Задача на нахождение медианы треугольника (2 видео)

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Содержание

Определение медианы треугольника
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Примеры задач
Задачи репетитора по математике на свойства медиан
Медиана треугольника. Оптимальные методы решения задач (стр. 1 )
📸 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:Формулы для медианы треугольникаСкачать

Задачи репетитора по математике на свойства медиан

by Колпаков А.Н. on 30 июня 2013

Публикую свежий комплект заданий, предназначенный для урока геометрии в 8 классе. В распоряжение репетитора по математике передается 14 задач среднего уровня школьной сложности на центр тяжести треугольника и свойства его медиан. Решайте сами, решайте с репетитором. Дружите с математикой! Удачи.

Комплект предназначен для уроков

Подготовки к ЕГЭ
Подготовки к ГИА
Устранения пробелов с репетитором по математике в 8 классе.
Дополнительной практики решения задач по планиметрии

1) В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ=2 и BN=3.

2) В треугольнике АВС медианы ВМ и АN пересекаются в точке P. Найдите их длины, если =36 кв.см. и AP-PM=1.

3) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=6см и ВС=8 см, а длина медианы ВМ равна 5см.

4) Найдите площадь треугольника MNP, если MN=5см, NP=12 см, NE- медиана и

5) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=16см, ВL – медиана и BL=17,

6) Найдите площадь треугольника, если известно. Что длины его двух медиан равны 6см и 9 см, а сами медианы перпендикулярны.

7) В треугольнике АВС: AB=6см, BC=8см, медианы АМ и CN образуют угол в . Найдите длину стороны АС

8) В треугольнике APC проведены две медианы PK и AD, пересекающиеся в точке E. Известно, что ; и . Найдите

9) В треугольнике MNK проведены две медианы MD и KP, пересекающиеся в точке С. Известно. Что MD=12см и расстояние от точки P до MD равно 8. Найдите

10) В треугольнике MDC проведены две медианы MK и DE, которые пересекаются в точке N. Найдите , если и

11) Точка А – точка пересечения медиан в треугольнике PNK. Найдите высоту треугольника, опущенную из точки N на сторону PK, если расстояние от А до PK=2см.

12) Медианы SK и АН треугольника АSE пересекаются в точке О. Найдите , если = 24 кв.см.
Ответ: 2 кв.см.

13) Медианы KE и QB треугольника QKC пересекаются в точке H. Найдите площадь треугольника CBE, если кв.см.
Ответ: 18 кв.см.

14) Медианы ME и NA треугольника MNK пересекаются в точке С. Найдите площадь треугольника CEA, если кв.см.

Каждая задачка, которая предлагается школьнику, должна реализовывать те или иные учебно-методические замыслы репетитора по математике и вести к развитию каких-либо локальных навыков (логико-смысловых или преобразующих / вычислительных). Хороший комплект обязан содержать максимально разнообразный по составу список упражнений, охватывающий как можно тем, пройденных ранее. К примеру, если репетитор по математике берется за какое-нибудь новое свойство или понятие, то в задачах на его закрепление необходимо пересмотреть как можно большее число разных комбинаций с ранее изученными фактами или понятиями. Если с репетитором по математике была изучена тема «площадь», но желательно включить в список задач парочку задач на соответствующие формулы.

Репетиторы по математике редко строят уроки по рекомендованным методистами образцам. Почему? Если репетитор плохой — он вообще не задумывается о порядке и учебной ценности решаемых задач, а если репетитор толковый — ему может банально не хватить учебного времени. Временные ограничения постоянно вяжут руки репетиторам по математике. Приходится пропускать задачки, исключать из планов разборы доказательств и др. Использование данного комплекта подразумевает более-менее удобный временные условия для работы. Задачи подобраны с учетом принципа аналогии. Одна задача разбирается совместно с преподавателем, а соседняя задается на дом.

Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике. Москва. Строгино.

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Медиана треугольника. Оптимальные методы решения задач (стр. 1 )

Задача на нахождение медианы треугольника

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6

Государственное учреждение образования «Средняя школа № 12 г. Пинска»

УЧЕБНО — МЕТОДИЧЕСКОЕ МИНИ-ПОСОБИЕ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 7-11КЛАССОВ

Оптимальные методы решения задач»

ГЛАВА 1. Основные теоретические сведения и советы по решению геометрических задач…………………………………………………………. с. 3.

1.1.Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы, теоремы. ……………………………………………………………………….. с. 4

1.2 Обзор общих методов и приемов решения геометрических задач. ….. с.7

ГЛАВА 2. Различные методы и приемы, их применение к решению задач по теме «Медиана треугольника». ……………………………………………… с. 7

2.1. Метод опорных задач. ………………………………………………….. с. 8

2.2. Поэтапно-вычислительный метод (применение формулы длины медианы и теоремы косинусов). ………………………………………………………..с. 12

2.3. Алгебраический метод. ………………………………………………….с. 14

2.4. Геометрический метод. ………………………………………………. с. 16

2.5. Метод площадей и метод подобия. ……………………………………..с. 17

2.6. Метод вспомогательного элемента или параметра. ………………….. с. 21

2.7. Комбинированный метод………………………………………………….с. 23

ГЛАВА 3. Олимпиадные задачи и задачи централизованного тестирования по теме «Медиана треугольника». Выбор оптимального метода решений. . с.23

ГЛАВА 4. Задачи для самостоятельной подготовки к экзаменам. ………с. 25

это не ботаники в очках, листающие

пыльные книги, а современные люди!

В современном мире все возрастает потребность в людях с широким кругозором и прочными знаниями, хорошо владеющих техническими науками, а это значит, что требования к знанию математики тоже становятся выше.

Как научиться решать задачи легко и быстро? Как сдать экзамены и ЦТ без проблем?

Во-первых, необходимо твердое знание теоретической базы. И в этом пособии вы найдёте подробное изложение теоретических сведений по теме «Медиана треугольника». Но даже отличного знания теории недостаточно для того, чтобы быстро находить оптимальный метод решения. Да и на страницах школьных учебников не содержится информации о том, какие существуют методы решения геометрических задач. А их в геометрии немало: поэтапно-вычислительный, алгебраический, тригонометрический, геометрический, метод вспомогательного аргумента, метод площадей, метод подобия, комбинированный метод и др.

Суть этого пособия состоит в том, чтобы кратко раскрыть суть каждого из них, к каждому методу привести задачи с решениями, начиная от самых простых, проанализировать рациональность применения каждого из способов к решению. Этот сборник содержит 28 решенных задач, часть этих задач решена несколькими методами, ещё 20 задач предлагается для самостоятельного решения. К ним приведены ответы.

Надеюсь, что предлагаемая вашему вниманию брошюра поможет читателю погрузиться в увлекательный мир геометрии и успешно овладеть методами решения задач по теме «Медиана треугольника».

Глава 1. Основные теоретические сведения и советы по решению геометрических задач.

Умение решать задачи всегда основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов и в овладении приёмами и методами решения. Из своего опыта и советов учителя знаю и советую вам, для успешного решения задачи необходимо выполнить следующие условия.

1. Четко знать теоретический материал.

2 . Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание. Не спешите начинать решать задачу. Сначала необходимо

а) ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание;

б) вникнуть в ее содержание. При этом нужно выделить в задаче данные и искомые.

3. После прочтения сделать рисунок.

Нужно научиться делать большие и красивые чертежи, а иногда не чертежи, а рисунки. Чертежи — рисунки, если они выполнены грамотно, могут сильно облегчить поиск решения, работу над ним.

Рисунок может подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами. Если идет речь, например, о произвольном треугольнике, то треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным.

4. Необходимо знание методов решения геометрических задач.

Учитывая рекомендации, первым делом изучим теоретический материал по теме «Медиана треугольника».

1.1. Что такое медиана треугольника. Её основные свойства, формулы, теоремы

Треугольник неисчерпаем – его свойства изучали ещё в древнем Египте, но и в наше время открываются всё новые. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом энциклопедии.

Остановимся подробнее на медиане треугольника и ее свойствах. Сначала вспомним, что

медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) – это отрезок соединяющий вершины треугольника с серединой противоположной стороны.

Рис.1. Отрезок ВМ – медиана треугольника АВС.

Треугольник имеет три стороны, а значит и медиан у него – три.

Рис. 2 ВМ, АК, СР – медианы треугольника АВС.

1 .Три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом (центром масс) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

Рис 3. BN:NM=AN:NK=CN:NP=1:2, точка N– центроид

2.Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (с равными площадями).

Рис.4SABM=SCBM

3. Все медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Рис. 5 SAPN=SBPN =SBKN=SCKN SCMN=SAMN

4.Если точку пересечения медиан треугольника соединить отрезками с вершинами треугольника, то треугольник разделится на три равновеликих.

Рис.6 SABN=SBCN =SACN

5.Если a, b, c – длины сторон треугольника АВС, то длины его медиан ma, mb, mc можно вычислить по формулам:

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна половине гипотенузы и является радиусом окружности, описанной около этого треугольника.

Рис. 7. ОА=ОВ=ОС=R

7.Медиана треугольника есть геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков прямых, заключенных внутри треугольника, параллельных той стороне, к которой проведена медиана.

Рис. 8

8. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой и биссектрисой.

Рис.9 ВD — медиана, высота, биссектриса

9*.Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром (точка пересечения высот), все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).

Рис.10

1. 2. Основные методы решения задач по геометрии.

Материалы школьных учебников по геометрии не акцентируют внимания на методах решения задач. Наверное потому, что в отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая задача требует «индивидуального» подхода. Но все-таки, можно выделить некоторые основные приемы и методы, знание которых подкрепленные интуицией, помогут найти решение задачи наиболее рациональным способом.

В следующей главе рассмотрим некоторые методы и их применение на практике к решению задач по теме «Медиана треугольника.

Глава2. Примеры применения различных методов и

приемов решения задач

2.1.Метод опорных задач

Под методом опорных задач понимают такие задачи, когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем и задач. Такие задачи надо не только уметь решать, но и знать, и уметь применять содержащиеся в них факты к решению других задач. К таким задачам относятся и теоремы, из первой главы. Приведем их доказательство.

Задача №1. Доказать, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведём в нём медиану BM. Треугольник разбился медианой на два треугольникаABM и CBM, имеющих равные основания AM и CM. Так как у этих треугольников общая высота BN, то SABM =½AM× BN = ½CM×BN = SCBM.

Что и требовалось доказать.

Задача№ 2. Точку пересечения медиан треугольника соединили с его вершинами. Доказать, что площади образовавшихся треугольников равны.