В ромбе треугольники равносторонние

В ромбе треугольники равносторонние

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти неизвестные этлементы ромба по известным элементам. Для нахождения неизвестных элементов ромба, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.

Определение ромба

Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 1 изображен ромб ABCD.

В ромбе треугольники равносторонние

Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.

Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Свойства ромба

Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:

  • 1. У ромба противолежащие углы равны (( small angle A = angle C, ; angle B = angle D.) )
  • 2. У ромба противолежащие стороны равны (( small AB = DC, ; BC=AD.) )
  • 3. У ромба противолежащие стороны параллельны ( small( AB || DC, ; BC || AD).)
  • 4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° ( small ( angle A +angle B=180°, ) ( small angle C + angle D=180°).)
  • 5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ( small ( AO = OC, ) ( small BO=OD).)

Ромб имеет также и следующие свойства:

  • 6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (( small AC perp BD.) )
  • 7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (( small angle ABD = angle CBD, ) ( small angle ADB = angle CDB, ) ( small angle DAC = angle BAC, ) ( small angle BCA = angle DCA. ))
  • 8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
  • 9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре ( small (AC^2+BD^2=4AB^2). )

Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:

Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. По определению 1, ( small AD = DC ) (Рис.2). Следовательно треугольник ( small DAC ) равнобедренный. Тогда ( small angle DCO = angle DAO. ) Учитывая, что ( small AO = OC ) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники ( small DOA ) и ( small DOC ) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно ( small angle DOC= angle DOA=90°. ) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.

В ромбе треугольники равносторонние

Из равенства треугольников ( small DOA ) и ( small DOC ) также следует, что ( small angle CDO= angle ADO,) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.В ромбе треугольники равносторонние

Видео:Геометрия В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписанаСкачать

Геометрия В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана

Признаки ромба

Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.

В ромбе треугольники равносторонние

Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.В ромбе треугольники равносторонние

Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.В ромбе треугольники равносторонние

Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.

В ромбе треугольники равносторонние

Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда ( small angle 1= angle 2 .) У параллелограмма ABCD ( small AB || DC .) Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство ( small angle 1= angle 4 .) (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство ( small angle 2= angle 3 .) Так как ( small angle 1= angle 2 ,) то ( small angle 1= angle 2=angle 3= angle 4 .) Из ( small angle 1= angle 3) следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.В ромбе треугольники равносторонние

Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.

Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Видео:Равносторонний треугольник в ромбеСкачать

Равносторонний треугольник в ромбе

На стороне ромба построен равносторонний треугольник

На стороне ромба построен равносторонний треугольник. Отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей ромба с серединой стороны треугольника, составляет с ней угол 70 градусов. Найти острый угол ромба.

В ромбе треугольники равносторонниеПусть ABCD — ромб, треугольник BCF — равносторонний, M — середина FC, O — точка пересечения диагоналей ромба. По условию, ∠OMC=70°.

В треугольнике BMF проведём медиану BM. По свойству равностороннего треугольника BM является также его высотой, то есть BM ⊥ FC.

В четырёхугольнике BMCO ∠BOC=90° и ∠BMC=90°.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, ∠BCD=2∠BCO=40°.

Если точка M — середина BC, то FM⊥BC и ∠OMC=∠BOF=90° (как вертикальные). Это случай не соответствует условию.

В ромбе треугольники равносторонниеТочка M — середина отрезка FC по условию. Точка O — середина AC по свойству ромба. Следовательно, OM — средняя линия треугольника ACF.

По свойству средней линии треугольника MO || AF.

∠AFC=∠OMC=70° (как соответственные при MO || AF и секущей FC).

∠BFC=∠FCB=60° (как углы равностороннего треугольника).

∠BAF=∠AFB=10° (как углы при основании равнобедренного треугольника ABF).

По свойствам ромба ∠BAC=∠BCA=x°.

Из треугольника AFC по теореме о сумме углов треугольника

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Ромб. Свойства и признаки ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

В ромбе треугольники равносторонние

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Видео:№405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы,Скачать

№405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы,

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.

Помимо этого:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

В ромбе треугольники равносторонние

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В ромбе треугольники равносторонние

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

В ромбе треугольники равносторонние

Видео:Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника

Признаки ромба

Чтобы параллелограмм В ромбе треугольники равносторонниеоказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой (В ромбе треугольники равносторонние).

2. Диагонали пересекаются под прямым углом (В ромбе треугольники равносторонние).

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.

Видео:8 класс, 8 урок, Ромб и квадратСкачать

8 класс, 8 урок, Ромб и квадрат

Площадь ромба

В ромбе треугольники равносторонние

В ромбе треугольники равносторонние

В ромбе треугольники равносторонние

В ромбе треугольники равносторонние

В ромбе треугольники равносторонние

В ромбе треугольники равносторонние

В ромбе треугольники равносторонние

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

🎦 Видео

Геометрия Равносторонний треугольникСкачать

Геометрия  Равносторонний треугольник

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Площадь ромба. Легче понять...Скачать

Площадь ромба. Легче понять...

Вебинар 20.01.2024 «Организм человека тонкие плотные и срединные тела»Скачать

Вебинар 20.01.2024 «Организм человека тонкие плотные и срединные тела»

Ромб, признаки. 8 класс.Скачать

Ромб, признаки. 8 класс.

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.

Почему углы при основании равны в равнобедренном треугольникеСкачать

Почему углы при основании равны в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Задача про ромб по геометрииСкачать

Задача про ромб по геометрии
Поделиться или сохранить к себе: