Треугольник егэ профиль теория

Треугольник

Треугольник произвольный

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников :+ показать

Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Треугольник егэ профиль теория

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми , третья сторона называется основанием .

Равносторонний (правильный) треугольник – треугольник, у которого все три стороны равны.

Треугольник егэ профиль теория

Свойства

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним: Треугольник егэ профиль теория

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

Треугольник егэ профиль теория

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

Треугольник егэ профиль теория

2 . Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

Треугольник егэ профиль теория

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Треугольник егэ профиль теория

Биссектриса, высота, медиана

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Треугольник егэ профиль теория

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Треугольник егэ профиль теория

Треугольник егэ профиль теория

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Треугольник егэ профиль теория

Треугольник егэ профиль теория

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

Теорема косинусов: Треугольник егэ профиль теория

Треугольник егэ профиль теория

Теорема синусов: Треугольник егэ профиль теория

Треугольник егэ профиль теория

Площадь треугольника

Треугольник егэ профиль теорияЧерез сторону и высоту

Треугольник егэ профиль теория

Через две стороны и угол между ними

Треугольник егэ профиль теория

Через радиус описанной окружности

Треугольник егэ профиль теория

Через радиус вписанной окружности

Треугольник егэ профиль теория, где Треугольник егэ профиль теория– полупериметр

Треугольник егэ профиль теория, где Треугольник егэ профиль теория– полупериметр

Треугольник егэ профиль теория

Смотрите также площадь треугольника здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Есть пара ошибок в формулах. В частности в формуле вычисления площади через 2 стороны и угол между ними, в теореме Синусов, в разделе “свойства”.
А вообще отличные статьи, очень выручают, всё понятно и доступно, премного благодарен 😉

Анатолий, спасибо!
В разделе “свойства” ошибок не нашла…
В теореме синусов, – да… не пропечаталась буква гамма. Подправила.
В формуле площади треугольника, вы правы – картинка не соответствовала формуле. Исправила.
К сожалению, ошибки сразу не всегда замечаются.
Благодарю еще раз!

В разделе свойства: Треугольник егэ профиль теория

Да, не хватало значка «Треугольник егэ профиль теория» у А. Спасибо! 😉

Здраствуйте! Мне нужна ваша помощь!
Задача: ВЕРШИНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ДЕЛЯТ ОПИСАННУЮ ОКОЛО НЕГО ОКРУЖНОСТЬ НА ТРИ ДУГИ, ДЛИНЫ КОТОРЫХ ОТНОСЯТСЯ КАК 6:7:33. НАЙДИТЕ РАДИУС ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ МЕНЬШАЯ ИЗ СТОРОН РАВНА 11.

Подозреваю, у вас опечатка в условии…
Если длины дуг (а значит и их градусные меры) находятся в отношении Треугольник егэ профиль теория, то выходим на уравнение Треугольник егэ профиль теорияОткуда Треугольник егэ профиль теорияЗначит угол треугольника, что напротив меньшей стороны, есть Треугольник егэ профиль теория
Применяем теорему синусов: Треугольник егэ профиль теория, откуда Треугольник егэ профиль теория

спасибо я так и думал а то не могу решить и всё
СПАСИБО!

Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, как решить задачу:
Вписанная в теругольник ABC окружность касается сторон AB, BC и AC в точках K,L и М соответственно.Найдите KL, если AM=2, МС=3 и угол С=π/3

Очевидно, Треугольник егэ профиль теория
Примите Треугольник егэ профиль теорияза Треугольник егэ профиль теория.
Примените к треугольнику Треугольник егэ профиль теориятеорему косинусов:
Треугольник егэ профиль теория
Найдете Треугольник егэ профиль теория, далее можно найти угол Треугольник егэ профиль теорияи из треугольника Треугольник егэ профиль теориянайти Треугольник егэ профиль теория

Спасибо большое за ваш сайт. Очень радует, тот факт, что когда люди не понимают какую-нибудь задачу, вы помогаете решить. Спасибо. Побольше бы таких сайтов, всё понятно и доступно

Видео:Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профиль

Основные факты о треугольниках

Определения

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, выходящих из этой точки. Градусная мера угла может принимать значения от (0^circ) до (180^circ) включительно.

Угол (alpha) называется острым, если (0^circ , прямым – если (alpha=90^circ) , тупым – если (90^circ , и развернутым – если (alpha=180^circ) .

Биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую.

Вертикальные углы – это два угла, образованные пересечением двух прямых и не являющиеся смежными.

Теорема

Смежные углы (alpha) и (beta) в сумме дают (180^circ) .

Вертикальные углы равны: (alpha=gamma) .

Треугольник егэ профиль теория

Определения

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой (называемых вершинами треугольника), и отрезков, соединяющих эти точки (называемых сторонами треугольника). Треугольник со своей внутренностью будем сокращенно называть также треугольником.

Угол (внутренний) треугольника – угол, образованный вершиной треугольника и двумя его сторонами.

Треугольник егэ профиль теория

Теоремы: признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Определение

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен (90^circ) .

Перпендикуляр из точки к прямой – это отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, проведенный под углом (90^circ) .

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Замечание

Если в треугольнике один угол тупой, то высоты, опущенные из вершин острых углов, упадут не на сторону, а на продолжение стороны (рис. 1).

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Треугольник егэ профиль теория

Определение

Две различные прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Замечание

Заметим, что на плоскости существует три вида взаимного расположения прямых: совпадают, пересекаются и параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы

1. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Теоремы: признаки параллельности прямых

1. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) накрест лежащие углы равны: (angle 1=angle 2) , то такие прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) сумма односторонних углов (angle 1) и (angle 3) равна (180^circ) , то такие прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых (a) и (b) секущей (c) соответственные углы равны: (angle 1=angle 4) , то такие прямые параллельны.

Треугольник егэ профиль теория

Теоремы: свойства параллельных прямых

1. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна (180^circ) .

3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Определения

Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.

Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой (остальные — острые).

Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой (остальные — острые).

Теорема

Сумма внутренних углов треугольника равна (180^circ) .

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник (ABC) и покажем, что (angle A + angle B + angle C = 180^circ) .

Проведём через вершину (B) прямую (a) , параллельную стороне (AC) .

Треугольник егэ профиль теория

Углы (1) и (4) являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых (a) и (AC) секущей (AB) , а углы (3) и (5) – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей (BC) . Поэтому [begin &angle 4 = angle 1, angle 5 = angle 3. qquad qquad qquad (1) end]

Очевидно, сумма углов (4, 2) и (5) равна развёрнутому углу с вершиной (B) , то есть (angle 4 + angle 2 + angle 5 = 180^circ) . Отсюда, учитывая равенства ((1)) , получаем: (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) .

Определение

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом треугольника.

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним: (angle BCD=angle BAC+angle ABC) .

Доказательство

Треугольник егэ профиль теория

Угол (4) – внешний угол треугольника, смежный с углом (3) . Так как (angle 4 + angle 3 = 180^circ) , а по теореме о сумме углов треугольника (angle 1 + angle 2 + angle 3 = 180^circ) , то (angle 4 = angle 1 + angle 2) , что и требовалось доказать.

Определения

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Эти стороны называются боковыми сторонами треугольника, а третья сторона — основанием.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Равносторонний треугольник, очевидно, является и равнобедренным.

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство

Пусть (ABC) – равнобедренный треугольник, (AB = BC) , (BD) – биссектриса (проведённая к основанию).

Рассмотрим треугольники (ABD) и (BCD) : (AB = BC) , (angle ABD = angle CBD) , (BD) – общая. Таким образом, (triangle ABD = triangle BCD) по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства этих треугольников следует, что (AD = DC) , следовательно, (BD) – медиана.

Треугольник егэ профиль теория

Кроме того, в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а (AB = BC) , следовательно, [begin &angle ADB = angle CDB, qquad qquad qquad (2) end] но (angle ADB + angle CDB = angle ADC) – развёрнутый, следовательно, (angle ADB + angle CDB = 180^circ) , откуда при учёте ((2)) : (angle ADB = 90^circ = angle CDB) , то есть (BD) – высота.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису (BD) (см. рисунок из предыдущей теоремы). Тогда (triangle ABD=triangle CBD) по первому признаку, следовательно, (angle A=angle C) .

Теоремы: признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Теорема: неравенство треугольника

В треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Другая формулировка: в треугольнике разность любых двух сторон меньше третьей стороны.

Определения

В прямоугольном треугольнике большая сторона (то есть сторона, лежащая напротив прямого угла) называется гипотенузой.
Две другие стороны называются катетами.

Теоремы: свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ) .

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла (30^circ) , равен половине гипотенузы.

Верно и обратное: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла (30^circ) .

Треугольник егэ профиль теория

Подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ, как правило, начинается с повторения базовой теории по планиметрии, в том числе и по теме «Треугольники». Знакомство учащихся с этим разделом геометрии начинается еще в средней школе. Неудивительно, что потребность в повторении основных правил и теории по теме «Треугольник» возникает у многих выпускников. При этом решать планиметрические задачи обязательно должны уметь все учащиеся. Подобные задания включены как в базовый, так и в профильный уровень аттестационного испытания. Разобравшись с теорией и практическими упражнениями, в том числе и на вычисление вертикальных углов треугольника, старшеклассники смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Готовьтесь к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»

Занимаясь перед сдачей ЕГЭ, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой теории по геометрии о треугольниках. Школьных учебников в нужный момент может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда оказывается достаточно сложно даже в Интернете.

Вместе с образовательным порталом «Школково» выпускники смогут качественно подготовиться к сдаче аттестационного испытания. Вся базовая теория о равнобедренных и прямоугольных треугольниках систематизирована и изложена нашими специалистами с учетом богатого опыта в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, школьники смогут вспомнить материал, который вызывает определенные затруднения.

Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, учащимся, проживающим в Москве и других городах России, необходимо не только повторить теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, но и попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Задачи по данной теме вы можете найти в разделе «Каталог». Для каждого задания наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Последовательно выполняя простые и более сложные упражнения по данной теме, учащиеся смогут научиться применять на практике теоремы равенства треугольников и другую теорию, которую необходимо усвоить при подготовке к ЕГЭ. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Попрактиковаться в решении задач, в которых применяется теория смежных углов и другие теоремы, школьники могут в режиме онлайн.

По желанию учащегося любое упражнение можно сохранить в «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию о прямоугольных и равнобедренных треугольниках, выпускник может в дальнейшем вернуться к заданию, которое вызвало затруднения, и обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Видео:ЕГЭ 2023 по математике. Планиметрия: вся теория для №1 из ЕГЭ по профильной математикеСкачать

ЕГЭ 2023 по математике. Планиметрия: вся теория для №1 из ЕГЭ по профильной математике

Справочный материал по теме «Треугольники»

В помощь при подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, которые не лежат на одной прямой и последовательно соединены отрезками.

Видео:Все типы 1 задание ЕГЭ по математике профиль 2024Скачать

Все типы 1 задание ЕГЭ по математике профиль 2024

Задания нового формата ЕГЭ по английскому языку

Фрагмент выступления М.В. Вербицкой на Всероссийской научно-практической конференции «Требование нового ФГОС 2021. Иностранные языки».

Видео:Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16Скачать

Вся геометрия треугольника в одной задаче. Планиметрия. ЕГЭ 2023 математика задача 16

Практико-ориентированные задачи. Кухня, №1-5

На занятии рассмотрены задачи №1-5 про кухню из ОГЭ по математике (блок практико-ориентированных задач).

Видео:ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минутСкачать

ЕГЭ 2024. ВСЁ ПРО ТРЕУГОЛЬНИКИ за 15 минут

Объём цилиндра

Материал для проведения самостоятельной работы.

🔥 Видео

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). РАВНОБЕДРЕННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ.

Треугольники №1 в ЕГЭ | Профильная математика ЕГЭ 2024 | УмскулСкачать

Треугольники №1 в ЕГЭ | Профильная математика ЕГЭ 2024 | Умскул

✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Все сюжеты по планиметрии из ЕГЭ за 50 минут | ЕГЭ. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин

РЕШУ ЕГЭ. Планиметрия (ЕГЭ, задание 6): Решение прямоугольного треугольникаСкачать

РЕШУ ЕГЭ. Планиметрия (ЕГЭ, задание 6): Решение прямоугольного треугольника

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.Скачать

ЗАДАНИЕ 1 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Задачи на Треугольники Общего ВидаСкачать

Задачи на  Треугольники Общего Вида

№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИСкачать

№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИ

Стереометрия с нуля и до уровня ЕГЭ за 4 часа | Вся теория и задачи по №13 | Математика профильСкачать

Стереометрия с нуля и до уровня ЕГЭ за 4 часа | Вся теория и задачи по №13 | Математика профиль

1 задание ЕГЭ 2023 математики. Геометрия с нуляСкачать

1 задание ЕГЭ 2023 математики. Геометрия с нуля

Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профильСкачать

Высота в прямоугольном треугольнике | Математика ЕГЭ 2024 #егэпрофиль #профиль

Планиметрия 1 задание. ЕГЭ по математике 2024 | Аня МатеманяСкачать

Планиметрия 1 задание. ЕГЭ по математике 2024 | Аня Матеманя

#66. Задание 6: равнобедренный треугольникСкачать

#66. Задание 6: равнобедренный треугольник
Поделиться или сохранить к себе: