-х окружностей.

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

Сколько максимально точек будет при скрещении 2-ух окружностей

Наглядно можно представить скрещение вот так.

На рисунке мы лицезреем, что две окружности (красноватая и голубая) могут пересекаться в двух точках и не более того. Это точка А и точка В на данном рисунке.

Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M CM = 4 см DM = 6 см AM на 2 см больше BMСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M CM = 4 см DM = 6 см AM на 2 см больше BM

Составление уравнения

x-это число точек, которое необходимо отыскать, точки скрещения окружностей.

2-это число, которое отвечает за скрещение 2-ух таких окружностей.

Всего 4-е окружности. Это голубая, красноватая, желтоватая, темная окружности.

По рисунку мы лицезреем, что необходимо составить вот такое уравнение:

  • синяя + красноватая = 2;
  • голубая + желтоватая = 2;
  • красноватая + желтоватая = 2;
  • голубая + темная = 2;
  • темная + красноватая = 2;
  • темная + желтая = 2.

Таким образом, число встреч выходит одинаковым 6, в каждой встрече задействовано 2 точки.

при соприкосновении 4-х окружностей максимальное вероятное число точек равно 12.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Ответы к страницам 106-107 №408-418 ГДЗ к учебнику «Математика» 6 класс Дорофеев, Шарыгин

Видео:Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.Скачать

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=6, CP=8, DP=12. Найдите AP.

Глава 5. Окружность
Ответы к параграфу 5.1 Окружность и прямая

Задание № 408

Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см, а радиус окружности равен:
а) 3 см;
б) 4 см;
в) 6 см?
Подсказка. Сделайте схематический рисунок.

а) Прямая и окружность не имеют общих точек.
4 окружности пересекающиеся в 4 точках
б) Прямая и окружность касаются друг друга.
4 окружности пересекающиеся в 4 точках
в) Прямая и окружность пересекаются.
4 окружности пересекающиеся в 4 точках

Задание № 409

Начертите произвольную окружность и отметьте на ней точку A. Постройте касательную к окружности в точке A.

4 окружности пересекающиеся в 4 точках

Задание № 410

К окружности, радиус которой равен 6 см, проведены две параллельные касательные (рис. 5.3). Чему равно расстояние между ними?
4 окружности пересекающиеся в 4 точках

6 + 6 = 12 (см) − расстояние между касательными.
Ответ: 12 см.

Задание № 411

Начертите две параллельные прямые. Постройте какую−нибудь окружность, для которой эти прямые являются касательными. Сколько таких окружностей можно построить? Где лежат их центры?

4 окружности пересекающиеся в 4 точках
Окружностей можно построить множество. Центры этих окружностей лежат на прямой, параллельной данным и равноудаленной от них.

Задание № 412

Прямая k и окружность пересекается в точках A и B. Прямая k перемещается к центру окружности параллельно самой себе. В какой момент длина отрезка AB будет наибольшей? Сделайте соответствующий рисунок.

4 окружности пересекающиеся в 4 точках
Длина отрезка AB будет наибольшей, когда прямая k проходит через центр окружности. В этом случае отрезок AB будет являться диаметром окружности.

Задание № 413

Проведите прямую и постройте какую−нибудь окружность радиусом 3 см, для которой эта прямая являются касательной. Сколько таких окружностей можно построить? Где расположены их центры?

4 окружности пересекающиеся в 4 точках
Можно построить бесконечное множество таких окружностей. Их центры будут лежать по обе стороны от данной прямой на прямых, параллельных данной, на расстоянии, равному радиусу окружности 3 см.

Задание № 414

Проведите прямую и отметьте на ней произвольную точку M. Постройте несколько окружностей разных радиусов, касающихся данной прямой в точке M. Где лежат центры всех таких окружностей?

4 окружности пересекающиеся в 4 точках
Центры окружностей лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой.

Задание № 415

Начертите в тетради квадрат со стороной 8 см. Постройте окружность, касающуюся всех сторон квадрата.

4 окружности пересекающиеся в 4 точках

Задание № 416

Представьте данное число в виде произведения двух десятичных дробей (укажите два решения):
а) 0,12;
б) 0,064;
в) 0,0002;
г) 0,3.

б) 0,064 = 0,4 * 0,16 = 0,8 * 0,08

в) 0,0002 = 0,1 * 0,002 = 0,001 * 0,2

Задание № 417

Найдите значение каждого из выражений:
1) 25 − 3,6 * 1,5 + 2,5;
2) (25 − 3,6) * (1,5 + 2,5);
3) 25 − 3,6 * (1,5 + 2,5).

4 окружности пересекающиеся в 4 точках

Задание № 418

1) В полиэтиленовый пакет, выдерживающий 5 кг, положили 1,8 кг огурцов, а яблок в 1,5 раза больше. Не порвется ли пакет?
2) Представьте, что вы хотите помочь бабушке подготовить материал для изготовления шерстяного ковра из ниток разного цвета. Чтобы получить нужный узор, 1/10 всех ниток должна быть красного цвета, 2/5 − синего, 3/20 − коричневого, остальные − белого. У бабушки имеется 700 г ниток белого цвета. Рассчитайте, сколько граммов ниток каждого цвета надо взять для выполнения работы.

📺 Видео

#214. Четвертое измерение: плоскости, пересекающиеся в точкеСкачать

#214. Четвертое измерение: плоскости, пересекающиеся в точке

Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Четыре точки на окружности | ЕГЭ-2017. Задание 16. Математика. Профильный уровень| Борис ТрушинСкачать

Четыре точки на окружности | ЕГЭ-2017. Задание 16. Математика. Профильный уровень| Борис Трушин

Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.)... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.)... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Геометрия Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. ОбщаяСкачать

Геометрия Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. Общая

№72. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точекСкачать

№72. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)

ОГЭ 2020 задание 18Скачать

ОГЭ 2020 задание 18

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕСкачать

№666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если: а) АЕ = 5, ВЕ

Четыре окружности в параллелограмме | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |Скачать

Четыре окружности в параллелограмме | ЕГЭ. Задание 16. Математика | Борис Трушин |

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА ГЕОМЕТРИЯ 8 КЛАСС
Поделиться или сохранить к себе: