В любом прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.


Катет в прямоугольном треугольнике
— это две стороны прилежащие к прямому углу.

В любом прямоугольном треугольнике

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

  1. Сумма острых углов 90˚.
  2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
  4. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
    В любом прямоугольном треугольнике

Формулы:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна
    половине произведения катетов:
    В любом прямоугольном треугольнике
  2. Радиус описанной окружности около прямоугольного
    треугольника равен половине гипотенузы:
    В любом прямоугольном треугольнике
  3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
    выражается следующим образом:
    В любом прямоугольном треугольнике
  4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

В любом прямоугольном треугольнике

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

  1. По двум катетам:
    Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    В любом прямоугольном треугольнике
  2. По катету и гипотенузе:
    Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    В любом прямоугольном треугольнике
  3. По гипотенузе и острому углу:
    Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольникиравны.
    В любом прямоугольном треугольнике
  4. По катету и острому углу:
    Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.

В любом прямоугольном треугольнике

Видео:8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольникеСкачать

8 класс, 26 урок, Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

  1. По теореме Пифагора:
    Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  2. По центру описанной окружности:
    Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
    то треугольник прямоугольный.
  3. По медиане:
    Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
    то треугольник прямоугольный.
  4. По площади:
    Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  5. По радиусу описанной окружности:
    Если радиус описанной окружности равен половине,
    то треугольник прямоугольный.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

В любом прямоугольном треугольнике

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

В любом прямоугольном треугольнике

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

В любом прямоугольном треугольникеЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

В любом прямоугольном треугольнике

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

В любом прямоугольном треугольнике

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

В любом прямоугольном треугольнике

3. Теорема Пифагора:

В любом прямоугольном треугольнике, где В любом прямоугольном треугольнике– катеты, В любом прямоугольном треугольнике– гипотенуза. Видеодоказательство

В любом прямоугольном треугольнике

4. Площадь В любом прямоугольном треугольникепрямоугольного треугольника с катетами В любом прямоугольном треугольнике:

В любом прямоугольном треугольнике

5. Высота В любом прямоугольном треугольникепрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты В любом прямоугольном треугольникеи гипотенузу В любом прямоугольном треугольникеследующим образом:

В любом прямоугольном треугольнике

В любом прямоугольном треугольнике

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

В любом прямоугольном треугольнике

7. Радиус В любом прямоугольном треугольникеописанной окружности есть половина гипотенузы В любом прямоугольном треугольнике:

В любом прямоугольном треугольнике

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус В любом прямоугольном треугольникевписанной окружности выражается через катеты В любом прямоугольном треугольникеи гипотенузу В любом прямоугольном треугольникеследующим образом:

В любом прямоугольном треугольнике

В любом прямоугольном треугольнике

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Свойства прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства прямоугольного треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Видео:Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

Определение прямоугольного треугольника

Прямоугольным называют треугольник, в котором один из трех углов является прямым, т.е. равным 90°.

В любом прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным – когда оба катета равны, а угол между каждым из них и гипотенузой составляет 45°.

В любом прямоугольном треугольнике

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Свойства прямоугольного треугольника

Свойство 1

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равняется 90°.

α + β = 90°

Сумма всех углов любого треугольника составляет 180°. Т.к. один угол равен 90°, на два других, также, остается 90°.

Свойство 2

Катет прямоугольного треугольника, расположенный напротив угла в 30°, равняется половине его гипотенузы.

В нашем случае, катет AB лежит напротив ∠ACB = 30°. Следовательно:

В любом прямоугольном треугольнике

В любом прямоугольном треугольнике

Если длина одного из катетов прямоугольного треугольника в два раза меньше длины его гипотенузы, значит угол напротив этого катета равняется 30°.

Свойство 3

Терему Пифагора можно, также, отнести к свойствам прямоугольного треугольника. Согласно ее формулировке, сумма квадратов катетов (a и b) равняется квадрату гипотенузы (c).

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов.

Свойство 4

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника (проведенная из вершины прямого угла), равняется половине гипотенузы.

В любом прямоугольном треугольнике

Свойство 5

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника – это центр описанной вокруг него окружности.

В любом прямоугольном треугольнике

Согласно свойству 4, рассмотренному выше, медиана BO равняется половине гипотенузы AC и, одновременно, радиусу окружности, описанной вокруг △ABC.

Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

Пример задачи

В качестве примера давайте рассмотрим второе свойство, представленное выше. Допустим у нас имеется прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в вершине C. Катет BC расположен напротив угла в 30°. Нужно доказать, что BC в два раза меньше гипотенузы AB.

Решение

Нарисуем чертеж по условиям задачи, и зеркально отразим получившийся треугольник.

В любом прямоугольном треугольнике

Получаем △ABD, в котором ∠BAD равен 60° (30° + 30°). Т.к. все три угла данного треугольника равны, он является равносторонним. Следовательно, AD = AB = BD.

Отрезки BC и CD равны между собой (зеркально отраженные), и каждый из них составляет половину BD. Как мы уже выяснили, BD равняется AB.

Таким образом, BC в два раза меньше AB (или AB = 2BC).

📹 Видео

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

Медиана в прямоугольном треугольнике

пропорциональные отрезки в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 8 классСкачать

пропорциональные отрезки в ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ 8 класс

Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

Медиана в прямоугольном треугольнике

Секретное свойство прямоугольного треугольника! Только тссс🤫 #егэ2022 #треугольник #егэпоматематикеСкачать

Секретное свойство прямоугольного треугольника! Только тссс🤫 #егэ2022 #треугольник #егэпоматематике

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

№484. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:Скачать

№484. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:

Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18Скачать

Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Видеоурок 14. Геометрия 8 классСкачать

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Видеоурок 14. Геометрия 8 класс
Поделиться или сохранить к себе: