Задачи на свойство медиан треугольника (2 видео)

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Содержание

Определение медианы треугольника
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Примеры задач
Задачи репетитора по математике на свойства медиан
Свойство медианы треугольника
🔥 Видео

Видео:Урок 33. Свойство медиан треугольника (8 класс)Скачать

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:Геометрия 7. Треугольники. Медиана и биссектриса треугольника. Определение и свойства. Решение задачСкачать

Задачи репетитора по математике на свойства медиан

by Колпаков А.Н. on 30 июня 2013

Публикую свежий комплект заданий, предназначенный для урока геометрии в 8 классе. В распоряжение репетитора по математике передается 14 задач среднего уровня школьной сложности на центр тяжести треугольника и свойства его медиан. Решайте сами, решайте с репетитором. Дружите с математикой! Удачи.

Комплект предназначен для уроков

Подготовки к ЕГЭ
Подготовки к ГИА
Устранения пробелов с репетитором по математике в 8 классе.
Дополнительной практики решения задач по планиметрии

1) В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ=2 и BN=3.

2) В треугольнике АВС медианы ВМ и АN пересекаются в точке P. Найдите их длины, если =36 кв.см. и AP-PM=1.

3) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=6см и ВС=8 см, а длина медианы ВМ равна 5см.

4) Найдите площадь треугольника MNP, если MN=5см, NP=12 см, NE- медиана и

5) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=16см, ВL – медиана и BL=17,

6) Найдите площадь треугольника, если известно. Что длины его двух медиан равны 6см и 9 см, а сами медианы перпендикулярны.

7) В треугольнике АВС: AB=6см, BC=8см, медианы АМ и CN образуют угол в . Найдите длину стороны АС

8) В треугольнике APC проведены две медианы PK и AD, пересекающиеся в точке E. Известно, что ; и . Найдите

9) В треугольнике MNK проведены две медианы MD и KP, пересекающиеся в точке С. Известно. Что MD=12см и расстояние от точки P до MD равно 8. Найдите

10) В треугольнике MDC проведены две медианы MK и DE, которые пересекаются в точке N. Найдите , если и

11) Точка А – точка пересечения медиан в треугольнике PNK. Найдите высоту треугольника, опущенную из точки N на сторону PK, если расстояние от А до PK=2см.

12) Медианы SK и АН треугольника АSE пересекаются в точке О. Найдите , если = 24 кв.см.
Ответ: 2 кв.см.

13) Медианы KE и QB треугольника QKC пересекаются в точке H. Найдите площадь треугольника CBE, если кв.см.
Ответ: 18 кв.см.

14) Медианы ME и NA треугольника MNK пересекаются в точке С. Найдите площадь треугольника CEA, если кв.см.

Каждая задачка, которая предлагается школьнику, должна реализовывать те или иные учебно-методические замыслы репетитора по математике и вести к развитию каких-либо локальных навыков (логико-смысловых или преобразующих / вычислительных). Хороший комплект обязан содержать максимально разнообразный по составу список упражнений, охватывающий как можно тем, пройденных ранее. К примеру, если репетитор по математике берется за какое-нибудь новое свойство или понятие, то в задачах на его закрепление необходимо пересмотреть как можно большее число разных комбинаций с ранее изученными фактами или понятиями. Если с репетитором по математике была изучена тема «площадь», но желательно включить в список задач парочку задач на соответствующие формулы.

Репетиторы по математике редко строят уроки по рекомендованным методистами образцам. Почему? Если репетитор плохой — он вообще не задумывается о порядке и учебной ценности решаемых задач, а если репетитор толковый — ему может банально не хватить учебного времени. Временные ограничения постоянно вяжут руки репетиторам по математике. Приходится пропускать задачки, исключать из планов разборы доказательств и др. Использование данного комплекта подразумевает более-менее удобный временные условия для работы. Задачи подобраны с учетом принципа аналогии. Одна задача разбирается совместно с преподавателем, а соседняя задается на дом.

Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике. Москва. Строгино.

Видео:Задача найти площади треугольников при пересечении медианСкачать

Свойство медианы треугольника

Разделы: Математика

Цели урока:

Обучающие — познакомить ребят с дополнительными соотношениями между элементами треугольника, повторить сопутствующий материал.
Развивающие — формирование умений анализировать, сравнивать , делать выводы, самостоятельно открывать блок новых знаний.
Воспитывающие — формирование навыков коммуникативности , умение быть внимательным, уметь представить свою работу.

Ход урока

1. Оргмомент. Учитель приветствует ребят, настраивает на работу, приглашает к сотрудничеству и совместному творчеству.

2. Актуализация знаний.

Вопросы к классу:

Что называется параллелограммом?
Свойства, признаки параллелограмма.
О диагоналях параллелограмма.
Что называется медианой треугольника? Что вы знаете о медианах?
Какой треугольник называется равнобедренным?

3. Самостоятельная работа. (1 ученик работает на переносной доске, проектор на экране высвечивает таблицу возможных ответов)

Номер N	1	2	3	4
A	12	40	6	8 и 16
B	3	12	3	4 и 20
C	4	8	10	4 и 8
Оценка:

СР- медиана, СР=6 см, СО — ?

Найти сумму квадратов длин диагоналей параллелограмма

A = 30 0

S_ABCD — ?

Проверка: на проекторе пошаговое открытие правильных ответов, работавший у доски представляет свое решение, класс обсуждает решение. Исправляются неточности и ошибки ( если они есть), отвечавший сразу получает оценку, при необходимости ему можно задать дополнительные вопросы. Ребята, работавшие на местах, ставят себе оценку сами.

Задание. Учитель обращает внимание класса на задачу:

Дано

Найти : ВМ

Ребята начинают искать способы ее решения и высказывают мысль о том, что хорошо бы иметь формулу, дающую связь между длиной медианы треугольника и ее сторонами.

4. Постановка проблемы.

Учитель предлагает ребятам еще раз сформулировать возникшую у них проблему. Тема урока все еще не формулируется.

5. Открытие учениками новых знаний.

Учитель: давайте рассмотрим треугольник со сторонами a,b,c и медианой m _a, проведенной из вершины А.

1.) Продолжим медиану AD на расстояние DE=DA.

2.) Соединим т. В и т. Е, т.Е и т. С. Чем является полученный четырехугольник? Почему?

3.) Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.

АЕ 2 + ВС 2 = АВ 2 + ВЕ 2 + ЕС 2 + АС 2

АЕ 2 +

АЕ 2

АЕ =

m_a =

Ученики говорят о том, что нашли связь между длиной медианы треугольника и длинами его сторон. Формулируем теорему:

Длина медианы треугольника выражается формулой m_a=, где a, b, c –

длины сторон треугольника.

Учитель: Сможем ли мы теперь решить пропущенную задачу? Совместное решение.

Учитель: Давайте попробуем решить несколько заданий с помощью открытого нами свойства медианы треугольника. Можете ли вы, ребята, сейчас сформулировать тему нашего урока? Из предложенных вариантов выбирают самый удачный и записывают его.

6.Задача.

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3 см.

Дано:

теругольник АВС – равнобедренный

Найти: АС

Выберите правильный рисунок.

Решение: по свойству медианы треугольника AF =

АС= см.

Ответ: см.

7. Задача.

Основание равнобедренного треугольника равно 4 см, а медиана боковой стороны равна 5 см. Найти длину каждой из боковых сторон.

Дано:

треугольник АВС – равнобедренный.

АС=4 см.

Найти: АВ, ВС.

Решение: Пусть АВ = ВС= х (см) , тогда по свойству медианы треугольника имеем:

AF=, х=6.

8. Итог урока.

Ребята, что нового вы узнали сегодня на уроке, все ли вам понятно? Можно поинтересоваться мнением учеников по структуре урока, какие моменты были особенно трудными.

9. Домашнее задание.

1. Записать теорему в тетрадь- памятку.

2. Придумать и решить задачу, где будут известны длины трех сторон треугольника, а найти надо его медиану.

Удачной работы! Спасибо за урок!

Список литературы: