Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Свойства высоты равнобедренного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

  • BD – высота, проведенная к основанию AC;
  • BD – медиана, следовательно, AD = DC;
  • BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β.
  • BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.

Свойство 3

Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

1. Длина высоты ha, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

2. Длина высоты hb, проведенной к боковой стороне b, равняется:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторонаСкачать

№260. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона

Пример задачи

Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.

Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Высота равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β: Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Формула через основание и угол при нем α: Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

через основание и угол противолежащий ему β: Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Видео:№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольникаСкачать

№263. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведеннаяСкачать

№259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Видео:№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.Скачать

№261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

  1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
  2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
  4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Видео:№255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF.Скачать

№255. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Высота проведенная в равнобедренном треугольнике

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

🎥 Видео

№265. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН.Скачать

№265. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН.

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства равнобедренного треугольника. 7 класс.

№239. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.Скачать

№239. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т6. Второе свойство равнобедренного треугольника.

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Геометрия Угол при вершине равнобедренного треугольника равен β, высота, проведенная к боковойСкачать

Геометрия Угол при вершине равнобедренного треугольника равен β, высота, проведенная к боковой

№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой сторонеСкачать

№158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Геометрия В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Она делитСкачать

Геометрия В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Она делит

Геометрия Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна h, а угол при вершинеСкачать

Геометрия Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна h, а угол при вершине

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.
Поделиться или сохранить к себе: