Выводы по треугольнику паскаля

Цель:

Изучение биографии Блеза Паскаля.

Изучение роли понятия треугольника Паскаля при решении задач, его свойств, истории и построения.

Гипотеза исследования:

Умение применять разнообразные методы , наиболее рациональные способы решения задач с применением треугольника Паскаля.

Методы исследования:

Задачи:

Собрать и обобщить теоретические сведения по теме исследования;

Классифицировать приемы, используемые при решении задач с использованием треугольника Паскаля;

Провести исследование по выявлению задач решаемых с помощью треугольника Паскаля.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Скачать:

Видео:ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

Предварительный просмотр:

РАЙОННАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ «ИССЛЕДУЕМ И ПРОЕКТИРУЕМ»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение МБОУ «Староимощкинская средняя общеобразовательная школа» Аксубаевского муниципального района Республики Татарстан

Учебно-исследовательская работа (проект)

Аниськина Светлана Юрьевна,

ученица 10 класса

Харитонова Зинаида Алексеевна,

село Старое Тимошкино

1.1 Биография Блез Паскаля…………………………………………..3-6

б) Изучение атмосферного давления………………………………..8-9

2.4 Построение треугольника Паскаля …………………………………15-19

2.5 Треугольник Паскаля в шахматах…………………………………. 19-20

2.6 Решение задач с применением треугольника Паскаля ……………20-23

2.7 Треугольник Паскаля и биноминальные коэффициенты………….23-25

Изучение биографии Блеза Паскаля.

Изучение роли понятия треугольника Паскаля при решении задач, его свойств, истории и построения.

Умение применять разнообразные методы , наиболее рациональные способы решения задач с применением треугольника Паскаля.

Собрать и обобщить теоретические сведения по теме исследования;

Классифицировать приемы, используемые при решении задач с использованием треугольника Паскаля;

Провести исследование по выявлению задач решаемых с помощью треугольника Паскаля.

Навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач, в профессиональной деятельности.

1.1 Биография Блез Паскаля

Блез Паскаль (1623 — 1662) — французский математик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики.
Блез рос одарённым ребёнком. Отец самостоятельно занимался образованием мальчика, он сам неплохо разбирался в математике — дружил с Мерсенном и Дезаргом, открыл и исследовал неизвестную ранее алгебраическую кривую, с тех пор получившую название «улитка Паскаля», входил в комиссию по определению долготы, созданную Ришелье. Паскаль-отец придерживался принципа соответствия сложности предмета умственным способностям ребёнка. По его плану древние языки Блез должен был изучать с 12-ти, а математику с 15-16-летнего возраста. Метод обучения состоял в объяснении общих понятий и правил и последующем переходе к изучению отдельных вопросов. Так, знакомя восьмилетнего мальчика с законами грамматики, общими для всех языков, отец преследовал цель научить его мыслить рационально. В доме постоянно велись беседы по вопросам математики и Блез просил познакомить его с этим предметом. Отец, опасавшийся, что математика помешает сыну изучать латинский и греческий языки, обещал в будущем сделать это. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции, однако запретил ему всякие исследования в этой области. Однако Блез, оставаясь один, принялся углём чертить на полу различные фигуры и изучать их. Не зная геометрических терминов, он называл линию «палочкой», а окружность «колечком». Когда отец случайно застал Блеза за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясён: мальчик, не знавший даже названий фигур, самостоятельно доказал 32-ю теорему Евклида о сумме углов треугольника. Тогда Паскаль-отец отказался от своего первоначального плана обучения и разрешил читать сыну математические книги. В часы отдыха Блез изучал Евклидову геометрию, позднее, с помощью отца, перешёл к работам Архимеда, Аполлония и Паппа, потом — Дезарга. Когда Блезу было 11 лет, кто-то за обеденным столом зацепил ножом фаянсовое блюдо. Оно зазвучало. Мальчик обратил внимание, что стоило прикоснуться к блюду пальцем, как звук исчез. Чтобы найти этому объяснение, Паскаль провёл серию опытов, результаты которых позднее изложил в «Трактате о звуках». С 14 лет Паскаль участвовал в еженедельных семинарах Мерсенна, проводимых по четвергам. Здесь он познакомился с Дезаргом. Юный Паскаль был одним из немногих, кто изучал его труды, написанные сложным языком и насыщенные новоизобретёнными терминами. Он совершенствовал идеи, высказанные Дезаргом, обобщая и упрощая обоснования. В 1640 году выходит первое печатное произведение Паскаля — «Опыт о конических сечениях», результат исследования работ Дезарга. В это сочинение автор включил теоремы (доказательства не приводятся), три определения, три леммы и указал главы планируемого труда, посвящённого коническим сечениям. Третья лемма из «Опыта…» является теоремой Паскаля: если вершины шестиугольника лежат на некотором коническом сечении, то три точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны, лежат на одной прямой. Этот результат и 400 следствий из него Паскаль изложил в «Полном труде о конических сечениях», о завершении которого Паскаль сообщил пятнадцать лет спустя и который сейчас отнесли бы к проективной геометрии. «Полный труд…» так и не был опубликован: в 1675 году его прочёл в рукописи Лейбниц, рекомендовавший племяннику Паскаля Этьену Перье срочно напечатать его. Однако Перье не прислушался к мнению Лейбница и впоследствии рукопись была утеряна.
В январе 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан. В эти годы здоровье Паскаля, и без того неважное, стало ухудшаться. Тем не менее он продолжал работать. Отец Блеза по роду службы в Руане часто занимался утомительными расчётами, сын также помогал ему в распределении податей, пошлин и налогов. Столкнувшись с традиционными способами вычислений и, находя их неудобными, Паскаль задумал создать вычислительное устройство, которое могло бы помочь упростить расчёты. В 1642 году (в 19 лет) Паскаль начал создание своей суммирующей машины «паскалины», в этом, по его собственному признанию, ему помогли знания, полученные в ранние годы.
Привычная жизнь Паскаля закончилась. Ухудшается и состояние его здоровья: врачи предписывают уменьшить умственную нагрузку. Паскаль бывает в обществе, завязывает светские отношения. Весной 1652 года в Малом Люксембургском дворце он свою арифметическую машину и ставил физические опыты, заслужив всеобщее восхищение. Машина Паскаля вызвала интерес у шведской королевы Кристины — по просьбе аббата Бурдело учёный преподнёс ей один экземпляр своего изобретения.
Самым близким из друзей-аристократов для учёного стал герцог де Роанне, увлекавшийся математикой. В доме герцога, где Паскаль подолгу жил, ему была отведена особая комната. Через Роанне Паскаль познакомился с богачом и страстным игроком Дамье Миттоном, эрудитом кавалером де Мере. Размышления, основанные на наблюдениях, сделанных Паскалем в светском обществе, позднее вошли в его «Мысли

У Паскаля множество планов на будущее. В письме Парижской академии (1654) он сообщил, что готовит фундаментальный труд под названием «Математика случая».
Отказавшись от систематических занятий наукой, Паскаль тем не менее изредка обсуждает математические вопросы с друзьями, но не собирается более заниматься научным творчеством. Единственным исключением стало фундаментальное исследование циклоиды (как рассказывали друзья, он занялся этой проблемой, чтобы отвлечься от зубной боли). За одну ночь Паскаль решает задачу Мерсенна о циклоиде и делает ряд открытий в её изучении.
С 1658 года здоровье Паскаля быстро ухудшается. Согласно современным данным, в течение всей жизни Паскаль страдал от комплекса заболеваний: рака мозга, кишечного туберкулёза, ревматизма. Его одолевает физическая слабость, появляются ужасные головные боли. Гюйгенс, посетивший Паскаля в 1660 году, нашёл его глубоким стариком, хотя Паскалю было всего 37 лет.
Осенью 1661 года Паскаль поделился с герцогом де Роанне идеей создания дешёвого и доступного всем способа передвижения в многоместных каретах. Герцог создал акционерное общество для реализации этого проекта и 18 марта 1662 года в Париже открылся первый маршрут общественного транспорта, названного впоследствии омнибусом (повозка на конной тяге, предшественник автобуса).
19 августа 1662 года после мучительной продолжительной болезни Блез Паскаль скончался. Похоронен в приходской церкви Парижа Сен-Этьен-дю-Мон.

2. Основная часть

2.1 Открытия Паскаля

Открытия Паскаля до сегодняшнего дня служат в сфере гидравлики и вычислительной техники

а) Арифмометр Паскаля

Арифмометр Паскаля был создан по принципу античного таксометра – устройства, которое предназначалось для расчета расстояния, только немного видоизмененного Вместо 2 колес использовалось уже 6, что позволило выполнять расчеты шестизначными числами. .

В данной вычислительной машине колеса могли вращаться только в одном направлении. Производить суммирующие операции на такой машине было легко. Например, нам необходимо высчитать сумму 10+15=? Для этого необходимо вращать колесо пока не выставится значение первого слагаемого 10, потом крутим это же колесо до значения 15. При этом указатель сразу же показывает 25. То есть подсчет происходит в полуавтоматическом режиме. Вычитание на такой машине невозможно произвести, так как колеса не вращаются в обратном направлении. Делить и умножать арифмометр Паскаля не умел. Но даже в таком виде и с такими функциональными возможностями эта машина была полезной и ей с радостью пользовался Паскаль-старший. Машина производила быстрые и безошибочные математические действия по суммированию. Паскаль-старший даже вложил деньги в производство паскалин. Но это принесло только разочарование, так как большинство бухгалтеров и счетоводов не хотели принимать такое полезное изобретение. Они считали, что при введении таких машин в действие им придётся искать другую работу. В 18 столетии арифмометры Паскаля широко использовались моряками, артиллеристами и ученными для арифметических сложений. Это изобретение саботировалось со стороны финансистов более 200 лет.

б)Изучение атмосферного давления.

В свое время Паскаль видоизменил опыт Эванджелиста Торричелли и сделал вывод, что над жидкостью в трубке должна образоваться пустота. Он купил дорогостоящие стеклянные трубки и проводил опыты без использования ртути. Вместо неё он применил воду и вино. В ходе экспериментов выяснилось, что вино имеет свойство подыматься выше, чем вода. Декорт в свое время доказывал, что над жидкостью должны располагаться ее пары. Если вино испаряется быстрее воды, то накопившиеся пары вина должны препятствовать поднятию жидкости в трубке. Но на практике предположения Декарта были опровергнуты. Паскаль предположил, что атмосферное давление воздействует одинаково на тяжелые и легкие жидкости. Данное давление способно затолкнуть в трубку больше вина, так как оно легче.

Опыты Эванджелиста Торричелли

Паскаль, который долгое время экспериментировал с водой и вином, установил, что высота подъема жидкостей меняется в зависимости от погодных условий. В 1647 году было сделано открытие, которое свидетельствуют о том, что атмосферное давление и показания барометра зависят от погоды.
Чтобы окончательно доказать то, что высота подъёма столбика жидкости в трубке Торричелли зависит от изменения атмосферного давления, Паскаль просит своего родственника подняться с трубкой на гору Пюи-де-Дом. Высота этой горы составляет 1465 метров над уровнем моря и имеет на вершине меньшее давление, чем у ее подножья.

Так Паскаль сформулировал свой закон: на одном расстоянии от центра Земли – на горе, равнине или водоеме атмосферное давление имеет одинаковое значение.

в) Теория вероятности.

С 1650 года Паскаль с трудом передвигается, так как был поражен частичным параличом. Врачи считали, что его болезнь связана с нервами и ему необходимо встряхнуться. Паскаль стал посещать игорные дома и одно из заведений имело название «Папе-Рояль», которым владел герцог Орлеанский.

В этом казино судьба свела Паскаля с шевалье де Мере, который обладал необычными математическими способностями. Он поведал Паскалю, что при бросании кости в подряд 4 раза, выпадение 6 составляет более 50%. Мере делая небольшие ставки в игре выигрывал, используя свою систему. Такая система работала, только при бросании одной кости. При переходе на другой стол, где производился бросок пары костей, система Мере не приносила прибыль, а наоборот только убытки.

Такой подход натолкнул Паскаля на мысль, в которой он захотел рассчитать вероятность с математической точностью. Это был настоящий вызов судьбе. Паскаль решил решить данную задачу при помощи математического треугольника, который был известен даже в древности (например, Омар Хайям упоминал о нем), который потом получил название – треугольник Паскаля. Эта пирамида, состоящая из чисел, каждое из которых равно суме пары чисел расположенных над ним.

Такой треугольник позволяет точно рассчитать вероятность выпадения в игре «орел-решка». Если мы подбрасываем монетку один раз, то результат вероятности мы видим во второй горизонтальной строке – одно выпадение «решка» и одно «Орел» (50/50). Также можно рассматривать варианты 2, 3, 4 бросков и т.д.

Данное изобретение было революционным. Оказывается удачу можно предсказать. По теории Паскаля неудачи можно не опасаться, если теория ее вероятности существенно мала. Такую вероятность можно легко рассчитать по статистическим данным.

Открытие Паскаля используют экономисты различных стран мира. Его теорию применяют в страховых компаниях и торговых биржах.

А известно ли вам, что Паскаль подал идею создания современной рулетки для казино. Он предложил сначала рассчитывать вероятность выигрыша игры в лото из 36 билетов.

2.2 Треугольник Паскаля

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы . Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятности и обладает занимательными свойствами

Мартин Гарднер пишет в книге «Математические новеллы» (М., Мир, 1974): «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смаликом, а тремя, соответственно, розовым. Это один из вариантов построения треугольника, предложенный Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе».

• Второе число каждой строки соответствует её номеру.
• Третье число каждой строки равно сумме номеров строк, ей предшествующих.
• Третье число каждой строки является треугольным .
• Четвертое число каждой строки является тетраэдрическим .
• Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи :

• Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана .
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n .
• Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры.
• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского .

Треугольник Яна Хуэя в китайском средневековом манускрипте, 1303 год. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы . Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года , поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе , в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике» .

2.4 Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Треугольник Паскаля часто выписывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но, сколько в этом таится чудес.

На вершине треугольника стоит 1. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.

Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника — как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две — итого три — к двум можно приладить еще три — итого шесть. Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника, получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66. что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 — совершенные числа, 36 — квадратное число, 8 и 21 — числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа — один шар мы можем положить на три — итого четыре, под три подложим шесть — итого десять, и так далее.

А следующая зеленая линия (1, 5, 15, 35. ) продемонстрирует попытку выкладывания гипертетраэдра в четырехмерном пространстве — один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти. В нашем мире и нашем измерении это невозможно, возможно только в четырехмерном, виртуальном. И тем более пятимерный тетраэдр, о котором свидетельствует следующая зеленая линия, он может существовать только в рассуждениях топологов.

А о чем же говорит нам самая верхняя зеленая линия, на которой расположились числа натурального ряда? Это тоже треугольные числа, но одномерные, показывающие, сколько шаров можно выложить вдоль линии — сколько есть, столько и выложите. Если уж идти до конца, то самый верхний ряд из единиц — это тоже треугольные числа в нульмерном пространстве — сколько бы шаров мы не взяли — больше одного расположить не сможем, ибо просто негде — нет ни длины, ни ширины, ни высоты.

Даже беглого взгляда, брошенного на треугольник Паскаля, достаточно, чтобы отметить следующие любопытные факты: 10 ядер можно сложить и в виде тетраэдра и в виде плоского треугольника. А 56 гиперядер, образующих тетраэдр в пятимерном пространстве, можно уложить в обычный привычный трехмерный тетраэдр, однако, если бы мы попытались выложить из 56 ядер треугольник, то одно ядро осталось бы лишним.

А вот еще два интересных свойства треугольника Паскаля. Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще — ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. «Спустившись» по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120. Но, кстати, 120 — тетраэдральное число. Следовательно, взяв все шары, из которых сложены 8 первых треугольников, мы могли бы сложить тетраэдр.

Суммы чисел, стоящих вдоль не столь круто падающих диагоналей (на рисунке отмечены красными линиями) образуют хорошо известную последовательность Фибоначчи.

Числа Фибоначчи часто встречаются в комбинаторных задачах. Рассмотрим ряд из n стульев. Сколькими способами можно рассадить на них мужчин и женщин так, чтобы никакие две женщины не сидели рядом? При n=1, 2, 3, 4, . число способов соответственно равно 2, 3, 5, 8, . то есть совпадает с числами Фибоначчи. Паскаль, по-видимому, не знал, что числа Фибоначчи скрыты в его треугольнике. Это обстоятельство было обнаружено только в XIX веке. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, — это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения (x+y) n по степеням x и y. Например, (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 и (x+y) 3 =x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 . Коэффициенты разложения 1, 2, 2 стоят во второй строке, а 1, 3, 3, 1 — в третьей строке треугольника. Чтобы найти коэффициенты разложения (x+y) n , достаточно взглянуть на n-ую строку треугольника. Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его с комбинаторикой и теорией вероятности, превращая в удобное средство проведения вычислений.

В общем случае, число, показывающее, сколькими способами можно выбрать n элементов из множества, содержащего r различных элементов, стоит на пересечении n-ной диагонали и r-ой строки. Число возможных сочетаний из n элементов по m определяется формулой

где n!=1*2*3*4*. *n так называемый факториал числа n. А значения биномиальных коэффициентов определяются по формуле

причем, они же и являются, как мы выяснили, строками треугольника Паскаля, связывая непостижимым образом этот треугольник с комбинаторикой и разложением двучлена по степеням .

Технический музей Вены

Треугольник Паскаля двумерный, лежит в плоскости. Непроизвольно появляется мысль — а нельзя ли его закономерности распространить на трехмерный (и четырех -. ) аналог? Оказывается можно! Существует трехмерный аналог треугольника — пирамида Паскаля, ее связь с триномиальными коэффициентами. Пирамиду Паскаля можно строить в форме тетраэдра, а также пирамиды с различными значениями двухгранных углов, один из которых прямой.

По трем внешним ребрам пирамиды стоят единицы. Каждая из трех боковых граней представляет собой треугольник Паскаля. Любой внутренний элемент пирамиды Паскаля, стоящий в n-м сечении, равен сумме трех элементов, расположенных в углах элементарного треугольника (n-1)-го сечения пирамиды. Сечение получается из треугольника Паскаля, основанием которого служит n-я строка Паскаля, умножением элементов его строк почленно на элементы основания, повернутого против часовой стрелки на угол π /2.

Если сечение пирамиды Паскаля является правильным треугольником, то при любом n оно имеет три оси симметрии. На рисунке указаны оси симметрии сечения при n = 4 .

2.5 Треугольник Паскаля в шахматах

В книге Евгения Гика «Шахматы и математика» в главе, посвященной геометрии шахматной доски, автор приводит удивительные примеры, когда знание вариантов маршрута короля позволило мастерам спасать совершенно проигрышные позиции. (Приведен знаменитый этюд Рети, в котором король удивительным образом успевает повоевать в двух противоположных участках доски). А связь с этой темой в том, что количество вариантов маршрутов короля для достижения каждого поля подчиняется закономерности треугольника Паскаля! Смотрите диаграмму, как пишут в шахматных учебниках, и используйте это в ваших эндшпилях.

И самый последний вопрос, связанный одновременно с треугольником Паскаля и с шахматами. Чему равна сумма всех чисел, стоящих выше какого-либо ряда? Эти суммы дают значения 1, 3, 7, 15, 31. Не надо обладать большой фантазией, чтобы увидеть простую закономерность: сумма всех чисел для n рядов равна 2n-1. И как эта закономерность связана с шахматами? По общеизвестной легенде индийский раджа обещал создателю шахмат любую награду, которую тот попросит. Когда же первый шахматист попросил положить на первый квадрат доски одно пшеничное зерно, на второй — два, на третий — четыре, и так продолжая удваивать, до 64-го квадрата, то раджа даже обиделся сначала мизерностью просимой награды. Когда же его визири прикинули просимое количество, то оказалось, что этим зерном можно было бы засыпать всю Землю по колено, это намного больше, чем было и будет собрано во всех урожаях человечества. Можно рассчитать высоту слоя зерна, например, приняв объем зернышка в 1 мм 3 , умножить на 2 64 , непременно отнять 1 и разделить на площадь земной поверхности. Так вот — на каждой клетке доски лежало (бы) количество зерен, равное сумме чисел в соответствующей строке треугольника Паскаля, а сумма всех зернышек на первых n клетках равнялась (бы) сумме чисел на этих n строках этого волшебного треугольника.

Рассмотренные удивительные свойства треугольника Паскаля подтверждают слова Мартина Гарднера о том, что треугольник Паскаля одна из наиболее изящных схем во всей математике.

2.6 Решение задач с применением треугольника Паскаля

Олимпиадная задача
Имеется сеть дорог. Из точки А выходят 2 1000 . Половина идет по направлению 1, половина — по направлению т. Дойдя до первого перекрестка, каждая группа разделяется: половина идет по направлению 1, половина по направлению т. Такое же разделение происходит на каждом перекрестке. Сколько людей придет в каждый из перекрестков тысячного ряда?

Заметим, прежде всего, что мы пока не знаем, имеет ли задача решение, т.е. может ли движение людей происходить так, как требует условие задачи. Ведь если на какой-то перекресток, на котором предстоит очередное деление людского потока пополам, придет нечетное число людей, то движение застопорится. Следовательно, чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы в каждый перекресток любого из первых тысячи рядов, от нулевого до девятьсот девяносто девятого, пришло четное число людей. Мы убедимся, что это так, решая задачу.

Начнем с того, что введем обозначения для количества людей, прошедших через каждый перекресток нашей сети дорог. Будем нумеровать перекрестки каждого ряда слева направо, начиная с нулевого; перекрестки n-го ряда, следовательно, будут нумероваться от 0-го до n-го. Число людей, прошедших через k-й перекресток n-го ряда, обозначим H k n . Поскольку пока еще неизвестно, имеет ли задача решение, мы не можем быть уверены, что все числа Н k n существуют, т.е. что существует каждое из чисел H k n при любом n от 0 до 1000 и любом k от 0 до n. Некоторые из них, во всяком случае, существуют. Так, в силу введенных обозначений H 0 0 =2 1000

Посмотрим теперь, как связаны между собой числа H k n (k=0,1,2. n) и H k n (k=0,1,2. n+1)

При условии, что все они существуют. Изучая эту связь, мы сможем затем установить, что все числа H k n при 1000 >= n действительно существуют. Рассмотрим n-й и (n+1)-й ряды перекрестков и соединяющие их участки дорог; против каждого перекрестка поставим обозначение соответствующего числа людей.

Количество людей, вышедших из 0-го перекрестка n-го ряда (т.е. Н 0 n ), разделится пополам, и одна половина придет в 0-й перекресток (n+1)-го ряда; поэтому

Другая половина от Н°n придет в 1-й перекресток (n+1)-го ряда и там соединится с

половиной людей, вышедших из 1-го перекрестка n-го ряда, т.е. с половиной Н 1 n . Поэтому

И вообще, количество людей, пришедших на k-й перекресток (n+1)-го ряда, слагается из половины количества людей, вышедших из (k-1)-гo перекрестка n-го ряда. Эта половина равна

А половина количества людей, вышедших из k-гo перекрестка n-го ряда, равна таким образом,

Но должно выполняться условие.
Наконец, число людей, пришедших на (n+1)-й перекресток (n+1)-го ряда,

равно половине числа людей, вышедших из n-го перекрестка n-го ряда:

Эти соотношения позволяют установить, что задача действительно имеет решение. В самом деле, из равенств (2)-(4) вытекает, что если при каком-либо фиксированном n все числа n-го ряда: Н 0 n , Н 1 n , . , Н n n — существуют и делятся на 2а, то числа (n+1)-го ряда: Н 0 n+1 , Н 1 n+1 , . Н n+1 n+1 — существуют и делятся на а. Поэтому, поскольку все числа 0-го ряда (а их всего одно Н 0 0 ) существуют и делятся на 2 1000 , то все числа 1-го ряда Н 0 1 , Н 1 1 , существуют и делятся на 2 999 ; все числа 2-го ряда Н 0 2 , Н 1 2 Н 2 2 существуют и делятся на 2 998 , . ; все числа 999-го ряда Н 0 999 , Н 1 999 , . Н 999 999 существуют и делятся на 2; все числа 1000-го ряда Н 0 1000 , Н 1 1000 , . Н 1000 1000 существуют (и делятся на 1).

Соотношения (2)-(4) не только доказывают существование решения задачи, но и показывают, как из строчки чисел Н 0 n , Н 1 n , . Н n n получается строчка Н 0 n+1 , Н 1 n+1 , . Н n+1 n+1

Применяя последовательно эти соотношения, начиная с нулевой строки, мы в принципе можем вычислить значения H k n для всех 501501 перекрестков, содержащихся в рядах до тысячного включительно, в частности, для всех перекрестков тысячного ряда, и тем самым решить задачу. Так, для первых рядов непосредственным вычислением находим:

Аналогично находим числа остальных рядов до 1000-го.

Мы решили задачу без применения свойств треугольника Паскаля. Однако это довольно легко можно сделать. Зная свойства таблицы, при помощи, так называемой операции Паскаля, можно установить, что решениями задачи будут являться все члены 1000-й строки треугольника: С 0 1000 , С 1 1000 , С 2 1000 . С 1000 1000 .

2.7 Треугольник Паскаля и биноминальные коэффициенты

Биномиальные коэффициенты есть коэффициенты разложения многочлена по степеням x и y .

Заметим, что каждая строчка имеет определенную структуру:

• по краям стоят единицы
• количество элементов в каждой строчке равно номеру строчки
• каждый элемент строчки, кроме стоящих по краям равен сумме двух стоящих над ним.

Этот треугольник представляет собой коэффициенты в разложении Номер строчки в этом треугольнике соответствует n+1. Теперь разберемся со степенями одночленов в разложении. Посмотрим внимательно на формулы, которые я выписала в начале статьи:

Заметим, что степени всех одночленов, входящих в состав разложения равны n, причем степень первого слагаемого уменьшается с n до 0, а степень второго слагаемого увеличивается с 0 до n. Исходя из этого, мы можем написать разложение, например, . Коэффициенты разложения совпадают с числами, стоящими в пятой строчке треугольника Паскаля.

Пользуясь треугольником Паскаля, мы можем возвести двучлен в любую степень, не заучивая сложные формулы.

В нашей повседневной жизни мы широко используем раздел математики, называемый комбинаторным анализом. Этот раздел математики изучает так называемые конечные множества. Множество, состоящее из n элементов, называется n-элементным. Однако мы можем выбрать k элементов из n-элементного множества. Каждая k-элементная часть n-элементного множества называется сочетанием из n элементов по k. Одна из задач комбинаторного анализа состоит в нахождении числа комбинаций из n элементов по k. Обычно это число обозначают через C n k .

Вычислим теперь числа C n 0 , C n 1 ,C n 2 , …,C n n . Начнем из числа C n 0 . Но что означает 0 – элементное множество? Это означает, что множество не имеет элементов. Такое множество называется «пустым» множеством. Ясно, что существует только одно сочетание из n элементов по 0, то есть C n 0 =1.

Рассмотрим множество, состоящее из 3 элементов: карандаша, пера и ластика. Вычислим числа C 3 0 , C 3 1 ,C 3 2 ,C 3 3 для этого случая. Ясно, что C 3 0 = 1. Вычислим теперь C 3 1 . Ясно, что существует только три 1-элементных частей для этого случая, то есть C 3 1 = 3.

Для случая k = 2 также существует только 3 2-элементные части, то есть C 3 2 = 3.

Для случая k = 2 также существует только 1 2-элементные части, то есть C 3 3 = 1.

Но как велико число всех возможных частей n-элементного множества. Для нашего примера мы имеем: C 3 0 + C 3 1 + C 3 2 + C 3 3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3.

В комбинаторном анализе доказана следующая общая формула:

2 n = C n 0 + C n 1 +C n 2 + …+C n n [6].

Деятельность, связанную с решением задач с использованием треугольника Паскаля можно считать по своему характеру близкой к исследовательской. Решением таких задач способствует совершенствованию математической культуры, навыков дедуктивного мышления и творческих исследовательских способностей.

Мы познакомились с треугольником Паскаля и его вариациями. Эти числовые таблицы были созданы давно и хорошо изучены, нашли свое применение, а последний рассматриваемый треугольник, так называемый, «знаковый треугольник», появился сравнительно недавно, и поэтому его свойства еще не исследованы до конца (например, нерешенным остался вопрос, когда количество минусов и плюсов одинаково). Я попыталась частично решить эту задачу. Определила, при каких n может быть количество минусов и плюсов одинаковым. Нерешенным остался вопрос, при каком расположении минусов и плюсов первой строки это равенство будет выполняться. Эту проблему я намерена продолжить решать в последую

Видео:Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |Скачать

Выводы по треугольнику паскаля

Главная
• Список секций
• Математика
• Треугольник Паскаля

Видео:Математические секреты треугольника ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Замечательная геометрическая фигура и самая популярная в школьной программе геометрии — это треугольник. Но треугольники «поселились» не только на страницах учебника геометрии. В данной работе мы рассмотрим не обычный треугольник, а треугольник, состоящий из чисел – треугольник Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.

Познакомиться с таким математическим объектом, как треугольник Паскаля

Пополнить запас научных знаний.

Продолжить знакомство с основными историческими этапами возникновения и развития математической науки, судьбами открытий, именами людей, творивших науку. В первую очередь с биографией ученого Блеза Паскаля.

Самостоятельно попытаться составить данный треугольник.

Рассмотреть свойства треугольника Паскаля.

Определить значимость открытия треугольника Паскаля.

Сформулировать вывод и итоги исследования.

Треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей.

Актуальность данной работы не вызывает сомнения, поскольку обусловлена, с одной стороны большим интересом к теме «Треугольник Паскаля» в современной науке, с другой стороны, её недостаточной разработанностью.

Навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач.

Сбор первоначальных сведений о треугольнике в энциклопедической и учебно-научной литературе.

Построение треугольник Паскаля.

Выявление «волшебных» свойств чисел треугольника.

Изучение возможностей применения треугольника Паскаля.

Формулирование итогов и выводов.

аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

поиск информации в интернет — ресурсах.

1.Биография Блеза Паскаля

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями.

Одним из них является Блез Паскаль — французский математик, физик, философ и мастер прозы.

Родился Блез Паскаль в 1623 г. 19 июня в Клермон — Ферране, в семье председателя суда города Этьена Паскаля.

Род Паскалей отличали незаурядные способности, а Блеза одаренность посетила с раннего детства. Этьен Паскаль уделил много внимания развитию умственных способностей сына и уже в 16 лет Блез сочинил труд под названием «Опыт о конических сечениях» в котором содержалась теорема известная, как теорема Паскаля.

Вклад Паскаля в науках очень велик. Вот лишь некоторые из них: заложил основы современной теории вероятностей и математического анализа, сформулировал основной закон гидростатики, написал множество трудов по философии, изобрел шприц, создал гидравлический пресс и вычислительное устройство «Паскалин» (прототип калькулятора), изобрел тачку, придумал омнибус — конные экипажи с фиксированными маршрутами, ставшие впоследствии первым видом регулярного общественного транспорта и пр.

Умер Блез Паскаль 19 августа 1662 года.

Вследствие его больших вкладов в изучение давления в физике, в честь Паскаля назвали единицу измерения давления (Па). Так же в честь Паскаля назвали язык программирования Pascal .

2.Определение и основные свойства треугольника Паскаля.

2.1 История треугольника.

Треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года — даты выхода «Трактата об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля

Похожий треугольник представлен в качестве иллюстрации в книге китайского математика Яна Хуэя, изданной в 1303 году.

О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

2.2 Построение треугольника Паскаля.

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике» (Мартин Гарднер).

Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой (рис.1):

на вершине и по боковым сторонам стоят единицы,

-каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. Продолжать треугольник можно бесконечно.

2.3 Основные свойства треугольника Паскаля.

Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

Первое и последнее числа – 1; второе и предпоследнее – n.

Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси треугольника.

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна (рис.2)

Первая диагональ — это натуральные числа, идущие по порядку (рис.3).

Вторая диагональ — это «треугольные» числа (Рис.3). Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника — как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде.

Третья диагональ — это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три — итого четыре, под три подложим шесть — итого десять, и так далее) (рис.4).

Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.

Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.

Бином Ньютона – возведение выражения (a + b) в степень. При возведении в степень получаются коэффициенты, равные числам в треугольнике Паскаля.

Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи (число равно сумме двух предыдущих чисел) (рис.5).

Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки контрастного цвета, а чётные — белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Удивительное свойство треугольника Паскаля.

3. Применение треугольника Паскаля.

Где же применяется треугольник Паскаля?

При решении комбинаторных задач.

Треугольник Паскаля используется для решения различных задач в области физики:

принцип минимума потенциальной энергии;

материальные точки и центр тяжести;

центр тяжести системы двух материальных точек;

центр тяжести стержня с многими грузами;

невозможность вечного двигателя.

С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования.

Вот далеко не полный перечень свойств чисел треугольника Паскаля и его многочисленных применений.

4. Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач.

Свойства треугольника Паскаля, наверное, были бы не столь значимы, если бы на их основе нельзя было решать математические задачи. Такие задачи можно встреть в ОГЭ, ЕГЭ и в олимпиадных задачах старшего школьного уровня. Треугольник Паскаля используется при решении комбинаторных задач, для решения различных задач в области физики. С построением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении программирования.

Найдите сумму первых 8 треугольных чисел.

Найдем сумму первых восьми чисел 3 диагонали треугольника Паскаля. (рис.6) Получится 120.

Вася построил из шариков пирамиду. Известно, что на её строительство ушло 286 шариков, сколько «этажей» в Васиной пирамиде?

В данной задаче нам известно, что на строительство пирамиды ушло 286 шариков. Найдем решение с помощью треугольника Паскаля, в котором количество прямоугольников, пересеченных зеленой линией, будет наш ответ. (рис. 7)

Ответ: 11 «этажей».

В магазине «Теплица» продается 6 различных сортов помидор. Сколькими способами можно выбрать из них 3 сорта помидор?

В данной задаче нам даны различные сорта, поэтому повторений не будет и порядок выбора сортов нам неважен, нам важно количество, а именно 3. Найдем решение с помощью нашего треугольника Паскаля, в котором пересечении 3-й диагонали и 6 строки будет наш ответ (рис.8).

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки

Ответ находится на пересечении 11 ряда и 3 диагонали: Это число – 165 (рис.9).

Ответ: 165 окружностей.

Танк может двигаться по квадратам, видимым на карте, размером 4 на 4 только вправо или вниз. Он стоит в точке А. Из штаба пришло задание прибыть в точку В. Сколько маршрутов передвижения может использовать экипаж?

В квадраты a2, a3, a4, а1, b1, c1, d1 танк попадёт 1 способом, в квадрат b2 может добраться 2 способами (рис.10(а)). В квадрат с2 и b3 — 3 способами, d2 и b4 — 4 способами, в c3 – 6 способами, d3, c4 – 10 способами и в квадрат d4 (точка В) – 20 способами. (рис.10(б))

Ответ: 20 способов.

Решив задачу, мы замечаем, что полученные на «карте» числа образуют треугольник Паскаля. Таким образом, можно сделать вывод, что число в треугольнике Паскаля показывает количество способов передвижения от вершины треугольника до данного числа.

Из пункта А по сети дорог идет группа из человек. На каждом перекрестке, начиная с А, пришедшие туда люди делятся пополам – половина идет по направлению l, половина – по направлению m (рис.11). Сколько человек придет в пункты В, С, D, …, I соответственно?

Количество людей, пришедших в искомые точки соответствует числам n-ой строки. В данном случае, n = 7, следовательно¸ искомое количество людей на каждом перекрестке соответствует 7 строке треугольника Паскаля (рис.12).

Ответ: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Возведите в степень: (u — v) 5

У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:

Тогда у нас есть:

( u — v ) 5 = ( u + (- v )) 5 = 1( u ) 5 + 5( u ) 4 (- v ) 1 + 10( u ) 3 (- v ) 2 + 10( u ) 2 (- v ) 3 + 5( u ) (- v ) 4 +1(- v ) 5 = u 5 — 5 u 4 v + 10 u 3 v 2 — 10 u 2 v 3 + 5 uv 4 — v 5 .

В ходе исследования мы убедились, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно. Этот треугольник широко используется в математике для решения различных видов задач. Треугольник Паскаля имеет применение не только в математике, но и в физике, информатике.

Изучение темы «Треугольник Паскаля» оказалось очень интересной и необычной. Работа над проектом показала, что математика – это не только точная, но и красивая наука.

Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках/ С.Г.Гиндикин. – М.: Терра, 2013. – 480с.

Энциклопедия для детей Аванта+: В 57 т. Т. 11. Математика/ под ред. М. Аксёновой, В. Володина, М. Самсоновф – М.: Аванта+, 2003. — 688 с.

Корбалан, Ф. Мир математики: В 40 т. Т.1. Золотое сечение, математический язык красоты/ Пер. с исп. — М.: DeAgostini, 2014. — 164 с.: ил.

Гарднер, М. Математические новеллы. (Mathematics Games) / Пер. с англ. Ю.А.Данилова; под ред. Я.А. Смородинского — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Успенский, В.А. Треугольник Паскаля. Популярные лекции по математике. Выпуск 43/ ред. В.В. Донченко — 2-е изд. доп. — М.: Наука, 1979. — 48 с.: ил.

Видео:Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020Скачать

Исследовательская работа по математике на тему «Треугольник Паскаля» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Отдел образования, спорта и туризма Борисовского райисполкома

Государственное учреждение образования

«Средняя школа № 16 г. Борисова»

учащаяся 7 «А» класса

Абоян Елизавета Александровна,

домашний адрес: г. Борисов,

ул Смолевичская, д. 8, 76-51-80

Ищук Ольга Эдуардовна, учитель математики

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Введение

В этом учебном году мы начали изучать новый предмет «геометрия».

Одна из глав курса геометрии называется «Треугольники». Меня очень заинтересовала данная тема. Я всегда хотела узнать много нового о треугольниках, об их происхождении и значении в нашей жизни. Ведь мир треугольников очень загадочен и интересен.

Треугольник — первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Изучая литературу, я узнала, что в Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла. Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы.

Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу — Отца, Сына и Святого Духа.

Существует множество видов треугольников, но больше всего меня заинтересовал треугольник Паскаля.

Проблема моего исследования состоит в том, что я попыталась выявить и показать то, насколько широко треугольники используются в практической жизни.

Практическая значимость исследования:

Данная исследовательская работа может быть использован как дополнительный материал к урокам геометрии, для внеклассной работы по математике.

— ознакомиться с треугольником Паскаля и его применением как разновидностью треугольников;

Если числа треугольника Паскаля обладают особыми свойствами, то его можно считать уникальным для решения различных задач

— определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;

— изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»;

— выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;

— сформулировать вывод и итоги исследования;

Объект исследования: треугольник как геометрическая фигура

Предмет исследования: свойства треугольника Паскаля

— аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

— поиск информации в интернет — ресурсах.

— выбор проблемы, источников литературы, составление плана;

— работа с литературой и другими источниками;

— обработка полученных данных;

— анализ результатов, формулирование вывода;

Основные этапы исследования: подготовительный; деятельностный;

Ход исследования: рефлексивный; аналитический; презентационный.

Видео:Числа Фибоначчи и треугольник ПаскаляСкачать

Теоретическая часть работы

Видео:Зачем нужен треугольник Паскаля (спойлер: для формул сокращённого умножения)Скачать

Знакомство с треугольником Паскаля

Моё первое знакомство с треугольником Паскаля произошло во время изучения темы «Возведение двучлена в степень» на уроке алгебры. Мне уже известны формулы квадрата суммы и квадрата разности, куба суммы и куба разности. Я заметила, что получить формулы для возведения двучлена в четвёртую, пятую и т.д. степень возможно, учитывая некоторую закономерность в коэффициентах и степенях каждого слагаемого.

Коэффициенты всех строк можно расположить в виде треугольника:

Таким образом я познакомилась с треугольником Паскаля и решила продолжить изучение арифметического треугольника.

Видео:4.3 Треугольник Паскаля 1. "Поколение Python": курс для продвинутых. Курс StepikСкачать

Блез Паскаль – французский математик

Блез Паскаль (19 июня 1623, Клермон-Ферран, — 19 августа 1662, Париж) — французский математик, физик, литератор и философ.

Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в 1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики.

Видео:РАЗБИРАЕМСЯ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ ПАСКАЛЯ ЧАСТЬ II 😊 #shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

Треугольник Паскаля как разновидность треугольника

Изучая разновидности треугольников, я выяснила, что треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля. В действительности, треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года — даты выхода «Трактата об арифметическом треугольнике». Так, этот треугольник воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанном в начале XVI Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации в книге одного китайского математика, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника уже около 1100 года, в свою очередь, заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Ещё я узнала из книги «Математические новеллы» (М., Мир, 1974) Мартина Гарднера, что «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

Я рассмотрела схему построения треугольника, предложенную Гуго Штейнгаузом в его классическом «Математическом калейдоскопе»: предположим, что вы входите в город как показано на схеме синей стрелкой, и можете двигаться только вперед, точнее, все время выбирая, вперед налево, или вперед направо. Узлы, в которые можно попасть только единственным образом, отмечены зелеными смайликами, точка, в которую можно попасть двумя способами, показана красным смайликом, а тремя, соответственно — розовыми. Это один из вариантов построения треугольника.

Изучая специальную литературу, я узнала, что еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова : каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел .

Все элементарно, но сколько в этом таится чудес. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину. Вдоль диагоналей (насколько у треугольника могут быть диагонали, но не будем придираться, такая терминология встречается в публикациях), параллельных сторонам треугольника (на рисунке отмечены зелеными линиями) выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника — как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. К одной монетке можно прислонить еще две — итого три — к двум можно приладить еще три — итого шесть.

Получили треугольные числа на рисунке: 3; 6; 10; 15.

Продолжая наращивать ряды с сохранением формы треугольника получим ряд 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66. что и показывает вторая зеленая линия. Этот замечательный ряд, каждый член которого равен сумме натурального ряда чисел (55=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10), содержит также множество знакомцев, хорошо известных любителям математики: 6 и 28 — совершенные числа, 36 — квадратное число, 8 и 21 — числа Фибоначчи.

Следующая зеленая линия покажет нам тетраэдральные числа — один шар мы можем положить на три — итого четыре, под три подложим шесть — итого десять, и так далее.

Чтобы найти сумму чисел, стоящих на любой диагонали от начала до интересующего нас места, достаточно взглянуть на число, расположенное снизу и слева от последнего слагаемого, (слева для правой диагонали, для левой диагонали будет справа, а вообще — ближе к середине треугольника). Пусть, например, мы хотим вычислить сумму чисел натурального ряда от 1 до 9. «Спустившись» по диагонали до числа 9, мы увидим слева снизу от него число 45. Оно то и дает искомую сумму. Чему равна сумма первых восьми треугольных чисел? Отыскиваем восьмое число на второй диагонали и сдвигаемся вниз и влево. Ответ: 120.

Треугольник Паскаля имеет применение в теории вероятностей и обладает замечательными свойствами.

Видео:Как треугольник Паскаля поможет умножать без калькулятораСкачать

Свойства треугольника Паскаля и их применение в решении задач

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего «треугольника». Приведу для примера лишь 3 свойства «треугольника», найденные самим Паскалем; при этом буду исходить из того расположения «треугольника» на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах.

Свойство 1: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А (в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы). (Рисунок 4)

(Рисунок 4) (Рисунок 5) (Рисунок 6)

Свойство 2: Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. (Рисунок 5)

Свойство 3: Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются). (Рисунок 6)

Видео:#26. Треугольник Паскаля как пример работы вложенных циклов | Python для начинающихСкачать

Треугольник Паскаля и теория вероятности.

Блез Паскаль и другой великий француз, Пьер Ферма, стали основателями теории вероятностей, когда Паскаль и Ферма независимо друг от друга дали правильное объяснение так называемого парадокса раздела ставки. Два игрока играют в «безобидную» игру (т.е. шансы победить у обоих одинаковы), договорившись, что тот, кто первым выигрывает шесть партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй — три). Как справедливо разделить приз? Так, согласно одному решению следовало разделить приз в отношении 5 : 3, т.е. пропорционально выигранным партиям, согласно другому — в отношении 2 : 1 (здесь рассуждения велись, по всей видимости, следующим образом: поскольку первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы шести партий, то он должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть нужно разделить пополам).

А между тем делить надо в отношении 7:1. И Паскаль, и Ферма рассматривали парадокс раздела ставки как задачу о вероятностях, установив, что справедливым является раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Предположим, первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму для победы необходимо выиграть еще три партии, причем игроки продолжают игру и играют все три партии, даже если некоторые из них окажутся лишними для определения победителя. Для такого продолжения все 2 3 = 8 возможных исходов будут равновероятными. Так как второй игрок получает приз только при одном исходе (если он выиграл все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7 : 1.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач .

Рассмотрим основные формулы комбинаторики:

Размещение

Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n .

Перестановки ( ). Если k = n , то эти размещения называются перестановками.

Сочетания () – это любое подмножество из k – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов.

.

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k -ой диагонали и n -ой строки. Чтобы вычислить сочетание , н айду диагональ седьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 35.

Можно использовать треугольник Паскаля и для вычисления размещений. .Если нам нужно посчитать , то зная что , а 3!=6, получим значение данного размещения 210.

Я пришла к выводу, что рассмотренные свойства треугольника Паскаля подтверждают слова Мартина Гарднера о том, что треугольник Паскаля одна из наиболее изящных схем во всей математике.

Актуальность исследования обусловлена ежегодным усложнением заданий ЦТ, что требует углубленных знаний не только в алгебре, но и в геометрии.

Видео:Треугольник Паскаля Python. Коэффициенты для Бинома НьютонаСкачать

Практическая часть работы

В своей практической работе я подобрала ряд задач по теме «Треугольник Паскаля»

Задача 1. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56. (Рисунок 8)

Задача 2.Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача3. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

Задача4. На плоскости даны 10 прямых, причём среди них нет параллельных и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: ответ находится на пересечении -45 точек!

Задача 5. В сумке 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вынуть 2 мяча из 10 имеющихся можно 45 способами. Вероятность нашего события 2 из 45. (Рисунок 11)

В ходе проведения практического исследования я пришла к следующим выводам: при решении комбинаторных задач и задач по теории вероятностей можно пользоваться не только формулами комбинаторики, но и использовать свойства треугольника Паскаля

Видео:Основное применение треугольника Паскаля! #shortsСкачать

Заключение

Работа по выбранной теме осуществлялась в полном соответствии с планом исследования, а именно: объект и предмет исследования, поставлены цели и задачи, а также определены ожидаемые результаты. Были указаны используемые методы исследования, определена проблема.

В данной работе была дана общая характеристика треугольника как геометрической фигуры, был детально рассмотрен треугольник Паскаля, его свойства.

Я пришла к выводу, что одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля — понятие значительно шире, чем мне представлялось. Он обладает не только удивительными свойствами, но и применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами. Используя треугольник Паскаля, можно решить задачи из теории вероятности и комбинаторики. С комбинаторными задачами я встречалась на уроках математики в 6 классе и при решении олимпиадных задач

Практическая значимость данной работы заключается в следующем: я, изучив много литературы по данному вопросу, получила дополнительные знания в области математики, укрепила свой интерес к этой науке.

Я узнала, что треугольник Паскаля применяется:

В курсе алгебры

При решении комбинаторных задач

Для решения различных задач в области физики

С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования.

Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.

Видео:БИНОМ Ньютона | треугольник ПаскаляСкачать

Список использованных источников и литературы

1. Абачиев С. К., Радужная фрактальность треугольника Паскаля / С. К. Абачиев, — Минск, 1999.—168с.

2. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл.Москва, «Просвещение», 1996г. – 194 с.

3. Мартин Гарднер. Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля / Математические новеллы. — Минск: Мир, 1974.— 456 с.

4. Треугольник Паскаля. В. А. Успенский. — 2 — е изд. – Москва: Наука, 1979. – 48с.

5. Фукс Д., Фукс М., Арифметика биномиальных коэффициентов / Квант. — 1970. — № 6. — С.17-25.

6. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.

8. http :// davaiknam . ru / text / volshebnij — treugolenik .

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

📸 Видео

Несколько красивых свойств треугольника ПаскаляСкачать

Применение треугольника Паскаля #shortsСкачать

Как считали число пи? [Veritasium]Скачать

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ, В УРАВНЕНИЯХСкачать

Сочетания в комбинаторике. Применение треугольника Паскаля.Скачать