19 пи на 6 на окружности

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • 19 пи на 6 на окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Содержание
    1. А теперь подробно о тригонометрическом круге:
    2. Как посчитать длину окружности
    3. Онлайн калькулятор
    4. Как посчитать длину окружности зная диаметр
    5. Формула
    6. Пример
    7. Как посчитать длину окружности зная радиус
    8. Формула
    9. Пример
    10. Как посчитать длину окружности зная её площадь
    11. Формула
    12. Пример
    13. 19п 6 на окружности
    14. Как обозначать числа с пи на числовой окружности?
    15. Обозначаем числа (2π), (π), (frac ), (-frac ), (frac )
    16. Обозначаем числа (frac ), (frac ), (frac )
    17. Обозначаем числа (frac ), (-frac ), (frac )
    18. Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac ) ,(frac ), (-frac ), (-frac )
    19. Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.
    20. Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).
    21. Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).
    22. Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке
    23. А теперь подробно о тригонометрическом круге:
    24. 🔍 Видео

    Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Как посчитать длину окружности

    Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.

    Онлайн калькулятор

    Как посчитать длину окружности зная диаметр

    Какая длина у окружности если

    Какова длина окружности (С) если её диаметр d?

    Формула

    С = π⋅d , где π ≈ 3.14

    Пример

    Если диаметр круга равен 1 см, то его длина примерно равна 3.14 см.

    Как посчитать длину окружности зная радиус

    Какая длина у окружности если

    Какова длина окружности (С) если её радиус r?

    Формула

    С = 2⋅π⋅r , где π ≈ 3.14

    Пример

    Если радиус круга равен 0.5 см, то его длина примерно равна 3.14 см.

    Как посчитать длину окружности зная её площадь

    Какая длина у окружности если

    Какова длина окружности (С) если её площадь S?

    Формула

    С = 2π⋅ √ S /π , где π ≈ 3.14

    Пример

    Если площадь круга равна 6 см 2 , то его длина примерно равна 8.68 см.

    Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

    19п 6 на окружности

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

    Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

    Видео:Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.

    Обозначаем числа (2π), (π), (frac ), (-frac ), (frac )

    Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен (1). Значит, длина окружности равняется (2π) (вычислили по формуле (l=2πR)). С учетом этого отметим (2π) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от (0) по числовой окружности расстояние равно (2π) в положительном направлении, а так как длина окружности (2π), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу (2π) и (0) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

    19 пи на 6 на окружности

    Теперь обозначим на числовой окружности число (π). (π) – это половина от (2π). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от (0) в положительном направлении половину окружности.

    19 пи на 6 на окружности

    Отметим точку (frac ) . (frac ) – это половина от (π), следовательно чтобы отметить это число, нужно от (0) пройти в положительном направлении расстояние равное половине (π), то есть четверть окружности.

    19 пи на 6 на окружности

    Обозначим на окружности точки (-) (frac ) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

    19 пи на 6 на окружности

    Нанесем (-π). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

    19 пи на 6 на окружности

    Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число (frac ) . Для этого дробь (frac ) переведем в смешанный вид (frac ) (=1) (frac ) , т.е. (frac ) (=π+) (frac ) . Значит, нужно от (0) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

    19 пи на 6 на окружности

    Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки (-2π),(-) (frac ) .

    Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

    Как искать точки на тригонометрической окружности.

    Обозначаем числа (frac ), (frac ), (frac )

    Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями (x) и (y). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки (frac ) , (frac ) и (frac ) .
    (frac ) – это половина от (frac ) (то есть, (frac ) (=) (frac ) (:2)) , поэтому расстояние (frac ) – это половина четверти окружности.

    19 пи на 6 на окружности

    (frac ) – это треть от (π) (иначе говоря, (frac ) (=π:3)), поэтому расстояние (frac ) – это треть от полукруга.

    19 пи на 6 на окружности

    (frac ) – это половина (frac ) (ведь (frac ) (=) (frac ) (:2)) поэтому расстояние (frac ) – это половина от расстояния (frac ) .

    19 пи на 6 на окружности

    Вот так они расположены друг относительно друга:

    19 пи на 6 на окружности

    Замечание: Расположение точек со значением (0), (frac ) ,(π), (frac ) , (frac ) , (frac ) , (frac ) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

    Разные расстояние на окружности наглядно:

    19 пи на 6 на окружности19 пи на 6 на окружности

    19 пи на 6 на окружности19 пи на 6 на окружности

    Видео:Математика это не ИсламСкачать

    Математика это не Ислам

    Обозначаем числа (frac ), (-frac ), (frac )

    Обозначим на окружности точку (frac ) , для этого выполним следующие преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=π+) (frac ) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние (π), а потом еще (frac ) .

    19 пи на 6 на окружности

    Отметим на окружности точку (-) (frac ) . Преобразовываем: (-) (frac ) (=-) (frac ) (-) (frac ) (=-π-) (frac ) . Значит надо от (0) пройти в отрицательную сторону расстояние (π) и еще (frac ) .

    19 пи на 6 на окружности

    Нанесем точку (frac ) , для этого преобразуем (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (-) (frac ) (=2π-) (frac ) . Значит, чтобы поставить точку со значением (frac ) , надо от точки со значением (2π) пройти в отрицательную сторону расстояние (frac ) .

    19 пи на 6 на окружности

    Видео:Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

    Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

    Обозначаем числа (10π), (-3π), (frac ) ,(frac ), (-frac ), (-frac )

    Запишем (10π) в виде (5 cdot 2π). Вспоминаем, что (2π) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку (10π), нужно от нуля пройти расстояние равное (5) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке (0), просто сделаем пять оборотов.

    19 пи на 6 на окружности

    Из этого примера можно сделать вывод:

    Числам с разницей в (2πn), где (n∈Z) (то есть (n) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

    То есть, чтобы поставить число со значением больше (2π) (или меньше (-2π)), надо выделить из него целое четное количество (π) ((2π), (8π), (-10π)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

    Точке, которой соответствует (0), также соответствуют все четные количества (π) ((±2π),(±4π),(±6π)…).

    Теперь нанесем на окружность (-3π). (-3π=-π-2π), значит (-3π) и (–π) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в (-2π)).

    19 пи на 6 на окружности

    Кстати, там же будут находиться все нечетные (π).

    Точке, которой соответствует (π), также соответствуют все нечетные количества (π) ((±π),(±3π),(±5π)…).

    Сейчас обозначим число (frac ) . Как обычно, преобразовываем: (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=3π+) (frac ) (=2π+π+) (frac ) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа (frac ) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное (π+) (frac ) (т.е. половину окружности и еще четверть).

    19 пи на 6 на окружности

    Отметим (frac ) . Вновь преобразования: (frac ) (=) (frac ) (=) (frac ) (+) (frac ) (=5π+) (frac ) (=4π+π+) (frac ) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное (π+) (frac ) – и мы найдем место точки (frac ) .

    19 пи на 6 на окружности

    Нанесем на окружность число (-) (frac ) .
    (-) (frac ) (= -) (frac ) (-) (frac ) (=-10π-) (frac ) . Значит, место (-) (frac ) совпадает с местом числа (-) (frac ) .

    19 пи на 6 на окружности

    Обозначим (-) (frac ) .
    (-) (frac ) (=-) (frac ) (+) (frac ) (=-5π+) (frac ) (=-4π-π+) (frac ) . Для обозначение (-) (frac ) , на числовой окружности надо от точки со значением (–π) пройти в положительную сторону (frac ) .

    Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

    Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)

    Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

    Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
    Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

    • 19 пи на 6 на окружности

    Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

    Окружность и круг, 6 класс

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    🔍 Видео

    МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25Скачать

    МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

    Тригонометрическая окружность. Как выучить?

    Деление окружности на 3; 6; 12 равных частейСкачать

    Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

    6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь кругаСкачать

    6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь круга

    19 задание огэ математика 2023 ВСЕ ТИПЫ геометрияСкачать

    19 задание огэ математика 2023 ВСЕ ТИПЫ геометрия

    Деление окружностиСкачать

    Деление окружности

    КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

    КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

    Деление окружности на 6 равных частейСкачать

    Деление окружности на 6 равных частей

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

    ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!
    Поделиться или сохранить к себе: