Вектора геометрия правило треугольника

Сложение и вычитание векторов

Вектора геометрия правило треугольника

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Вектора геометрия правило треугольника

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Вектора геометрия правило треугольника

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Вектора геометрия правило треугольника

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Вектора геометрия правило треугольника

Разность векторов. Вычитание векторов

Вектора геометрия правило треугольника

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Видео:СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ закон правило треугольника 9 класс АтанасянСкачать

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ закон правило треугольника 9 класс Атанасян

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Видео:сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия Атанасян

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Вектора геометрия правило треугольника

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Вектора геометрия правило треугольника

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <ax + bx; ay + by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> » data-order=» a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz> «> a + b = <ax + bx; ay + by; az + bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> » data-order=» a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn> «> a + b = <a1 + b1; a2 + b2; . an + bn>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Вектора геометрия правило треугольника

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <ax — bx; ay — by>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> » data-order=» a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz> «> a — b = <ax — bx; ay — by; az — bz>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> » data-order=» a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn> «> a — b = <a1 — b1; a2 — b2; . an — bn>

Видео:8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

Сложение векторов

Сумма векторов

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

3) свойство прибавления нулевого вектора:

Вектора геометрия правило треугольника

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

Вектора геометрия правило треугольника

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Что и требовалось доказать.

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

Вектора геометрия правило треугольникаНапример,

Вектора геометрия правило треугольника

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

Вектора геометрия правило треугольникаНапример,

Вектора геометрия правило треугольника

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

Вектора геометрия правило треугольникаПостроить сумму векторов

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

Вектора геометрия правило треугольника

Вектора геометрия правило треугольника

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

Вектора геометрия правило треугольника

от общего начала.

Достроим на этих векторах параллелограмм.

Вектора геометрия правило треугольникаСумма

Вектора геометрия правило треугольника

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

Вектора геометрия правило треугольника

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

Вектора геометрия правило треугольника

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

🎦 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

Сумма двух векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.Скачать

Сумма двух векторов. Правило треугольника. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

Умножение вектора на число. 9 класс.Скачать

Умножение вектора на число. 9 класс.

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.

Урок 4. Векторы. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило параллелограмма.Скачать

Урок 4. Векторы. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило параллелограмма.

83. Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

83. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: