24 угольник в окружности

Разделы: Математика

Цели урока: закрепить знание формул стороны и площади правильного многоугольника, совершенствовать навык построения правильных многоугольников, научить строить правильный десятиугольник и правильный пятиугольник.

1. Проверка домашнего задания: пункт 108, №№ 1081, 1093, 1094(а,б).

Учебник Геометрия 7 — 9, Л.С. Атанасян.2003г.

а) = 180 = 60

б) = 180 = 3 · 36

в) = 180 = 120

г) = 180 = 144

д) = · 180 = 160

Дано: АВС — правильный

Окр.(О;R) — описана около АВС

Окр.(О;r) — вписанна в АВС

1. АО — биссектриса А OАD = 30

2. AOD — прямоугольный, т.к. OD = r проведён в точку касания (теорема о касательной к окружности).

3. В прямоугольном AOD катет r лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы R, т.е. R = 2r — ч.т.д.

Задача № 1094(а,б) (данное задание на закрепление знания формул:

S = Рr, a_n = 2R, r = R )

a₄ = 2R = 2 * 3 * = 2 * 3* = 6 см,

r = 3 * = 3 * = 3 см,

S = Рr = · 24 · 3 = 36 см 2

б) Решение: a₃ = = 8 см

Выразим r через a_n : r = ( a_n * ctg)/2

r = 4* ctg = см

S = (1/2)Рr = 16 см 2 Ответ: 16 см 2 .

2. Актуализация знаний учащихся (устный опрос):

1. Какой многоугольник называется правильным?

2. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?

3. По какой формуле можно найти сторону правильного n-угольника? (записать на доске)

4. Какая точка называется центром правильного многоугольника?

5. Можно ли найти площадь правильного шестиугольника, зная только радиус вписанной в него окружности? Как это сделать? (показать на доске)

3. Изучение нового материала.

Строить правильные треугольники и четырёхугольники с помощью циркуля и линейки мы уже умеем. Рассмотрим способ построения правильного шестиугольника.

Задача № 1 из п.109 (работа с учебником).

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

1. Строим окружность радиусом R равным данному отрезку.

2. На окружности произвольно выбираем точку A₁ .

3. Не меняя раствора циркуля, на окружности откладываем точку A₂ , так чтобы A₁A₂ = R.

4. Аналогично от точки A₂ откладываем точку A₃ и т. д. до точки A₆ .

5. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получаем искомый правильный шестиугольник .

Доказательство: (можно провести устно)

1. Стороны 6 — угольника равны (по построению). (*)

2. О A₁A₂ = О A₂A₃ = О A₃A₄ = : = О A₆A₁ — по третьему признаку равенства -ов.

Все они равносторонние. A₁A₂A₃ = : = A₆A₁A₂ = 120° (**)

3. Из (*) и (**) A₁A₂A₃A₄A₅A₆ — правильный 6 — угольник — ч.т.д.

11Задача № 1279. На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, вписанный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла ОАВ. Докажите, что:

а) AВС

ОАВ

б) АВ = АС = ОС = R

(т.к. данная задача является задачей повышенной трудности, то перед решением её у доски необходимо дать учащимся две — три минуты на обдумывание, если не будет идей, то задавать наводящие вопросы.)

1. Рассмотрим равнобедренный ОАВ:

АО и ВО — биссектрисы углов правильного десятиугольника ( = 144)

Следовательно: = = 72, а значит = 36.

2. = 72, а т.к. АС — биссектриса этого угла, то = 36, т.е. = (*)

3. — общий для AВС и ОАВ. (**)

4. Из (*) и (**) следует (по первому признаку подобия треугольников),

что AВС

ОАВ — ч.т.д.

б) 1. В AВС: = 36, = 72 = 72, значит АВ = АС.

2. В ОАС: = = 36 АС = ОС

3. Обозначим АВ через х, ОС также равно х. АО = R , BC = R — x .

Из подобия AВС и ОАВ следует: x 2 + Rх — R 2 = 0

(получили квадратное уравнение относительно х)

x₁ = — решений нет, т.к. длина отрезка не может быть отрицательной

x₂ = = R — ч.т.д.

Исследование: зададимся вопросом — чему равен и .

1. В ОАВ проведём медиану ОК (она же высота и биссектриса).

АК = x/2= R·

R = R·

Итак: =

2. = 2* = 2* * = · = = =

=

11Задача № 1280. Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

А и В Окр(О;R);

АООВ;

Окр(С; r = СВ)АС = К

Доказать: АК = R (по предыдущей задачи)

1. АО = R, OC = , AC = = ;

2. КС = , АК = АС — КС = — = R — ч.т.д.

Вывод: данный способ можно использовать для построения правильного десятиугольника.+

4. Закрепление изученного материала.

Задача № 1283: В данную окружность впишите правильный пятиугольник.

Мы рассмотрим иной способ построения, не тот который предлагают в ответе.

1. Строим окружность произвольного радиуса R и проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и СD.

2. Делим пополам радиус АО точкой Е.

3. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F.

4. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG(равная CF) есть одна сторона искомой фигуры.

5. Проводим тем же радиусом дугу из точки G как из центра, получаем ещё одну вершину Н искомой фигуры и т. д.

6. CGHKL — правильный пятиугольник.

1. Сторона правильного пятиугольника вписанного в Окр.(О;R) равна .

11 ОМ — биссектриса, медиана и высота равнобедренного ОСG.

СМ = R a₅ = 2СМ = 2 R

Учитывая, что = ,

окончательно получаем: a₅ = .

2. У нас по построению

1) ЕО = ; ЕС = ЕF =

2) OF = EF — EO = R

3) CG = CF = = = .

Итак, по построению CG = — ч.т.д.

5. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: пункт 109, № 1282, №1284.

Видео:Красивое деление окружности на 20 частей циркулемСкачать

Длина стороны правильного многоугольника

Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности

От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос:
«Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».

Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника. Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов. Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.

Видео:Деление окружности на n- равные частиСкачать

Проект по геометрии «Построение правильных многоугольников» (9 класс0

Видео:Построение 12 угольника циркулемСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

МБОУ «Красноануйская о.о. школа»

Руководитель: Колупаева Т.А.

Выполнили учащиеся 9 –го класса.

Совершенствовать навыки построения многоугольников вписанных в окружность.

Обобщить знания о способах построения правильных многоугольников.

Формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в группе, самооценки качества своего труда.

Совершенствовать навыки построения многоугольников вписанных в окружность.

Обобщить знания о способах построения правильных многоугольников.

Формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в группе, самооценки качества своего труда.

Учиться строить некоторые правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки.

Развивать умение самостоятельного поиска решения, конструирования обобщенного способа решения новой задачи.

Развить творческие способности в ходе выполнения самостоятельных творческих заданий.

С помощью способов построения правильных многоугольников вписанных в окружность, можно ли построить правильный многоугольник,описанный около окружности.

1) Постановка проблемы. Определение цели проекта.

2) Планирование времени проекта.

3) Поиск информации по проекту . Выполнение необходимых расчётов при проведении исследования.

4) Построить правильные 16- угольники, 24- угольники, пользуясь опорной схемой построение правильных многоугольников из учебника «Геометрия 7-9».

5) Построить правильный многоугольник, описанный около окружности, используя, изученный материал.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40 … — угольники можно построить!

7, 9,11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28… – угольники невозможно построить.

Защита проекта 9 класс.

Проект по геометрии « Построение правильных многоугольников »

МБОУ «Красноануйская о.о. школа»

Руководитель : Колупаева Т.А.

Выполнили учащиеся 9 –го класса.

Совершенствовать навыки построения многоугольников вписанных в окружность .

Обобщить знания о способах построения правильных многоугольников.

Формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в группе, самооценки качества своего труда.

В жизни нам встречаются многоугольники; например на уроках Технологии, мы вяжем салфетки, в которых у нас получаются многоугольники, а также в быту.

В природе тоже встречаются многоугольники; например соты, в которые пчёлы носят мёд. Они имеют форму шестиугольника.

Из всего это решили более подробнее изучить построение многоугольников. Отсюда вытекает

Совершенствовать навыки построения многоугольников вписанных в окружность .

Обобщить знания о способах построения правильных многоугольников.

Формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в группе, самооценки качества своего труда.

На основание этого перед собой мы поставили

Задачи: Учиться строить некоторые правильные многоугольники с помощью циркуля и линейки.

Развивать умение самостоятельного поиска решения, конструирования обобщенного способа решения новой задачи.

Развить творческие способности в ходе выполнения самостоятельных творческих заданий.

7) Еще в глубокой древности была поставлена практическая задача построения правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки.

Решение этой задачи можно найти в трудах древнегреческих ученых Архимеда, Евклида, Пифагора, математиков XYII — XIX веков

Основоположник геометрии, описал построение циркулем и линейкой 3, 4, 5, 6, 15 – угольников.

8) К.Ф.Гаусс (1777-1855)-великий немецкий математик. Открыл способ построения правильного 17-угольника и указал все значения n , при которых возможно построение правильного n -угольника с помощью циркуля и линейки. Этими многоугольниками оказались лишь многоугольники, у которых количество сторон является простым числом вид.

9) Отсюда у нас созрела Гипотеза:

С помощью способов построения правильных многоугольников вписанных в окружность, можно ли построить правильный многоугольник, описанный около окружности.

Слайд 10. Для этого определили ход исследования:

1) Поставили проблему, на основании гипотезы Определили цели проекта.

2) Планирование времени проекта.

3)Поиск информации по проекту.

4) Выполнение необходимых расчётов при проведении исследования.

5) Построить правильные 16- угольники, 24- угольники пользуясь опорной схемой построение правильных многоугольников из учебника «Геометрия 7-9».

6) Построить правильный многоугольник,

описанный, около окружности, используя,

Остановимся на писке информации ; которую в основном мы брали из учебника «Геометрия 7-9».

Слайд 11-12 и 13-14.

Пользуясь изученной темой «Построение правильных многоугольников», в которой мы научились строить шестиугольник, треугольник и квадрат, и зная, что вписанный многоугольник, если его вершины лежат на окружности. При делении сторон пополам, получаем дополнительные вершины треугольника и так далее.

При этом построение получили правильный 16- угольник, 24- угольник.

1 способ: построить правильный многоугольник, описанный около окружности.

Используя, изученные знания, по теме «Касательная к окружности».По теореме о касательной к окружности перпендикулярной к радиусу , проведённая в точке касания. Мы проведём касательные к вершинам вписанного многоугольника, данные касательные пересекутся , получим искомый, описанный около окружности правильный 16- угольник, 24- угольник.

1 способ: Используя, тему «Вписанная окружность»

Для каждой вершины правильного 16- угольника или 24- угольника построим биссектрисы углов, они пересекутся в одной точке, которая будет являться центром вписанной окружности в правильный многоугольник. Из точки пересечения биссектрис к сторонам данного многоугольника построим перпендикулярные прямые, которые будут являться радиусом вписанной окружности в правильный многоугольник.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20,24,30,32,34,40 … — угольники можно построить!

7, 9,11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27, 28… – угольники невозможно построить.

📺 Видео

Построение 10 угольника циркулемСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Построение шестнадцатиугольника циркулемСкачать

Построение пятиугольника циркулемСкачать

ГИГАНТСКАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИГРА С ЗАДАНИЯМИ!Скачать

Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

Строим трёхэтажную кровать для тройняшек! Девушка Круг, Квадрат и ТреугольникСкачать

Как построить правильный двенадцатиугольник, regular dodecagon construction 4KСкачать

Найти центр кругаСкачать

Деление окружности на 12 равных частейСкачать

😱Кто Последний Выживет в БЕРМУДСКОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ после КРУШЕНИЯ в ОКЕАНЕ в Майнкрафт?!..Скачать

ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

Построение 7 угольника циркулем, приближенноеСкачать

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

Построение 13 угольника приближенное, tridecagon constructionСкачать