Треугольник сопротивлений rlc цепи

Содержание:

Схема цепи с последовательным соединением элементов

В общем случае любое реальное устройство, содержащееся в электрической цепи, может быть представлено в схеме замещения тремя идеальными элементами. Поэтому целесообразно при анализе цепей синусоидального тока знать соотношение тока и напряжения для участка цепи с тремя последовательно соединенными элементами: резистором, идеальным индуктивным и идеальным емкостным элементами.

Схема замещения такой неразветвленной цепи показана на рис. 23.

Рис. 23. Схема цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

Под действием синусоидального напряжения в цепи возникает синусоидальный ток . Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением этой цепи по величине и по фазе.

Синусоидальный ток с амплитудой и начальной фазой , изображается в виде:

или в комплексной форме:

По второму закону Кирхгофа для контура рассматриваемой цепи полное напряжение цепи соотносится с напряжениями на отдельных элементах в виде:

Как показано ранее (51), (71), (90), напряжение на каждом из элементов соотносятся с током в соответствии с законом Ома:

Ток во всех элементах при их последовательном соединении одни и тот же. Тогда выражение (98) может быть представлено в виде:

или

Здесь

— комплексное полное сопротивление цепи с тремя последовательно соединенными элементами.

Таким образом выражение (103) определяет соотношение между комплексным током и комплексным напряжением также в форме закона Ома: комплексный ток в цепи с тремя последовательно соединенными элементами прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному полному сопротивлению этой цепи.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Модуль и аргумент комплексного полного сопротивления определяются параметрами отдельных элементов.

Исходя из (104), модуль комплексного полного сопротивления

где — реактивное сопротивление цепи.

Аргумент комплексного полного сопротивления

В соответствии с законом Ома в комплексном виде для этой цепи (103),

Исходя из полученного выражения (107), действующее значение тока

начальная фаза тока

или

Как видно, действующие значения тока и напряжения в этой цепи также определяется полным сопротивлением Z в форме закона Ома. По фазе напряжение опережает ток на угол . При этом полное сопротивление и разность фаз определяются соотношением сопротивлений трех элементов в соответствии выражениями (105) и (106).

Тот же результат может быть получен посредством наглядного графического изображения тока и напряжений на векторной диаграмме.

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи показана на рис. 24.

Здесь начальная фаза тока принята произвольно равной нулю . При этом вектор тока направлен вдоль вещественной оси комплексной плоскости.

Рис. 24. Векторная диаграмма цепи с последовательным соединением элементов L, R, С.

Вектор напряжения индуктивного элемента повернут относительно вектора тока на в сторону опережения в соответствии со свойствами этого элемента (66). Вектор напряжения резистора направлен вдоль вектора тока в соответствии с характеристиками резистора (47). Вектор напряжения емкостного элемента повернут на угол относительно вектора тока в сторону отставания в соответствии со свойствами емкостного элемента (85). Длина векторов напряжений определяется их действующими значениями по закону Ома для каждого из элементов в соответствии с (67), (46), (83).

Соотношение напряжений по второму закону Кирхгофа (98) на векторной диаграмме соответствует векторному сложению. При этом вектор полного напряжения цепи на рис. 24 определяется суммой трех векторов напряжений на отдельных элементах:

Из построенной векторной диаграммы возможен анализ соотношения тока и полного напряжения цепи. Для этого выделим на векторной диаграмме прямоугольный треугольник ОАВ (рис. 25).

Треугольник напряжений цепи с последовательным соединением элементов

Треугольник напряжений цепи с последовательным соединением элементов. Обозначить ОАВ

Нижний катет треугольника пропорционален напряжению резистора, которое определяется его активным сопротивлением, и его называют активной составляющей напряжения . Правый катет треугольника пропорционален разности напряжений двух реактивных элементов: индуктивного и емкостного, и его называют реактивной составляющей напряжения:

Гипотенуза треугольника пропорциональна величине полного напряжения цепи U. Угол определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником напряжений и используют для наглядного представления соотношения между отдельными составляющими напряжений при анализе цепи с последовательным соединением R,L,C -элементов.

Поделим стороны треугольника напряжений на величину тока . При этом получается подобный треугольник (рис. 26) со сторонами:

Рис. 26. Треугольник сопротивлений цепи с последовательным соединением элементов.

— активное сопротивление резистора;

— реактивное сопротивление, определяемое разностью индуктивного и емкостного сопротивлений;

— полное сопротивление цепи, определяющее соотношение по величине тока и полного напряжения.

Угол определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником сопротивлений и используют для наглядного представления соотношения между сопротивлениями отдельных элементов и полным сопротивлением цепи с последовательным соединением R,L,C — элементов.

По теореме Пифагора для треугольника сопротивлений модуль полного сопротивления

Он определяет соотношение по величине между током и полным напряжением.

Из того же треугольника разность фаз для всей цепи

Она описывает соотношение по фазе между током и полным напряжением и определяет аргумент комплексного полного сопротивления.

Таким образом, комплексное полное сопротивление может быть записано в виде:

Оно определяет соотношение между током и напряжением по закону Ома в комплексном виде:

При этом модуль комплексного полного сопротивления Z определяет соотношение по величине действующих значений напряжения и тока: , а аргумент комплексного сопротивления определяет соотношение синусоидальных напряжения и тока по фазе:

Полученные при графическом анализе выражения (112) — (115) соответствуют записанным ранее (105) — (107).

Эти выражения справедливы для цепи, содержащей в общем случае три идеальных элемента, соединенные последовательно. В частности, реальное устройство может быть представлено эквивалентной схемой с двумя или одним идеальным элементом. В этом случае полученное выражение также верно. Следует лишь формально принять сопротивление отсутствующего элемента равным нулю.

Пример задачи с решением

Для цепи на рис. 21 определить напряжение источника, используя понятие полного комплексного сопротивления.

Рассматривая эту цепь как частный случай цепи с тремя идеальными элементами, можно принять емкостное сопротивление равным нулю . При этом комплексное полное сопротивление

Напряжение всего участка по закону Ома в комплексном виде:

Аналогичным образом можно определять комплексное полное сопротивление участка цепи, содержащего два других идеальных элемента, или один из них.

Используя графические изображения в форме треугольников напряжений и сопротивлений, можно записать выражения, полезные при расчете и анализе такой электрической цепи:

Для анализа энергетических соотношений в цепи с последовательным соединением R, L, С — элементов определим характер изменения мгновенной мощности в этой цепи:

Или, используя действующие значения тока и напряжения,

Как видно из полученного выражения (121), мощность в рассматриваемой цепи изменяется во времени по гармоническому закону с двойной частотой. При этом колебания мощности происходят вокруг среднего значения, определяемого первым слагаемым в правой части этого выражения.

Среднее значение мощности определяет активную мощность. Тогда активная мощность

или

Как видно, активная мощность определяется мощностью резистора. Произведение действующих значений тока и полного напряжения цепи называют полной мощностью

Единица полной мощности — ВА, кВА, МВА.

Исходя из (123 ) и (124) соотношение активной и полной мощностей:

, или

Активная мощность определяет необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, т.с. полезную работу, совершаемую током в электрической цепи. В общем случае активная мощность является частью общего значения тока и определяется произведением текущего значения тока на общее напряжение. Этот процент активной мощности определяется по уравнению (125). Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности. Принимая во внимание выражение (125), коэффициент мощности обозначают

Коэффициент мощности можно определить соотношением сопротивлений отдельных элементов, например, исходя из треугольника сопротивлений (рис. 26):

Графически соотношение активной и полной мощности отображается треугольником мощностей. Для построения треугольника мощностей умножим треугольник напряжений на действующее значение тока. При этом образуется подобный прямоугольный треугольник (рис. 27).

Рис. 27. Треугольник мощностей цепи с последовательным соединением элементов.

Нижний катет треугольника пропорционален активной мощности:

Правый катет треугольника пропорционален величине:

Это реактивная мощность всей цепи.

Гипотенуза треугольника оказывается равной полной мощности:

Из треугольника мощностей:

или

Что соответствует полученным ранее выражениям.

При выполнении расчетов в комплексном виде комплексное значение полной мощности определяется произведением комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток:

Здесь сопряженный комплексный ток. Тогда:

В рассматриваемой цепи с последовательным соединением R, L, С — элементов при разном соотношении сопротивлений элементов создается разный режим работы. При этом характер цепи определяется разностью фаз (/>, значения которой могут быть положительными или отрицательными в диапазоне от

Ниже рассматриваются режимы работы цепи при разных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.

Показанная на рис. 24 векторная диаграмма построена в предположении, что индуктивное сопротивление больше емкостного . Реактивное сопротивление всей цепи положительно:

При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном элементе больше емкостного:

Разность фаз всей цепи оказывается положительной, т.е. полное напряжение опережает по фазе ток на угол , больший нуля:

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима имеют вид, показанный на рис. 26,27.

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р и положительной реактивной мощностью Положительное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность больше емкостной, т.е. индуктивный элемент преобладает над емкостным элементом.

В этом режиме характер цепи называют активно-индуктивным.

При сопротивлении индуктивного элемента, меньшим емкостного,

При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном элементе меньше емкостного:

Векторная диаграмма для этого режима показана на рис. 28.

Рис. 28. Векторная диаграмма неразветвленной цепи при

Разность фаз всей цепи оказывается отрицательной, т.е. полное напряжение отстает по фазе от тока:

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима показаны на рис. 29.

Рис. 29. Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей при

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р и отрицательной реактивной мощностью Отрицательное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность меньше емкостной, т.е. емкостный элемент преобладает над индуктивным элементом.

В этом режиме характер цепи называют активно-емкостным.

Особый режим работы цепи возникает при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений:

Реактивное сопротивление всей цепи оказывается равным нулю:

При этом в соответствии с законом Ома напряжения на индуктивном и емкостном элементах равны между собой:

а реактивное напряжение равно нулю:

Векторная диаграмма для этого режима показана на рис. 30.

Рис. 30. Векторная диаграмма неразветвленной цепи при

Разность фаз всей цепи оказывается равной нулю, т.е. полное напряжение совпадает по фазе с током:

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима вырождаются в отрезок, поскольку один катет становится равным нулю.

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р . Реактивная мощность равна нулю . При этом активная мощность равна полной мощности:

а коэффициент мощности равен

Отсутствие реактивной мощности при наличии в цепи индуктивного и емкостного элементов свидетельствует о том, что реактивная индуктивная мощность и реактивная емкостная мощность взаимно компенсируются. При этом цепь имеет активный характер, поскольку обладает лишь активной мощностью.

Явление, возникающее в неразветвленной цепи с элементами L, R, С, когда полное напряжение и ток совпадают по фазе, называется резонансом напряжений.

Условие резонанса напряжений:

Создать резонанс напряжений в цепи можно изменяя параметры L или С при неизменной частоте, или изменяя частоту при заданных параметрах L и С.

Рассмотрим случай, когда £ и С неизменны при изменении частоты. На рис. 31 показаны зависимости сопротивлений и тока цепи от частоты

Рис. 31. Зависимости от частоты.

В точке . При этом полное сопротивление минимально и определяется лишь активным сопротивлением резистора:

Эта точка определяет резонансную частоту

Ток цепи в этом режиме наибольший:

Активная мощность определяется величиной резонансного тока:

Аналогичным образом возникает режим резонанс напряжений при неизменной частоте и изменении индуктивности индуктивного элемента, либо емкости емкостного элемента. При установлении равенства индуктивного и емкостного сопротивлений возникает резонанс напряжений. При этом полное сопротивление цепи минимально, а ток максимальный.

Признаком резонанса напряжений в цепи является максимальное значение тока и активной мощности

Резонанс напряжений используется в радиотехнических цепях при построении схем резонансных фильтров. При этом свойства цепи оказываются различными для сигналов разных частот.

В электротехнических установках частота неизменна. Здесь возникновение резонанса напряжений обусловлено изменением параметров элементов. При при резонансе напряжений возможны перенапряжения на отдельных участках цепи.

На странице -> решение задач по электротехнике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретических основ электротехники (ТОЭ).

Услуги:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Построение векторных диаграмм/Треугольник токов, напряжений и мощностей/Коэффициент мощностиСкачать

Треугольник сопротивлений

Автор: Евгений Живоглядов.
Дата публикации: 01 апреля 2015 .
Категория: Статьи.

Если стороны треугольника напряжений (рисунок 1, а) разделить на ток I (рисунок 1, б), то углы треугольника от этого не изменятся, и мы получим новый треугольник, подобный первому – треугольник сопротивлений (рисунок 1, в).

Рисунок 1. Получение треугольника сопротивлений

В треугольнике сопротивления, показанном отдельно на рисунке 2, все стороны обозначают сопротивления, причем гипотенуза его является полным или кажущимся сопротивлением цепи.

Из треугольника сопротивлений видно, что полное или кажущееся сопротивление z равно геометрической сумме активного r и индуктивного x_L сопротивлений.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику сопротивлений, получаем:

Если одно из сопротивлений цепи (активное или реактивное), например, в 10 и более раз меньше другого, то меньшим можно пренебречь, в чем легко можно убедиться непосредственным расчетом.

Пример 1. Определить полное сопротивление цепи, в которой r = 9 Ом и x_L = 12 Ом.

Было бы совершенно неправильно, если бы для определенного полного сопротивления были арифметически сложены оба сопротивления r и x_L, так как

Результат, как мы видим, в этом случае получается неверный.

Пример 2. Полное сопротивление обмотки электромагнита z = 25 Ом. Активное сопротивление обмотки r = 15 Ом. Определить индуктивное сопротивление.

Пример 3. Индуктивное сопротивление обмотки электродвигателя переменного тока равно 14 Ом. Полное сопротивление ее равно 22 Ом. Найти активное сопротивление.

Пример 4. В цепи, изображенной на рисунке 3, определить показание вольтметра.

Рисунок 3. К примеру 4

Определим общее сопротивление:

Если умножить z на ток I, получим:

то есть тот же результат, что и выше.

Источник: Кузнецов М. И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560 с.

Видео:R, L, C в цепи переменного тока/Треугольник сопротивлений/Сдвиг по фазеСкачать

Анализ линейных электрических цепей (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

Сравнение реактивного (1.22) и комплексного (1.31) сопротивлений индуктивности показывает, что на комплексной плоскости реактивное (индуктивное) сопротивление катушки откладывают на положительной вертикальной полуоси (рис. 1.32, б), потому что эта величина мнимая и положительная.

Запишем выражения комплексных амплитуд тока и напряжения для цепи, содержащей емкость. Из (1.16) и (1.26) следует, что:

,

где UmC и Im, а также ju и ji связаны соотношениями (1.27). Векторы напряжения на емкости и тока в ней сдвинуты друг относительно друга на –90°, при этом ток опережает напряжение (рис. 1.31, в).

Комплексное сопротивление емкости найдем как:

Здесь учтено, что .

Очевидно, что реактивное сопротивление емкости является мнимым отрицательным числом, на комплексной плоскости оно откладывается на отрицательной вертикальной полуоси (рис. 1.32, в).

Мы уже знаем, что любое комплексное число, записанное в алгебраической форме , имеет вещественную а и мнимую jb составляющие, а число, записанное в показательной форме – модуль A и аргумент j.

Анализ выражений (1показывает, что комплексное сопротивление резистора является вещественным и не содержит мнимой составляющей, его аргумент равен нулю; комплексное сопротивление индуктивности, наоборот, является мнимым, его аргумент равен +90°; комплексное сопротивление емкости также мнимое, но аргумент его равен –90°.

На рис. 1.33, а и 1.34, а показаны последовательные RL и RC цепи. Комплексное сопротивление последовательной RL цепи в алгебраической форме содержит сумму положительного вещественного резистивного сопротивления R и положительного мнимого индуктивного сопротивления jXL (рис. 1.33, б):

где .

В показательной форме это сопротивление запишется в виде:

,

где модуль ZRL называется полным сопротивлением последовательной RL цепи, а аргумент jZ – углом этого сопротивления. Полное сопротивление ZRL и аргумент jZ подсчитываются, как это следует из рис. 1.33, б, по формулам

Пример 1.11. Определим комплексное сопротивление цепи, изображенной на рис. 1.33, а, на частоте 50 Гц для R = 10 Ом и L = 100 мГн.

Рассчитаем значение индуктивного сопротивления цепи, используя (1.31),

Комплексное сопротивление RL-цепи

В показательной форме комплексное сопротивление RL-цепи

Комплексное сопротивление последовательной RC цепи в алгебраической форме состоит из положительного вещественного резистивного сопротивления R и отрицательного мнимого емкостного (рис. 1.34, б):

где

В показательной форме это комплексное число выглядит как

,

где – полное сопротив­ление последовательной RC цепи;

– угол этого сопротивления.

Комплексное сопротивление ZRC изображено на рис. 1.34, б в виде вектора на комплексной плоскости. Там же показаны его проекции на вещественную и мнимую оси.

Прямоугольный треугольник, составленный из резистивного, реактивного и полного сопротивлений (рис. 1.35), называется треугольником сопротивлений.

Пример 1.12. Определим комплексное сопротивление цепи, изображенной на рис. 1.34, а, на частоте 5 кГц для R = 100 Ом, С = 318 нФ.

Рассчитаем значение емкостного сопротивления цепи

Комплексное сопротивление RC-цепи

Вектор комплексного сопротивления RC-цепи изображен на рис. 1.36.

Запишем комплексное сопротивление последовательной RLC цепи (рис. 1.37, а). Оно будет содержать положительное вещественное резистивное сопротивление R и мнимое сопротивление , знак которого будет зависеть от соотношения индуктивного XL и емкостного XC сопротивлений, следовательно:

,

где .

Напомним, что значения XL и XC зависят от частоты и от соответствующих элементов L и С, поэтому может случиться так, что на определенной частоте и при определенных значениях L и С значение XL будет больше значения XC, как это показано на рис. 1.37, б, или наоборот, значение XC будет больше, чем XL (рис. 1.37, в).

Из треугольника сопротивлений легко вычислить резистивное и реактивное сопротивления, зная полное сопротивление и его угол:

.

Случай, когда реактивное сопротивление Х = 0, т. е. XL = XC, является особым. Когда это имеет место, то говорят, что в последовательной RLC цепи возникает резонанс напряжений. Частота, на которой индуктивное и емкостное сопротивления оказываются равными, называется частотой резонанса напряжений. Комплексное сопротивление всей RLC цепи равно при этом резистивному сопротивлению R. В дальнейшем явление резонанса напряжений будет рассмотрено более детально.

Пример 1.13. Определим резистивное и реактивное сопротивления последовательной RLC цепи, комплексное сопротивление которой

Сопротивление X = XL – XC положительное, т. е. XL > XC, треугольник сопротивлений такой цепи изображен на рис. 1.38.

При параллельном соединении элементов удобнее иметь дело не с сопротивлениями, а с проводимостями – резистивной G = 1/R, реактивными и , полной Y = 1/Z и комплексной Y = 1/Z. Если при последовательном соединении элементов складыва
лись их комплексные сопротивления, то при параллельном соединении складываются их проводимости.

Для параллельной RLC цепи (рис. 1.39, а) ее комплексная проводимость запишется в виде:

,

где G = 1/R – резистивная проводимость;

– емкостная проводимость;

– индуктивная проводимость;

– реактивная проводимость;

– полная проводимость;

– угол проводимости.

Резистивную и реактивную проводимости можно найти из треугольника проводимостей (рис. 1.39, б):

.

Случай, когда реактивная проводимость В равна нулю, т. е. когда также представляет особый интерес. В этот момент в параллельной RLC цепи наступает резонанс токов. Поэтому частота, на которой происходит совпадение реактивных проводимостей ветвей получила название частоты резонанса токов. Комплексная проводимость всей цепи при резонансе становится равной резистивной проводимости G. Более подробно явление резонанса токов будет рассмотрено позднее.

Пример 1.14. Определить комплексное сопротивление параллельной RLC цепи (рис. 1.39, а) на частоте f = 1 кГц для R = 100 Ом, L = 10 мГн, С = 10 мкФ.

Элементы цепи соединены параллельно, поэтому рассчитаем вначале комплексную проводимость YRLC, используя выражение (1.36).

Комплексная проводимость цепи

Комплексное сопротивление цепи обратно пропорционально комплексной проводимости, поэтому

Из данного раздела мы узнали, что:

1.3. Расчет реакций цепи в символической
форме

Расчет реакций в цепи с одним источником. Используется следующий порядок расчета:

1. Цепь, содержащую источник гармонических колебаний, преобразуют, заменяя ее элементы их комплексными сопротивлениями, а мгновенные значения эдс, токов и напряжений записывая в комплексной (символической) форме.

2. Рассчитывают комплексные значения токов в ветвях и напряжений на сопротивлениях, используя закон Ома и законы Кирхгофа.

3. Определяют соответствующие мгновенные значения токов и напряжений в цепи.

Пример 1.15. Определим мгновенные значения тока и напряжений на элементах цепи, содержащей источник гармонического напряжения В, сопротивление R = 300 Ом, индуктивность L = 0,6 Гн и емкость С = = 0,625 мкФ (рис. 1.40).

В соответствии с порядком расчета реакции в цепи с одним источником заменяем элементы цепи их комплексными сопротивлениями.

Анализируя выражение для мгновенного значения напряжения u(t), определяем, что круговая частота w = 2000 рад/с, т. е. частота колебаний f = w/(2p) = = 318,3 Гц. Сопротивление R = 300 Ом остается неизменным. Индуктивность L = 0,6 Гн заменяется сопротивлением

Емкость С = 0,625 мкФ заменяется сопротивлением

Гармоническое напряжение пред­ставим в показательной форме записи в виде

В результате получаем схему, изображенную на рис. 1.41.

Для определения тока и напряжений в этой схеме рассчитаем вначале комплексное сопротивление цепи Z относительно зажимов источника. Все сопротивления включены последовательно, поэтому

Отметим, что индуктивное и емкостное сопротивления цепи частично компенсировали друг друга и что реактивное сопротивление цепи меньше по величине, чем сопротивление любого из реактивных элементов.

Фактически возможно полностью исключить наличие реактивного сопротивления в цепи, изменив частоту генератора напряжения до выполнения условия |ZL| = |ZC|.

В рассматриваемом примере сопротивление цепи имеет индуктивный характер, поскольку реактивная составляющая комплексного сопротивления цепи имеет знак «плюс».

Комплексный ток Im в цепи определим, используя закон Ома для комплексного напряжения Um­­ источника и комплексного сопротивления Z. Имеем:

Преобразуя комплексное сопротивление Z в показательную форму для упрощения деления комплексных чисел, получаем

Амплитудное значение тока равно 0,02 А, а начальная фаза равна –53°.

Напряжения на сопротивлениях цепи определяем, умножая ток Im на соответствующие сопротивления.

Ток Im имеет начальную фазу (–53°), напряжение UmR имеет такую же начальную фазу, т. е. векторы Im и UmR направлены по одной прямой на векторной диаграмме, изображенной на рис. 1.42.

Напряжение на индуктивности опережает ток на 90°, таким образом, UmL опережает вектор на горизонтальной оси рис. 1.42 на 37°.

Напряжение на емкости отстает от тока на 90°, а от горизонтальной оси на 143°.

Отметим также, что сдвиг фаз между UmL и UmС составляет 180°.

В соответствии с законом напряжений Кирхгофа

Последние два слагаемых представляют собой сум­му напряжений на индуктивности и емкости, и этот суммарный вектор может быть направлен либо по UmL, либо по UmС в зависимости от того, какое из этих напряжений больше по величине. В нашем случае он имеет направление UmL.

Вектор UmR может быть добавлен к сумме UmL + UmС и результатом является вектор Um, как показано на рис. 1.42.

Мгновенные значения тока и напряжений на элементах цепи можно записать в виде

Векторная диаграмма часто бывает полезна при объяснении и интерпретации результатов расчета.

Пример 1.16. Найдем токи и напряжения в цепи, изображенной на рис. 1.43, если заданы значения R1 = 2 Ом, R2 = 2 Ом, ХL = 4 Ом, ХС = 2 Ом, .

Во-первых, определим комплексное сопротивление Zаб параллельного соединения резистора R2 и емкостного сопротивления ХС:

Сопротивление Zаб можно представить в виде Zаб = = Rаб – jXаб.

Получаем эквивалентную схему, изображенную на рис. 1.44.

Эквивалентное комплексное сопротивление цепи определяется как

Ток (рис. 1.45) определяется по закону Ома:

Токи Im1 и Im2 определяем по формулам разброса:

Следует отметить, что согласно закону токов Кирхгофа, Im1 + Im2 = Im. Векторная диаграмма токов приведена на рис. 1.46.

Определим напряжения на элементах цепи (рис. 1.43):

Согласно закону напряжений Кирхгофа (рис. 1.47)

Расчет реакций в цепи с несколькими источниками. Все методы расчета цепей в режиме постоянного тока применимы и к расчету цепей при гармоническом воздействии. Методы наложения, узловых напряжений, контурных токов, эквивалентного генератора используются для определения реакций в цепи с несколькими источниками гармонических колебаний.

Расчет выполняется для символической формы записи токов, напряжений и сопротивлений цепи.

Пример 1.17. Методом наложения определим токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 1.48, если заданы значения R1 = 2 Ом, ХL = 4 Ом, ХС = 2 Ом,

Выберем направления токов в ветвях цепи (рис. 1.48). Поскольку в схеме два источника, то истинные направления токов неизвестны, поэтому выбираем их произвольно.

Метод наложения основан на принципе суперпозиции, согласно которому реакция линейной цепи на сумму воздействий равна алгебраической сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.

Частичные схемы, в каждой из которых оставлен только один источник, а другой заменен его внутренним сопротивлением, изображены на рис. 1.49, а и 1.49, б.

Рассчитаем токи в первой частичной схеме (рис. 1.49, а). Внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности, поэтому . По закону Ома

Рассмотрим вторую частичную схему (рис. 1.49, б). Ток равен току источника тока, т. е.

Токи и рассчитываем, используя формулу разброса,

Токи в ветвях исходной схемы

Пример 1.18. Методом узловых напряжений определим токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 1.48.

Заземляем узел 2. Потенциал этого узла равен нулю, Vm2 = 0.

Для узла 1 составляем уравнение состояния:

В этом уравнении Y11 – это собственная проводимость 1 узла, т. е. сумма проводимостей всех ветвей, подсоединенных к узлу 1:

Y12 – взаимная проводимость узлов 1 и 2, совпадающая в рассматриваемом примере с величиной Y11;

Из уравнения состояния находим потенциал первого узла

Токи в ветвях находим по закону Ома:

Значения токов в ветвях цепи рис. 1.48 те же самые, что и при расчете методом наложения.

Пример 1.19. Методом контурных токов определим токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 1.48.

Выберем направления обхода контуров в цепи (рис. 1.50).

Для определения контурного тока составляем урав­нение состояния:

В этом уравнении Z11 – собственное сопротивление 1 контура, равное сумме сопротивлений всех ветвей, образующих этот контур:

Z12 – взаимное сопротивление 1 и 2 контуров:

Из уравнения состояния находим контурный ток Imк1:

Зная контурные токи, находим токи ветвей,

Значения токов совпадают с теми, которые были получены при расчете цепи методами наложения и узловых напряжений.

Пример 1.20. Методом эквивалентного генератора определим ток Im1 в цепи, изображенной на рис. 1.48.

Разомкнем ветвь с емкостью и для определения напряжения холостого хода Umхх составим уравнение по второму закону Кирхгофа

В режиме холостого хода ток Imхх = –Imг, поэтому

Сопротивление эквивалентного генератора Zэг равно

Ток Im1 найдем по формуле

Получаем то же самое значение Im1, что и при применении других методов расчета.

Из данного раздела мы узнали, что

1.4. Комплексный коэффициент передачи

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.51.

Нас может интересовать любая реакция цепи (напряжение или ток в любом элементе или ветви цепи) на любое из приложенных воздействий. В этом случае цепь удобно представить четырехполюсником, на входе которого включен источник с заданным воздействием, а на выходе – интересующий нас элемент, например, как это сделано на рис. 1.52.

Символическое изображение напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника, показано на рис. 1.53.

Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является комплексный коэффициент передачи Н. Он определяется отношением комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде воздействия.

В зависимости от того, что считается реакцией и воздействием, различают следующие виды коэффициентов передачи.

1. Комплексный коэффициент передачи по напряжению

2. Комплексный коэффициент передачи по току

3. Комплексное передаточное сопротивление

4. Комплексная передаточная проводимость

Комплексное число H может быть представлено в показательной форме

где Н – модуль передаточной функции, а j – ее аргумент.

Действительно, рассмотрим передаточную функцию

.

Модуль передаточной функции

представляет собой отношение амплитуды гармонической реакции цепи к амплитуде гармонического воздействия, т. е. показывает во сколько раз амплитуда гармонического колебания на входе цепи изменилась при прохождении колебания через цепь. Поэтому величину Hu называют коэффициентом передачи по напряжению.

Аргумент передаточной функции

показывает изменение начальной фазы входного колебания после передачи этого колебания по цепи и называется фазовым сдвигом.

Знание комплексного коэффициента передачи цепи позволяет вычислить реакцию цепи на гармоническое воздействие. Амплитуда реакции равна

а начальная ее фаза

Другими словами, чтобы найти амплитуду гармонического колебания на выходе цепи, нужно амплитуду входного гармонического колебания умножить на коэффициент передачи по напряжению, а чтобы найти начальную фазу выходного гармонического колебания, нужно к начальной фазе входного гармонического колебания добавить фазовый сдвиг, вносимый цепью.

В символической форме записи комплексная амплитуда гармонического колебания на выходе цепи определяется из соотношения:

Аналогичным образом вычисляют коэффициент передачи по току

и сдвиг фаз колебания тока

полное передаточное сопротивление цепи

и фазовый угол этого сопротивления

а также полную передаточную проводимость

и ее фазовый угол

В общем виде можно записать

Очевидно, что в схеме рис. 1.51 в качестве реакции может выступать напряжение или ток в любом элементе или любой ветви цепи, а в качестве воздействия использоваться не только напряжения или токи источников, но и любые напряжения или токи элементов (ветвей) цепи.

Пример 1.21. Найдем комплексный коэффициент передачи по напряжению цепи, приведенной в Примере 1.15, если реакцией цепи является напряжение на емкости uC(t).

При решении Примера 1.15 воздействие было записано в символической форме

Напряжение на емкости, т. е. реакция цепи, также было определено:

Комплексный коэффициент передачи

Коэффициент передачи по напряжению

показывает, что при прохождении по цепи амплитуда воздействия уменьшилась в 10 раз.

показывает, что напряжение на емкости отстает от входного колебания на 143°.

Пример 1.22. Найдем комплексный коэффициент передачи по току цепи, изображенной на рис. 1.54, если Imг = 5ej90°, А, R2 = 10 Ом, L = 30 мГн, f = 50 Гц, реакцией цепи является ток в индуктивности.

Для расчета комплексного коэффициента передачи по току

необходимо определить ток в индуктивности. Используя формулу разброса, получаем:

Комплексный коэффициент передачи по току

Очевидно, что комплексный коэффициент передачи цепи определяется значениями элементов цепи R2, L и частоты f.

Пример 1.23. Найдем напряжение на индуктивности uL(t) в цепи, приведенной в Примере 1.22, если комплексное передаточное сопротивление HZ = 6,86ej46,8° Ом.

Амплитуда напряжения на индуктивности

Начальная фаза напряжения на индуктивности

Мгновенное значение напряжения

Из данного раздела мы узнали, что

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какие колебания называются гармоническими?

2. Какие параметры характеризуют гармоническое колебание?

3. Как определяется величина и знак начальной фазы гармонического колебания по его графику?

4. Как связаны частота и период гармонического колебания?

5. Записать выражение для мгновенного значения тока, график которого изображен на рис. 1.5, б, если период колебания Т = 2 с. Определить значение тока в момент времени t1 = T/8.

6. Построить в одной системе координат графики напряжений u1(t) = , u2(t) = .

7. Какая связь между векторным и временным представлением гармонических колебаний?

8. Построить векторы гармонических колебаний, приведенных в п. 6.

9. Построить в одной системе координат графики гармонических колебаний, которым соответствуют векторы и , вращающиеся с одинаковой частотой. Определить сдвиг фаз этих колебаний.

10. Какая связь между параметрами комплексного и временного представления гармонических колебаний?

11. Сформулировать закон Ома для резистивной, индуктивной и емкостной цепей.

12. Какой сдвиг фаз между напряжением и током в резисторе (емкости, индуктивности)?

13. Как рассчитывается комплексное сопротивление последовательного соединения R, L, C элементов?

14. Как рассчитывается комплексная проводимость параллельного соединения R, L, C элементов?

15. Определить комплексное сопротивление цепи, изображенной на рис. 1.55, если

R1 = 20 Ом, R2 = 40 Ом,

Построить треугольник сопротивления цепи.

16. Какие методы используются для расчета цепей с источниками гармонических колебаний?

17. Рассчитать токи в ветвях цепи, изображенной на рис. 1.55, если на вход подается напряжение , В. Построить векторную диаграмму токов.

18. Рассчитать ток Im2 в цепи, изображенной на рис. 1.56, методом наложения и методом эквивалентного генератора, если заданы сопротивления R = 10 Ом, ХL = 30 Ом, ХС = 20 Ом и Um = 10ej0° В, Imг = ej270° А.

19. Что такое комплексный коэффициент передачи? Какие виды комплексных коэффициентов передачи известны?

20. Определить коэффициенты передачи в цепи Примера 1.16, если реакцией является Im2.

* Следует различать резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы как физические элементы электрической цепи и резистивные, индуктивные и емкостные элементы как идеализированные элементы, обладающие свойствами необратимого рассеяния энергии или свойствами накопления энергии магнитного и электрического полей. В инженерной практике резистивный, индуктивный и емкостной элементы часто называют просто сопротивлением, индуктивностью и емкостью, отождествляя по существу элемент с его параметром. В дальнейшем для простоты, где это не приведет к недоразумению, мы также будем пользоваться этой терминологией.

🎦 Видео

Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник. Преобразование мостовой схемыСкачать

Последовательное соединение RLC элементов в цепи синусоидального токаСкачать

Построение векторной диаграммы. Цепь RLCСкачать

Откуда взялась формула полного сопротивления цепи? Треугольник напряжений, треугольник сопротивленийСкачать

ТРЕУГОЛЬНИК СОПРОТИВЛЕНИЙ RL-ЦЕПИ. Решение задачи 5.50Скачать

Задача на расчет эквивалентного сопротивления цепиСкачать

Что такое РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ | САМОЕ ПОНЯТНОЕ объяснениеСкачать

Цепи переменного тока. Комплексные значения сопротивлений, токов и напряжений в цепи. Задача 1Скачать

Активное и реактивное сопротивление в цепи переменного тока. 11 класс.Скачать

Параллельное соединение RLC элементов │Переменный токСкачать

RLC цепь│Задача. Определить ток, напряжения и мощности в цепиСкачать

Резонанс в R-L-C-цепиСкачать

Лекция по электротехнике 4.1 - Двухполюсник. Треугольники сопротивлений и проводимостейСкачать

Векторная диаграмма для трехфазной цепи │ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

Трехфазные цепи - ТРЕУГОЛЬНИК. Расчет трехфазной цепи, соединенной треугольникомСкачать

Трехфазные электрические цепи │Теория ч. 1Скачать

урок 2 Преобразование треугольника сопротивлений в звездуСкачать

Соединение трехфазных цепей звездой и треугольникомСкачать