К распределению по закону Симпсона приводит сложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятности при одинаковых параметрах рассеяния. Кривая рассеяния имеет вид равнобедренного треугольника (рис. 1.27), из-за чего закон Симпсона часто называют законом треугольника.
При выборе в качестве начала отсчета случайной величины ее плотность распределения и математическое ожидание имеют следующий вид:
, (1.63)
Mx = 0 , , . (1.64)
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9137 – | 7300 – или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Функция треугольного распределения случайной величины определяется формулой:
Плотность треугольного распределения СВ находится по формуле:
Математическое ожидание — формула:
График плотности треугольного распределения случайной величины в диапазоне от -4 до 10
График плотности треугольного распределения случайной величины
График функции треугольного распределения случайной величины
Треугольное распределения является приблизительной моделью и применяется, когда недостаточно данных или они отсутствуют. Треугольный закон распределения также используется для построения сложных законов распределения.
Он характерен для случайных погрешностей цифровых приборов, в которых измеряемая величина преобразуется в пропорциональный интервал времени Тсч, называемый временем счета, а измерение этого интервала выполняется с помощью счетных импульсов стабильного генератора, имеющих период следования Т . В связи со случайным положением счетных импульсов относительно интервала Тсч, а также случайным соотношением между периодом Т и временем счета Тсч треугольный закон представляет собой композицию (объединение) двух равномерных законов с одинаковыми по величине максимальными погрешностями.
Функция распределения одномерной плотности вероятности случайных погрешностей для треугольного закона задается следующими соотношениями:
График треугольного закона распределения приведен на рисунке 20.
Математическое ожидание величины x: определяется по той же формуле, что и равномерное:
Рисунок 20 – Треугольное распределение случайной величины
Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Теория вероятностей (стр. 13 )
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
Определение. Начальным моментом k-го порядка (k = 0, 1, 2, …) распределения случайной величины Х (если он существует) называется действительное число ак, определяемое формулой:
. (5.11)
ния случайной величины Х (если он существует) называется действительное число , определяемое по формуле:
. (5.12)
Из определения моментов следует, что
, , , , .
Отметим еще две важные характеристики распределения, связанные с моментами высшего порядка: (коэффициент асимметрии или «скошенности» распределения), (коэффициент эксцесса, (просто «эксцесс») или “островершинности” распределения).
Пример 1. Случайная величина Х подчинена закону распределения Парето с параметрами , , если ее функция распределения вероятностей имеет вид:
Найти основные характеристики , , Mo, Mе распределения Парето, выразив их через параметры распределения.
Решение. Находим плотность распределения вероятностей:
Математическое ожидание вычислим по формуле (5.8):
, .
Найдем второй начальный момент:
, а > 2.
Для вычисления дисперсии используем формулу:
.
Так как плотность вероятности f(x) монотонно убывает при х >, то М0 =.
Медиану Ме находим, как корень уравнения , откуда .
Пример 2. Случайная величина Х распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале (-а; а) (закон Симпсона), если она непрерывного типа и ее плотность распределения вероятностей имеет вид, изображенный на рис. 14.
Написать выражение для f(x), вычислить функцию распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсию, моду, медиану, эксцесс.
f(x)
1/a
Найдем плотность вероятностей, используя уравнение прямой в отрезках: f(x) = 0, если ха; или , если а a.
0, если
F(x) =
1, если = 0 и функция f(x) на интервале (-а; а) четна, а вне этого интервала равна нулю, то
Поступая аналогично и используя формулу (5.12), вычислим центральный момент четвертого порядка:
,
5.4. Примеры некоторых классических распределений
1. Закон равномерной плотности
В некоторых задачах практики встречаются непрерывные величины, которые в пределах некоторого конечного интервала имеют постоянную плотность вероятностей. О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону равномерной плотности.
Пример 1. Производится взвешивание тела на точных весах, но в распоряжении взвешивающего имеются только разновески весом не менее 1 г; результат взвешивания показывает, что вес тела заключен между а и (а + 1) граммами. Вес тела принят равным (а + 0,5) граммам. Допущенная при этом ошибка X, очевидно, есть случайная величина, распределенная c равномерной плотностью на интервале (-0,5; 0,5) г.
Пример 2. Пригородные поезда идут с интервалом 10 минут. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Время Т, в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой случайную величину, распределенную с равномерной плотностью на интервале (0; 10) минут.
Рассмотрим случайную величину X, подчиненную закону равномерной плотности на интервале от а до b, и напишем для нее выражение плотности распределения f(x).
Так как
а площадь, ограниченная графиком f(x) и осью абсцисс, равна единице: с(b — а) = 1, то
и плотность распределения f(x) имеет вид:
(5.13)
Напишем выражение для функции распределения F(x), используя формулу (5.6):
(5.14)
График функции F(x) приведен на рис. 15.
Определим числовые характеристики случайной величины X, имеющей равномерное распределение на интервале от а до b. Математическое ожидание величины Х равно: .
В силу симметрии равномерного распределения медиана величины Х также равна Ме =.
Моды закон равномерной плотности не имеет.
По формуле (5.10) находим дисперсию X:
откуда среднее квадратическое отклонение
.
В силу симметрии распределения его асимметрия равна нулю:
F(x)
1
Для определения эксцесса находим четвертый центральный момент:
, отсюда
.
Функцию R(t) называют функцией надежности (она определяет вероятность безотказной работы элемента за время t).
Часто функция F(t) имеет показательное распределение, функция распределения которого F(t)=1— .
Следовательно, функция надежности R(t) имеет вид:
Показательным законом надежности называют функцию надежности R(t), определяемую равенством
где – интенсивность отказов.
Пример 1. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону f(x) = 5 (х 0). Найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и дисперсию X.
Решение. Так как М(Х) и a(Х) показательного распределения равны между собой и равны числу 1/ – параметру показательного распределения, то . Дисперсия D(X) = (0,2)2 = 0,04.
Пример 2. Время безотказной работы элемента, распределенного по показательному закону f(x) = 0,05е-0,05t (t > 0), где t – время в сутках. Найти вероятность того, что элемент проработает 20 суток.
Решение. По условию постоянная интенсивность отказов = 0,05. Далее по формуле (5.16) определим искомую вероятность R(20) = e-0,05*20 = e-10,37.
1. Распределение Вейбулла
Случайная величина Х непрерывного типа подчиняется закону распределения Вейбулла с параметрами a R, b > 0, если ее плотность распределения вероятностей записывается в виде
Распределение Вейбулла в ряде случаев характеризует срок службы радиоэлектронной аппаратуры и, кроме того, применяется для аппроксимации различных несимметричных распределений в математической статистике. Легко заметить то, что показательное распределение – частный случай распределения Вейбулла (n = 1, а = 0, b = 1/ ).
Вычислим математическое ожидание случайной величины X, имеющей распределение Вейбулла.
Сделаем подстановку , отсюда , , нижний предел интегрирования по переменной t равен 0, а верхний равен
и, следовательно,
Первый из полученных интегралов равен 1, а второй
где – гамма-функция Эйлера. Итак,
.
Непрерывная случайная величина Х имеет гамма-распределение с параметрами, а > 0 и b > 0, если ее плотность вероятностей имеет следующий вид:
Показательное распределение с параметром также является частным случаем гамма-распределения (а = 1, b =).
Другой частный случай гамма-распределения с параметрами
(n – натуральное число ), называется распределением Хи-квадрат с n степенями свободы (пишут X2(n)). Распределение Х2(n) играет большую роль в математической статистике.
Если случайная величина Х подчинена закону Х2(n), то ее плотность вероятностей записывается в виде
Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать
Треугольное распределение
Функция треугольного распределения случайной величины определяется формулой:
Плотность треугольного распределения СВ находится по формуле:
Математическое ожидание — формула:
График плотности треугольного распределения случайной величины в диапазоне от -4 до 10
График плотности треугольного распределения случайной величины
График функции треугольного распределения случайной величины
Треугольное распределения является приблизительной моделью и применяется, когда недостаточно данных или они отсутствуют. Треугольный закон распределения также используется для построения сложных законов распределения.
💡 Видео
Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать
Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать
Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Равнобедренный треугольник. Определение. Свойства. Теоремы и доказательства.Скачать
№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой сторонеСкачать
Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать
№107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметрСкачать
Равнобедренный треугольникСкачать
Определение угла равнобедренного треугольникаСкачать
Теорема о свойстве медианы равнобедренного треугольникаСкачать
Почему углы при основании равны в равнобедренном треугольникеСкачать
Распределение в Статистике за 5 МинутСкачать
Равнобедренный треугольникСкачать
Геометрическое распределениеСкачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Самое нормальное распределение // Vital MathСкачать